陜西省小學奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

陜西省小學奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

姓名：班級：成績:

一小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的！

一、（共35題；共160分）

1.（10分）平面上給定6個點，沒有3個點在一條直線上.證明：用這些點做頂點所組成的一切三角形中，

一定有一個三角形，它的最大邊同時是另外一個三角形的最小邊.

2.（5分）如圖，在時鐘的表盤上任意作9個120°的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋4個數(shù)，且每兩

個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù).并舉一個反例說明，作S個

扇形將不能保證上述結(jié)論成立.

3.（5分）有紅、黃、藍、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里.一次摸出小球8個，其中至少有幾

個小球的顏色是相同的？

4.（5分）從42個鴿舍中飛出211只鴿子，總有一個鴿舍中至少飛出6只鴿子。為什么？

5.（5分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6填滿一個6-6的方格表，如右圖所示，每個小方格只填其中一個數(shù)字,

將每個2?2正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和稱為這個2-2正方格的“標示數(shù)”.問：能否給出一種填法，使得任意兩

個“標示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由.

6.（5分）有黑、紅、藍三種顏色的手套各10只混在了一起，這些手套只要兩只顏色相同，即可配成一雙。

（1）把眼睛蒙上，至少要拿出幾只才能保證能配成1雙？

（2）至少要拿出幾只，才能保證能配成2雙？

（3）至少要拿出幾只，才能保證有2雙是相同顏色的？

7.（5分）9條直線的每一條都把一個正方形分成兩個梯形，而且它們的面積之比為2：3。證明：這9條直

線中至少有3條通過同一個點。

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8.（5分）（2018六下?云南月考）有26位小朋友，他們當中至少有3位小朋友屬同一生肖，這個觀點對嗎?

為什么？

9.（5分）一個口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒。如果你閉上眼睛，至少取出多

少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？

10.（5分）將400本書隨意分給若干同學，但是每個人不許超過11本，問：至少有多少個同學分到的書的

本數(shù)相同？

11.（5分）一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數(shù)？

12.（5分）數(shù)學興趣小組有13個學生，請你說明：在這13個同學中，至少有兩個同學屬相一樣.

13.（5分）證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識.

14.（1分）平面上給定17個點，如果任意三個點中總有兩個點之間的距離小于1,證明：在這17個點中必

有9個點可以落在同一半徑為1的圓內(nèi)。

15.（5分）一個盒子中有紅、黃、藍三種顏色的球各20個.最少要拿幾個球，就能保證有兩對同色的球？

最少要拿出幾個球，就能保證有3對同色的球？解答了前兩個問題，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？你能根據(jù)規(guī)律迅速地寫

出要保證有4對同色的球，最少要拿出多少個球嗎？（所謂“同色的球”指的是每對中的兩個球同色，不是指所有

取出的球同色）

16.（5分）有49個小孩，每人胸前有一個號碼，號碼從1到49各不相同.現(xiàn)在請你挑選若干個小孩，排成

一個圓圈，使任何相鄰兩個小孩的號碼數(shù)的乘積小于100,那么你最多能挑選出多少個孩子？

17.（5分）張老師說北京市的所有人中一定有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多.你覺得張老師說的話有道理嗎？為什

么？（人的頭發(fā)約有十萬根）

18.（5分）黑、白、黃三種顏色的筷子各有很多根，在黑暗處至少拿出幾根筷子就能保證有一雙是相同顏色

的筷子？

19.（5分）在長為100m的筆直馬路一側(cè)站了12人，不管他們怎樣站，至少有兩人的距離小于10m.這是為

什么呢？

20.（5分）兩個布袋各有12個大小一樣的小球，且都是紅、白、藍各4個。從第一袋中拿出盡可能少的球,

但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球

不少于3個。這時，兩袋中各有多少個球？

21.（5分）有一批四種顏色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信號，試說明在200個信號中至少有

四個信號完全相同。

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22.（5分）在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？

23.（5分）如圖，分別標有數(shù)字L2…S的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標的

數(shù)字都不相同.當兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對.

24.（5分）如圖，能否在S行S列的方格表的每一個空格中分別填上1,2,3這三個數(shù)，使得各行

各列及對角線上S個數(shù)的和互不相同？并說明理由.

25.（5分）叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是42環(huán).張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán).為什么？

26.（5分）一副撲克牌除去兩張王牌共有52張，問至少要取出多少張牌，才能保證其中一定有3種或3種

以上花色?

27.（5分）邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個點，那么這5個點中一定有距離小于0.5的兩點.

28.（5分）把7只小貓分別關進3個籠子里，不管怎么放，總有一個籠子里至少有多少只貓?

29.（5分）有一個布袋中有5種不同顏色的球，每種都有20個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保

證其中至少有3個小球的顏色相同？

30.（5分）在1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34中任選出7個不同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)的

和為35.

31.（1分）7只鴿子飛回3個鴿舍，至少有只鴿子要飛進同一鴿舍里.

32.（5分）在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個點，求證：必有兩個點的距離不大于1.

33.（1分）盒子里有同樣大小的紅、黃、藍、白四種顏色的球各12個，要想摸出的球一定有2個是同色的,

至少要摸出________個球，要想摸出一定是兩對同色的，至少要摸出________個球.

34.（1分）媽媽準備了7只信封，在每只信封里都放了錢共100元，要求每一只信封里都放整元數(shù)，而且都

不相同，那么錢放得最多的一只信封里至少放元？

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35.（1分）光明小學學生年齡最小的6歲，最大的13歲，從學校里任選位同學才能保證其中有兩

位同學的年齡相同？

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參考答案

一、（共35題；共160分）

1-1、

解：我們鋁酬目解粽一下.一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的，因此必有最大邊和最小邊.在等腰三角形（或

等邊三角形中），會出現(xiàn)兩條邊,甚至三條邊都是最大邊（或最小邊）.

我們用染色的辦法來解決這個問意.分兩步姿色：

第f:先將第f三角形中的最大邊涂上同一種顏色,比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂上月葉種籟色，比

如藍色.

這樣,我們就將所有三角形的邊都用紅、藍兩色涂好.根據(jù)上邕題的結(jié)論可知，這些三角形中至少有一許色三角形.由于這

個同色三角形有自己的最大邊,而最大邊涂成紅色,所以這個同色三角形必然是紅色三角形.由于這個同色三角形有自己的最

小邊，而這條最小邊也是紅色的,說明這條最小邊必定是某個三角形的最大邊.結(jié)論得證.

2-1、

解：在表盤上共可作出12個不同的扇形,且1~12中的每個數(shù)恰好嫉4個扇形藍蓋.將這12個扇形分為4姐,使得每一蛆的3個扇

形恰好蓋住整個表盤.那么，根據(jù)抽屜原理,從中選擇9個扇形，必育圖+人3個扇形屬于同一組，那么這一組的3個扇形可

以豳睦個表盤.另一方面,作8個扇形相當于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住同一個數(shù)的4個扇形，這樣這個

數(shù)就沒有被剩下的8個扇形蓋住,那么這部扇形不能蓋1扭個表盤.

3-1、

解：從最不利的情況考古,摸出的8個小球中有部小球的蹶色各不相同，那么余下的4個小球無論各是什么顏色,都會與之前的

竹小球中的某一個顏色相同.即這2小球中至少有2個小球的顏色是相同的.

解:211+42=5......1,5+1=6（R）

4-1、答：假如每個稿舍中告有5只88子,那么余下的1R無論在鼻個88舍中,總有fSS舍中至少飛出6只鴿子.

5-1、

解:先計其出每個2x2正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和最小為4,最大為24,從4到2供有21個不同的值，即有21個"抽屜”；再找

出在6*6的方格表最多有：5x5=25（個）2、2正方格的"標示數(shù)一，即有25個“蘋果”.25-21=1-4，根據(jù)報屜

原理,必有兩個“標示數(shù)”相同.

6］、到漳■豳呆ii能配成1雙.

62、至少拿出6只，；^1瞰證能配成雙

63、至少拿出10只，才能保證有25R是相同8漁的.

7-1、

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解：設正方形為.IBCD?EF分別是AB-CD的中點.設直線MN把正方形.4BCD分成兩個長方形ABMN和

CDNM'并且與EF相交于P(如圖)，

長方形ABMN的面枳長方形CDNM的面積=2:3,如果把直線MN繞P點旋轉(zhuǎn)一定角度后，原來的兩個長方形球

成兩個梯形，根據(jù)割補法兩個梯形的面積比也為2:3,所以只要直線MN繞尸點旋轉(zhuǎn)，周到的兩個梯形的面積比為2:3，

所以將長方形分成2:3的兩個梯形必定經(jīng)過P點，同樣根菇對稱經(jīng)過Q點的直線也是滿足條件的直線,同理我們還可以找到

把長方形分成上下兩個梯形的兩個點這樣,在正方形內(nèi)就有4個固定的點,凡是把正方形面積分成兩個面積為2:3的梯形的直

線，一定通過這4點中的某f.我們把這4個點看作4個抽屜,9條直線看作9個蘋果，由抽屜原理可知,9=4X2+1，所

以，必有fW內(nèi)至少放有3個隼果,也就是,必有三條良線要通過f點，

對,26+12=2(位)......2(位)

8-1,2+1=3(12)

9-1A解：至少要取(5-1),5-1=21(粒)

10-1、

解：每人不許超過11本，最“壞”的情況是每人浮到的本數(shù)盡量不相同，為：L2、3、4.5.6,7、&9.10,11這11種各

不相同&5^?,^^5：1+2+3+,“+11=66本，400-66=6-4,最^1的分:施：得L2、3,4、5、6、7、8,9,

10、H本數(shù)+的各6人,還剩4本書，要使可個人不超過H本,無論發(fā)給誨，都會使至少育7人得到書的本書相同.

11-1、

解：點數(shù)為1(A)、2、3、4.5、6、7、8、9.10.11(J),12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一

共15張，這15張牌中，沒有兩張的點數(shù)相同.這樣,如果任惠再取1張的話，它的總數(shù)必為1~13中的一個,于是有2張點數(shù)相

同?

12-1、

解：一共有12個生肖，線設這13個學生中12個人的生肖都不同，那么還j*?人，無論這個人是邨個生肖，都至少有2人屬相相

同.

13-1、

解：把這6個人看作6個點,每兩點之間連段,兩人相互認識的話將線段涂紅色，兩人不認識的話將線段涂上藍色，那么

只霜證明其中有一個同色三角形即可.從這6個點中隨意選取一點j，從人點引出的5條線段,根據(jù)抽屜原理,必有3條的顏色

相同，不妨設有3條設段為紅色，它們另一^點分別為B、C.D.那么這三點中只要有兩點比如說B.C之間的姓段

是紅色，那么.小B、C3點組成紅色三角形；如果5、C、￡＞三點之間的線段都不是紅色J弦都是藍色，這樣5、C

.Q3點組成藍色三角形，也符合條件.所以結(jié)論成立.

14-1

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解：如果17個點中，任意兩點之間的距離1叼'于1,那么，以這17個點中任意一點為圓心,以1為半徑作fSI,這17個點必然

全落在這個IS內(nèi).如果這17點中，有兩點之間距離不小于1(即大于弼于1),設這兩點為01、Q,分別以5、O2為園

心，1為半徑作兩個圓(如圖).把這兩個圓看作兩個抽展,由于任意三點中忘有兩個點之間的距離小于1,因此其他15個點中

每一點，到Q、Q的距離必有一個小于1.也就是說這些點必落在某一個圖中.根據(jù)抽屜原理必有一個國至少包含這15個點

中的2點.由于GS心是"個點中的一點,因此這個IS至少包含17個點中的2點.

15-1、

解：最少要拿6個球，就能保證有兩對同色的球;最少要拿出8個球，就能保證有3對同色的球;我發(fā)現(xiàn)：保證摸出同色的球每增

加一對，最少捶出的球的個數(shù)依次增加2個.8+2=10,所以，要保證摸出4對同色的球，最少要拿出10個球.

16-1、

解:將1至49中相乘小于100的兩個數(shù),按被乘數(shù)分成9姐,如下：

(1*2).(1x3).(卜4).…、(1x49)；

(2*3).(2x4).(2x5)、...、(2x49)；

(8x9)、(8x10)、(8x11)、(8x12);

(9x10)、(9x11).

因為每個數(shù)只能與左右兩個數(shù)相乘,也就是每個數(shù)作為SEM蜀峻7最多兩次，所以每一組中最多會有兩對數(shù)出現(xiàn)在圓圈中，

最多可以取出18個受酎，扶18*2=36次，但是每個數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個數(shù).

例如：(10x9).(9x11)、(1x8).(8x12)、(12x7).(7?13),(13*6).(6*14)、(14*5)、

(5x15)、(15x4).(4x16),(16X3)、(3?17),(17*2)、(2*18)、(18x1)、(卜10).共出現(xiàn)I~18

號,共18個孩子.

若通患選取出子,那么共有12號碼,由于每個號碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘,則會形成］沁相乘的數(shù)對.

那么在9組中取出19個數(shù)時,*19=9x2+1,由抽屜原則知，必有三個數(shù)對落入同一組中，這樣某個數(shù)字會在財中出現(xiàn)三次

(或三次以上)，由分析知,這是不允許的.故最多挑出18個孩子.

17-1、

解：W集市的人口數(shù)肯定遠遠多于十萬人，人的頭發(fā)有十萬根左右,根踞抽屜原理,1涼市的所有人中至少有兩個人的頭發(fā)根

數(shù)一樣多，張老師的話是稗道理的.

18-1、

解：問蹙問的是要有一雙相同顏色的筷子.把黑.白.黃三種顏色的筷子當作3個抽屜,根據(jù)抽屜原理，至少有4根筷子，才

能使其中一個抽屜里至少育兩根筷子.所以，至少拿4根筷子，才能保證有一雙是相同顏色的筷子.最"倒霉”原則：它們每

樣各取一根，都湊不成雙.教。幣可以拿其他東西做類似練習.

19-1、

解：5aCS100m長的;gfi馬疑9成1咐,則每隔10m站1人，可由11人,另B維12個處,距

離小于10m.

20-1

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解：第一次取完后，只得知道第一袋中有某種顏色的球不足3個即可（取了多少個球，怎樣取的都可以不考慮）.第二次取后,

要保證第一袋中每種顏色的球不少于3個,最不利的情況是兩種顏色的球各有8個，另一種顏色的球育3個.所以，第一裝中有球

8+8+3=19（個），第』中稗球4x3x2-19=5（個）.

解：四種顏色三面排成一行：4x4x4=64（種）

200+64=3......8,3+1=4（個）

21-K若：至少有4個信號完全相同.

22-1、

解：至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有效,在每個抽屜里各取TStt,這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0,1

,2.因此這三個數(shù)之和能被3整除?綜上所述,在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍《.

23-1、

解：內(nèi)外兩個寸格可以看成一個靜止，只有一"1^轉(zhuǎn)動，一個環(huán)轉(zhuǎn)動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數(shù)字的滾珠

相對的局面出現(xiàn),另％這種局面共要出現(xiàn)8次居這8次局面看成8個蘋果，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動4s角就有一次滾球相對的局面

出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動一周共有8次滾珠相對的局面，而最初相對演珠所示K字都不相同.所以相對的漆珠所標的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)

在以后的7次轉(zhuǎn)動中,將7次轉(zhuǎn)動看做7個抽屜,根據(jù)抽屜原理至少有2次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動中即必有某一時

刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩舊數(shù)字相同的滾垛相對.

24-1

解：從問篁入手：因為問的是和，所以就從和的和類入手.由1,2，3組成的和中最小為8x1=8，最大的為8x3=24

,8~24中共有17枇S果，而8行8列加上對角線共有18個和，根癡抽扈原理,必有兩和是相同的，所以此邈不能滿足要

求.

解:因為42+5=8...2,

8+1=9（環(huán)），

25-1、所以至少有一住不低于9環(huán).

解:13x2+1=27?）

26-1,答：至少要取出27張牌.

27-1