說理題在小學(xué)數(shù)學(xué)評價中的價值與設(shè)計策略

【摘""要】數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學(xué)中的概念、法則、公式等都是有來源的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評價中，可以借助說理題來帶領(lǐng)學(xué)生還原知識的產(chǎn)生過程，尋找知識產(chǎn)生的“證據(jù)”。教師結(jié)合實例，闡述說理題在評價中的價值，并提出可圍繞知識的產(chǎn)生過程、概念的原理、知識在生活中的應(yīng)用設(shè)計說理題?！娟P(guān)鍵詞】評價；說理題；試題設(shè)計數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它源于對現(xiàn)實世界的抽象，也就是說，數(shù)學(xué)中的概念、法則、公式等都是有來源的。然而，現(xiàn)行教材大部分都隱去了知識的發(fā)生和發(fā)展過程，少部分即使呈現(xiàn)，其過程也是靜態(tài)的。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要帶領(lǐng)學(xué)生還原知識的產(chǎn)生過程，說清楚它的來龍去脈，尋找知識產(chǎn)生的“證據(jù)”，用知識去解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象。而說理題，正是落實這一數(shù)學(xué)課程要求的重要載體。在近幾年的國測、省測中，說理題作為關(guān)注知識形成過程和學(xué)生思考過程的一種題型，受到命題專家的青睞，成為學(xué)業(yè)質(zhì)量評價中必不可少的題型，也被越來越多的一線教師所認可。筆者所在縣區(qū)每學(xué)期的期末學(xué)業(yè)質(zhì)量測試中均設(shè)置了獨立的說理題，然而，測試結(jié)果顯示：各學(xué)校各年級學(xué)生在此類題型上的得分率明顯低于整張試卷的整體得分率。從教師訪談中發(fā)現(xiàn)，很多教師對說理題的價值理解不到位，他們在日常教學(xué)中更關(guān)注知識呈現(xiàn)的結(jié)果，而忽視過程的體驗，導(dǎo)致學(xué)生對說理題束手無策。此外，教師對如何指導(dǎo)學(xué)生清晰、有條理地說理表達也缺乏行之有效的方法。據(jù)此，筆者在闡釋說理題在評價中的價值意義的基礎(chǔ)上，具體探索說理題的設(shè)計策略。一、說理題在評價中的價值對于說理題，學(xué)生不僅需要會解題，寫出數(shù)學(xué)的結(jié)果，還需要運用數(shù)學(xué)語言表達觀點和解題過程，用準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)恼Z言來闡述數(shù)學(xué)概念背后的原理或知識產(chǎn)生的推理過程等。在這一過程中，學(xué)生需要按照一定的邏輯思路，清晰地將思考過程用圖像來表征、用語言來表達。因此，在評價中設(shè)計說理題，以此審視課堂教學(xué)，既可以看見學(xué)生的思考過程和語言表達能力，又可以使評價細化分層。（一）讓課堂教學(xué)可視化1.看見教師的教教師的教直接影響著學(xué)生的學(xué)。要了解教師日常的教學(xué)效果和學(xué)科素養(yǎng)在課堂上的落實情況，除了依靠對期末學(xué)業(yè)質(zhì)量測試成績的分析，還可以采用說理題這一評價手段。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了人教版教材五年級下冊“2、5、3的倍數(shù)”一課后，筆者設(shè)計了兩個層次的說理題，考查學(xué)生對2、3、5的倍數(shù)的特征的掌握情況，以及對這些特征背后原理的理解，并從中審視課堂的教學(xué)效果?！驹囶}1】層次1：我們判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，要看各數(shù)位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。請你以1356為例，說說這樣判斷的道理。層次2：判斷2、5的倍數(shù)只要看個位，而判斷3的倍數(shù)則要看各數(shù)位上的數(shù)的和。它們背后的道理一樣嗎？請說說理由。筆者利用這道說理題，對同一所學(xué)校兩位數(shù)學(xué)教師任教的四個平行班進行了檢測，學(xué)生的得分率如表1所示。數(shù)據(jù)顯示：多數(shù)學(xué)生知道2、3、5的倍數(shù)的特征，但不知道為什么會有這樣的特征。他們對層次1問題的解答停留在判斷方法上，即用（1+3+5+6）÷3=5來說明1356是3的倍數(shù)，而沒有說明這樣判斷的道理。對于層次2的問題，則將判斷2、5和3的倍數(shù)的方法理解為兩種不同的方法，認為它們背后的道理是不一樣的。此外，從A、B兩位教師所任教班級的得分率差距來看，和B教師相比，A教師相對忽視對知識產(chǎn)生的過程及其道理的教學(xué)。由此可見，說理題切實展現(xiàn)了教師的教。2.看見學(xué)生的學(xué)借助說理題，可以清晰地看出學(xué)生是真的掌握了知識，還是只是一知半解，依葫蘆畫瓢。例如，在學(xué)習(xí)了人教版教材六年級上冊“分數(shù)除法”單元后，學(xué)生能夠熟練地掌握“一個數(shù)除以分數(shù)等于乘上它的倒數(shù)”的算法。對于一般的分數(shù)除法計算，正確率可以達到95%左右。那么，對于這一算法背后的算理，學(xué)生的理解水平如何呢？對此，筆者設(shè)計了如下說理題?！驹囶}2】請以[25÷23=35×32=910]為例，說說“一個數(shù)除以分數(shù)等于乘上它的倒數(shù)”這樣算的道理。從學(xué)生的答題情況來看，有近30%的學(xué)生無從下手。有的寫著“分數(shù)除法就是要這樣轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法來算的”，有的寫著“我們要把不會的轉(zhuǎn)化成會的，我們之前學(xué)了分數(shù)乘法，所以分數(shù)除法需要轉(zhuǎn)化成分數(shù)乘法來算”。這些學(xué)生只是掌握了分數(shù)除法的算法，而沒有理解算理。在其余的學(xué)生中，有“化成相同計數(shù)單位，用相同計數(shù)單位個數(shù)相除”來說理的：[35÷23=3×35×3÷2×53×5=3×3÷2×5=910]。也有用“商的基本性質(zhì)”來說理的：[35÷23=35×32÷23×32=35×32=910]。還有用“分數(shù)與除法的關(guān)系”與“四則運算”法則來說理的：[35÷23=35÷2×3=35×3÷2=35×32=910]。從不同的說理路徑中，可以看到學(xué)生學(xué)的情況，看到他們不同的理解維度與理解深度。（二）讓學(xué)生思維可視化說理題是連接抽象的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生具象思維的橋梁。通過引導(dǎo)學(xué)生說理，能使學(xué)生將內(nèi)心的思考過程外化為清晰、有條理的語言或圖形表達。這一過程正是思維可視化的生動體現(xiàn)。學(xué)生說理時，需要一一剖析數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在邏輯和關(guān)聯(lián)，深入探究知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對知識的理解和掌握。例如，在人教版教材六年級上冊“圓的面積”一課中，轉(zhuǎn)化思想是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點。學(xué)生要想理解并掌握圓面積的計算，就要解決“為什么要轉(zhuǎn)化？怎么轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后的關(guān)聯(lián)是什么？”這些核心問題?；诖?，筆者設(shè)計了如下說理題?！驹囶}3】將一個半徑是r的圓，沿半徑分成若干等份，拼成一個近似的長方形（如下圖）。如果用面積是1的小正方形拼擺在長邊上，大約可以擺（""）個。如果鋪滿整個長方形，大約需要（""）個小正方形。請寫出思考過程。如果只是問學(xué)生“長方形的長相當(dāng)于圓的什么？寬相當(dāng)于圓的什么？”，那學(xué)生的關(guān)注點只能停留在轉(zhuǎn)化的結(jié)果上。為了讓學(xué)生對圓面積有更上位的原理認識，理解計算圓面積的大小就是數(shù)面積單位的個數(shù)，而將圓形轉(zhuǎn)化成長方形就是為了便于數(shù)面積單位的個數(shù)，筆者將題干設(shè)計為“找擺放面積單位的個數(shù)”。由此，學(xué)生對圓面積的認識實現(xiàn)了從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注過程、從關(guān)注現(xiàn)象到關(guān)注本質(zhì)的飛躍。在有條理的轉(zhuǎn)化分析中，培養(yǎng)了空間觀念、推理意識和思維能力。（三）讓學(xué)生語言表達可視化語言表達是思考過程的外顯。在大班教學(xué)中，每個學(xué)生參與課堂表達的機會不多，教師無法兼顧所有學(xué)生。但通過說理題，每個學(xué)生都可以借助數(shù)形結(jié)合、多元表征、文字闡述等多個路徑來解釋數(shù)學(xué)原理，展示他們的推理過程。這樣，教師就能看到每個學(xué)生的邏輯思維是否嚴密、清晰，語言表述是否準(zhǔn)確、嚴謹。（四）讓分層評價可視化在學(xué)業(yè)質(zhì)量測試中，教師對學(xué)生的評價往往較為簡單，一般是設(shè)置填空題、選擇題等，并按正解給分。因為看不到錯解的原因，故錯解不得分。而說理題正好可以看到學(xué)生的思考過程，從而了解學(xué)生錯誤的原因，并根據(jù)學(xué)生的答題情況分層給予評價。例如，筆者在三年級下學(xué)期的期末學(xué)業(yè)質(zhì)量測試中，命制了關(guān)于“年月日”的說理題?！驹囶}4】你覺得姐姐說得有道理嗎？用你喜歡的方法說明理由。評價標(biāo)準(zhǔn)分為四個等級：結(jié)論正確，理由充分得3分；結(jié)論不正確，但說明的理由有道理，得2分；結(jié)論正確，說明理由時出現(xiàn)知識性錯誤，如不清楚兒童節(jié)的日期、將30日當(dāng)作5月的最后一天等，得1分；結(jié)論不正確，說理不充分，得0分。由此，通過細化標(biāo)準(zhǔn)，讓教學(xué)評價更合理，讓學(xué)生的思維層次更清晰。二、說理題的設(shè)計策略在設(shè)計說理題時，教師既可從知識的產(chǎn)生過程和概念的原理切入，也可以從生活中引入，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解釋生活中的現(xiàn)象，想明白其中的原理，說清楚背后的道理，從而幫助學(xué)生從不同路徑來說理，讓不同思維層次的學(xué)生都有話可說。（一）圍繞知識的產(chǎn)生過程設(shè)計說理題對學(xué)生來說，學(xué)習(xí)不僅要知其然，更要知其所以然。只有經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生過程，才能明白知識產(chǎn)生的原因和邏輯。尤其是一些“種子”知識，直接關(guān)系到后續(xù)學(xué)生對相關(guān)知識的遷移學(xué)習(xí)能力。因此，圍繞知識的產(chǎn)生過程來設(shè)計說理題顯得尤為重要。例如，針對長方形的面積計算，筆者設(shè)計了如下說理題。【試題5】一個長方形長5米，寬3米，面積是5×3=15平方米。5米和3米明明是長度，怎么相乘就得到了面積？請說明這樣算的理由。在這題中，學(xué)生需要理解：長方形的長是5米，表示一行可以放5個1平方米的面積單位；寬是3米，表示沿著寬可以放這樣的3行；一共可以放3×5=15個面積單位，每個面積單位是1平方米，所以15個面積單位就是15平方米。通過這樣的說理過程，學(xué)生能夠理解求面積大小就是數(shù)面積單位的個數(shù)。后續(xù)平行四邊形、三角形、梯形、圓形的面積計算也是一樣的道理，都是數(shù)面積單位的個數(shù)。只是這些圖形不能像長方形一樣直接數(shù)出面積單位的個數(shù)，所以需要將這些圖形轉(zhuǎn)化成長方形，以便數(shù)出面積單位的個數(shù)?？梢姡罄m(xù)各種平面圖形面積的計算都只是長方形面積計算的遷移，只要說清楚長方形面積計算的道理，就說清楚了所有平面圖形面積計算的原理。（二）圍繞概念的原理設(shè)計說理題整個小學(xué)階段涉及的周長、面積、體積等公式有10多個，運算定律5條，各種性質(zhì)、變化規(guī)律近10條，此外，還包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算法則等等。教師可以通過說理，帶領(lǐng)學(xué)生明白這些公式、定律、性質(zhì)、法則等產(chǎn)生的道理，讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)的工具（符號語言、圖形語言、文字語言等）進行表達，理解其原理的一致性，在理解的基礎(chǔ)上建立它們之間的關(guān)聯(lián)，從而減輕學(xué)生的識記負擔(dān)。例如，在學(xué)習(xí)了人教版教材三年級下冊“簡單的小數(shù)加、減法”一課后，將小數(shù)加減法與整數(shù)加減法進行對比、關(guān)聯(lián)，學(xué)生可以主動建構(gòu)起運算原理的一致性，將新知納入到原有的認知結(jié)構(gòu)中，從而使頭腦中的知識累積越來越“薄”?；诖耍P者設(shè)計了如下說理題?！驹囶}6】計算：你覺得小紅說得有道理嗎？寫出你的思考。再如，針對乘法分配律，筆者設(shè)計了兩個層次的說理題?！驹囶}7】層次1：我們已經(jīng)知道（a+b）×c=a×c+b×c，請你想辦法說說可以這樣算的道理。層次2：乘法分配律可以用字母表示：①（a+b）×c=a×c+b×c；②a×（b+c）=a×b+a×c。如果把乘法改為除法，這兩個等式還成立嗎？請說明理由。層次1讓學(xué)生闡述乘法分配律的道理。在回答該問題時，學(xué)生有的畫長方形面積圖來解釋，有的用生活情境（買套裝衣服等）來說明，還有的用兩位數(shù)筆算乘法的算法來說理。將這些方法進行關(guān)聯(lián)，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生都可以從數(shù)運算的意義出發(fā)理解（a+b）個c就是a個c與b個c的和。層次2是從乘法到除法的遷移，包括正遷移與負遷移。第①個算式屬于正遷移，對學(xué)生來說難度不大，他們能通過舉例驗證與運算意義來說理。第②個算式屬于負遷移，學(xué)生難以理解為什么乘法成立而除法不成立，只能通過舉例驗證這個等式不成立，對此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生從運算意義切入，從而理解其背后的原理。（三）圍繞知識在生活中的應(yīng)用設(shè)計說理題《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生“能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題；能夠探究現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律”。將抽象的數(shù)學(xué)原理與具體的生活情境相聯(lián)系，讓學(xué)生在熟悉的背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)元素，學(xué)會觀察和分析問題，用數(shù)學(xué)原理解釋生活現(xiàn)象，一方面可以讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)在生活中的價值，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面也能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與應(yīng)用能力。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了人教版教材六年級下冊“圓柱與圓錐”單元后，筆者結(jié)合現(xiàn)在餐飲行業(yè)常用的沙漏計時器，請學(xué)生利用圓錐的體積計算、比例等知識來說理，讓原本枯燥、煩瑣的數(shù)學(xué)計算變得更有生活意義，讓知識變得更加直觀、易懂，有效提升學(xué)生解決實際問題的能力。【試題8】某餐廳為了給顧客提供更好的服務(wù)，上餐時使用了沙漏計時器，并推出了“菜品30分鐘不上齊免單”的措施。周日，冬冬全家去此餐廳用餐，餐廳上餐使用的時間如下圖所示。請問他們可以免單嗎？請說明理由。再如，在人教版教材三年級下冊“面積”單元的學(xué)習(xí)評價中，筆者設(shè)計了如下說理題，讓學(xué)生建立圍籬笆與“周長相同，正方形面積最大”這一知識之間的聯(lián)系。在這題中，圍籬