河南省新未來2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024~2025學(xué)年度高二年級(jí)4月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線垂直，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用兩條直線互相垂直列式求解.【詳解】由直線與直線垂直，得，所以.故選：C2.已知橢圓E：的上、下頂點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)分別為A，B，，，且四邊形是正方形，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合得到，結(jié)合，求出離心率.【詳解】由題意得，故，又，則E的離心率為.故選：B3.若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（）1234A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)概率分布列的性質(zhì)求出a的值，由求得結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選：A.4.直線l：與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)m的值為（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】利用向量積的定義求出，進(jìn)而求出圓心到直線距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】依題意，，解得，而，則，，于是點(diǎn)到直線的距離，因此，而，所以.故選：A5.已知雙曲線C：，其左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交C的左右兩支分別于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的實(shí)軸長為（）A.1 B.6 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義列式求出，進(jìn)而求出實(shí)軸長.【詳解】設(shè)，則，因此，解得，所以C的實(shí)軸長.故選：D6.已知函數(shù)有最大值，則a的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論得出其單調(diào)性，再由最大值解方程可得.【詳解】易知，且；令，解得或（舍）；顯然當(dāng)時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，也是最大值，即，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；此時(shí)無最大值，不符合題意；綜上可知，.故選：A7.用五種不同顏色涂料涂在如圖所示的五個(gè)區(qū)域，相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360【答案】C【解析】【分析】按照分類加法和分步乘法計(jì)算原理，對(duì)5個(gè)區(qū)域進(jìn)行分步、分類涂色即可.【詳解】根據(jù)題意可知，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區(qū)域CADEB，C區(qū)域有5種顏色可選，A區(qū)域有4種顏色可選，D區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色相同，E區(qū)域有1種顏色可選，則B區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色不同，E區(qū)域有2種顏色可選，則B區(qū)域有2種顏色可選；再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有種.故選：C8.將數(shù)列和中所有的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列），則數(shù)列的前50項(xiàng)和為（）A.2160 B.2240 C.2236 D.2490【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到數(shù)列的前50項(xiàng)和中有中元素46個(gè)，中元素4個(gè)，再求即可.【詳解】由題知：中第50個(gè)數(shù)為，第41個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和中含中元素46個(gè)，含中元素4個(gè)，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，、分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】寫出隨機(jī)變量的分布列，利用兩點(diǎn)分布的期望和方差以及期望的性質(zhì)可判斷各選項(xiàng).【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，，，，.故選：ABD.10.已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】確定是否共線判斷A；由空間向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B；求出向量夾角判斷C；求出投影向量判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，顯然不共線，因此與平面不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，因此在上的投影向量為，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則B.若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則C.若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是D.若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的意義，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及極值情況，再結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，于是，令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則存在，使得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，于是函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)或或時(shí)；當(dāng)或或時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象最多兩個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，，由，得，當(dāng)時(shí)，取得極小值，，同理，對(duì)于AB，恰有3個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，恰有4個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】5【解析】【分析】先得出的展開式的通項(xiàng)為.分為從中選擇1，以及選擇，分別求出的展開式中含以及含的項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為.從中選擇1，則需求的展開式中含的項(xiàng)，由可得，，此時(shí)有；從中選擇，則需求的展開式中含的項(xiàng)，由可得，，此時(shí)有.所以，的展開式中含的項(xiàng)為.故答案為：5.13.從1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列組合即可結(jié)合古典概型的概率公式求解.【詳解】從這7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，所有的情況有種，要使得這3個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)為4，則需要從1,2,3中任選一個(gè)數(shù)，從5,6,7中任選一個(gè)數(shù)，再加上4，即可滿足，故有,故概率為，故答案為：14.已知拋物線E：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（A，B在x軸兩側(cè)），過點(diǎn)O向直線l作垂線，垂足為C，且，則點(diǎn)C到x軸的最大距離為______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助相似三角形性質(zhì)可得，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出直線所過定點(diǎn)即可得解.【詳解】由于，，得∽，則，，即，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去得，則，，由，得，而，解得，因此直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓（除點(diǎn)外），所以點(diǎn)到x軸的最大距離為.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.若，其中．（1）求m的值；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）寫出項(xiàng)的系數(shù)解方程即可得；（2）利用賦值法分別求出各項(xiàng)系數(shù)的和，再利用因式分解計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】易知展開式中含項(xiàng)為，因此可得，即；解得；【小問2詳解】由（1）可知，二項(xiàng)式為，令，可得；令，可得;因此可得.16.已知橢圓C：的焦距為，且橢圓C過點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出而得橢圓C的方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算得證.【小問1詳解】由橢圓C：過點(diǎn)，得，而橢圓的半焦距，則，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由消去得，設(shè)，，則，，而，因此，所以為定值.17.設(shè)甲盒有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有2個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒中任取2個(gè)球放入乙盒中，再從乙盒中任取1個(gè)球．（1）記隨機(jī)變量表示從甲盒取出的紅球個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球的概率．【答案】（1）分布列見解析，期望；（2）【解析】【分析】（1）寫出的所有可能取值并求得對(duì)應(yīng)概率，可求得分布列和期望；（2）利用全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】易知的所有可能取值為，所以，因此的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】設(shè)“從甲盒中任取2個(gè)球全為紅色”為事件，“從甲盒中任取2個(gè)球?yàn)橐患t一白”為事件，“從甲盒中任取2個(gè)球全為白色”為事件，“從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球”為事件，易知；；所以.即從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②若存在，使得，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析，；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用及構(gòu)造法推理得證，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2）①由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和；②由①求出，借助單調(diào)性求出的最小值即可.【小問1詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，于是，而，即，則，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，.【小問2詳解】①由（1）知，，，.②由①知，，，，而數(shù)列單調(diào)遞增，則，因此，由存，使得，得，所以的取值范圍是.19.已知函數(shù)．（1）若，求證：上單調(diào)遞減；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由，，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性；（2）利用求導(dǎo)，分類討論求解的范圍；（3）根據(jù)（2），進(jìn)行放縮，令代入整理，累加可得.【小