廣東省汕頭市2025屆高三下學期二模數(shù)學試題 含解析

試卷類型：A2025年汕頭市普通高考第二次模擬考試數(shù)學注意事項：1．答題前，考生在答題卡上務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的的準線方程為這一拋物線基本性質(zhì)即可求解.【詳解】拋物線的準線方程是，即.故選：B.2.設復數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法計算即得.【詳解】.故選：D.3.在中，為邊上的中線，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】選為基向量，將用基向量表示，再利用數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】如圖，因為邊上的中線，則，又，則．故選：D.4.某學校有、兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8，則王同學第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】【分析】應用全概率公式計算求解.【詳解】記“第1天去餐廳”，“第1天去餐廳”，“第2天去餐廳”，則由全概率公式得：．故選：A.5.設平面與長方體的六個面的夾角分別為，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】分別求出平面的法向量與正方體的同一頂點處發(fā)出的三個平面的法向量的夾角，結(jié)合正方體的對稱性，即可求得.【詳解】設平面的法向量為，正方體一個頂點處的三個平面的法向量分別為、、，則，，，因正方體有三對互相平行的平面，則.故選：A.6.若，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：用特殊值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項D錯誤，因為選項C正確，故選C．【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.7.在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，，的面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是鈍角 C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得判斷A；由三角恒等變換求得判斷B；進而由正弦定理求得判斷C；利用三角形面積公式求得面積判斷D.【詳解】由正弦定理得，所以，故A錯誤；因為，又，所以，所以，所以，故B錯誤；從而，由正弦定理可得，故C正確；所以，故D錯誤．故選：C.8.若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的組成，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析，可得函數(shù)在對稱軸和分界點兩處取得極值，列出不等式組，解之即得.【詳解】因時，，函數(shù)圖象的對稱軸為，當時函數(shù)在時取得極大值，又因時，，由函數(shù)的性質(zhì)，可知要使還有一個極值，必須使，則由，可得.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”進行調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的．若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷追星和性別有關，則調(diào)查樣本中男生人數(shù)可以是（）（參考公式及數(shù)據(jù)：，臨界值）A.10 B.11 C.12 D.18【答案】CD【解析】【分析】設樣本中男生人數(shù)為，得列聯(lián)表,計算，計算可得結(jié)論.【詳解】設樣本中男生人數(shù)為，得列聯(lián)表追不追合計男女合計所以，即，又，故C、D正確．故選：CD.10.已知數(shù)列的前項和為，若，且都有，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前10項和為56【答案】AD【解析】【分析】由已知可得，可得，可求得，進而計算可判斷每個選項的正誤.【詳解】由題設得：當時，，可得，又，所以，所以，，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；所以，當時，，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；所以，故C錯誤；又，所以的前10項和為，故D正確．故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域為且，，則（）A. B.C.為的極小值點 D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】通過賦值法可逐一驗證A，B，D，對于C，只需舉反例即可判斷.【詳解】在中，對于A，令，則，，A正確；對于B，令，則，В錯誤；對于C，若函數(shù)為，顯然符合題意，此時無極小值點，C錯誤；對于D，令，則，則，令，則，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】30【解析】【分析】先將看作一個整體，求出其展開式的通項確定的次數(shù)，再確定的次數(shù)即可求解.【詳解】由，其展開式的通項為，，，令，得的展開式的通項為，，，令，得，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：30.13.已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．【答案】（中任意一個皆可以）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．14.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用外接球球心在過底面外接圓圓心的垂線上，通過球心到各頂點的距離想等來求解即可.【詳解】如圖，取中點，連接，則，，又，，平面，則平面，因為平面，則，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心必在過的中心且平行于的直線上，且，設，則，，設三棱錐的外接球半徑為，則有，當時，，故三棱錐外接球體積的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)和的圖象在公共點處的切線相同，證明：函數(shù)的圖象在處的切線平行于軸．【答案】（1）的增區(qū)間為與，減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導可得，分，，三種情況討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可得，求解即可得結(jié)論.【小問1詳解】，由得：或，當時，的增區(qū)間為，不存在減區(qū)間；當時，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；當時，列表得00所以的增區(qū)間為與，減區(qū)間為；【小問2詳解】由題設得，解得：，即的圖象在處的切線平行于軸．16.已知數(shù)列，，其前項和為．（1）求；（2）求；（3）若數(shù)列的前項和為，且，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】(1)代入通項公式分別求出，再求和即可；(2)先求出，再利用等差數(shù)列求和公式求解即可；(3)先求出，由錯位相減法求出，即可證明．【小問1詳解】因為，所以；【小問2詳解】因為，所以；【小問3詳解】因為，所以，從而，兩式相減得：，故．得證.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點，設平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得，最后由線面平行的判定定理證明平面；（2）取與中點，．連接，，，，證明四邊形是平行四邊形．得到線面垂直，再用性質(zhì)即可；（3）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，再用向量夾角計算公式計算即可.小問1詳解】證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】證明：取與中點，．連接，，，，則運用中位線性質(zhì)知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．【小問3詳解】由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過做的垂線，以為坐標原點，為坐標軸，建立空間直角坐標系如圖，設，則，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則進而求得一個法向量為，設直線與平面所成角，則．18.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求方程的解集；（2）若是偶函數(shù)，當取最小值時，求函數(shù)的取值范圍；（3）若是常數(shù)函數(shù)，求的值．【答案】（1），或（2）（3）【解析】【分析】（1）當時，，求解方程即可；（2）的定義域為，由是偶函數(shù)得，展開并整理得，進而為正奇數(shù)，當取最小值即時，，化簡，，利用換元法令，，將的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，且的值域即可.（3）因為，，若是常數(shù)函數(shù)，則，當時不是常數(shù)函數(shù)；當時，通過說明不是常數(shù)函數(shù)；證明當時成立；當時，通過，說明不是常數(shù)函數(shù)即可.【小問1詳解】當時，，由得：，解得，或，即，或，故所求方程的解集為，或；【小問2詳解】的定義域為，由是偶函數(shù)得：，即：，所以，從而，進而，所以為正奇數(shù)，當取最小值即時，，所以，，令，，則，且，所以函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為，且的值域，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值；又當時，，當時，；故函數(shù)的取值范圍為；【小問3詳解】因為，，所以若是常數(shù)函數(shù)，則，①當時，由（1）知，不是常數(shù)函數(shù)；②當時，，此時，，不是常數(shù)函數(shù)；③當時，，所以，是常數(shù)函數(shù)；④當時，，不是常數(shù)函數(shù)；綜上所述：．19.已知矩形中，，．如圖，以矩形的中心為坐標原點，分別平行于、的直線為、軸建立平面直角坐標系．設軸分別交、于點、，點為平面上的動點，且直線、的斜率的積為．（1）證明點不在矩形的外部；（2）現(xiàn)將矩形折疊，使點落在線段上，設折痕所在直線的斜率為，①求直線的方程；②重新展平矩形，當折痕的長最大時，求折痕被點的軌跡所截得的弦長．【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）由直線、的斜率的積為，可得點的軌跡為橢圓，結(jié)合其范圍可完成證明；（2）①設折疊后A點落在線段DC上的點為，由A與G關于折痕所在的直線對稱及AG中點在直線上可得方程；②分，折痕所在的直線分別與邊、相交，折痕所在的直線分別與邊、相交，折痕所在的直線分別與邊、相交，可得折痕最長時對應斜率，然后將直線與點p軌跡方程聯(lián)立，即可得答案.【小問1詳解】設，由題設知、，從而，整理得，所以點軌跡為橢圓（去掉上下頂點），其范圍是，，故點不可能在矩形外部；【小問2詳解】①設折疊后A點落在線段DC上的點為，當時，易得直線方程為；當時，由A與G關于折痕所在的直線對稱，有，即，所以，AG中點坐標為，從而折痕所在的直線方程，即；綜上：直線方程為：；②由題可得，當時，折痕的長為4；當時，因