大學(xué)物理復(fù)習(xí)資料第6-7講-剛體

6.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)6.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律6.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量及其守恒定律第6章剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)RigidBodyRotationaboutFixedAxis第1頁(yè)第2頁(yè)6.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)只代表物體平動(dòng)，物體實(shí)際上是有形狀、大小，它能夠平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，甚至更復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。所以，對(duì)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)研究，只限于質(zhì)點(diǎn)情況是不夠。剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，不論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離一直保持不變。即物體形狀、大小都不變固體稱為剛體。剛體考慮了物體形狀和大小，但不考慮它形變，剛體同質(zhì)點(diǎn)一樣，也是一個(gè)理想化模型。第3頁(yè)一剛體運(yùn)動(dòng)固聯(lián)在剛體上任一條直線，在各個(gè)時(shí)刻位置一直保持彼此平行運(yùn)動(dòng)，叫做剛體平動(dòng)。1.平動(dòng)在平動(dòng)過(guò)程中，剛體中全部質(zhì)點(diǎn)位移都是相同。在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度也都相同。所以，平動(dòng)過(guò)程中能夠選取剛體上任一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)代表剛體運(yùn)動(dòng)。第4頁(yè)2.轉(zhuǎn)動(dòng)假如剛體上全部各點(diǎn)繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)，則稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過(guò)弧長(zhǎng)即使不一樣，但角位移全同。第5頁(yè)固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間改變——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間改變——普通轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)[旋進(jìn)]第6頁(yè)3.剛體普通運(yùn)動(dòng)剛體普通運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)比如，一個(gè)車輪滾動(dòng)，能夠分解為車輪伴隨轉(zhuǎn)軸平動(dòng)和整個(gè)車輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在研究剛體普通運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們普通將它分解為質(zhì)心平動(dòng)（應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）和剛體繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)（應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律）。第7頁(yè)4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理----[了解]質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積總是等于質(zhì)點(diǎn)系所受一切外力矢量和。質(zhì)心:

質(zhì)量中心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此一個(gè)假想點(diǎn).質(zhì)心位置：質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)量連續(xù)分布：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理線面體第8頁(yè)對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，它角動(dòng)量能夠看作是全部質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量代數(shù)和（因?yàn)槊總€(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量方向相同）。試比較：基本思想∶剛體中每一質(zhì)點(diǎn)都恪守牛頓定律取質(zhì)量元∶1.剛體對(duì)定軸角動(dòng)量二、描述剛體動(dòng)力學(xué)狀態(tài)物理量剛體角動(dòng)量及角速度都是對(duì)固定軸，所以對(duì)剛體只用標(biāo)量表示這些量即可。第9頁(yè)動(dòng)能∶全部質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和就是該剛體動(dòng)能。積分量dm是對(duì)空間坐標(biāo)進(jìn)行，而ω是時(shí)間函數(shù)。即比較平動(dòng)動(dòng)能2.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能第10頁(yè)3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量離散分布轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：?jiǎn)钨|(zhì)點(diǎn)─質(zhì)量元─第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量─到轉(zhuǎn)軸距離─到轉(zhuǎn)軸距離r要與運(yùn)動(dòng)速度方向垂直！Om質(zhì)點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)方向不一樣，相對(duì)于O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不一樣第11頁(yè)如圖套兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)細(xì)桿長(zhǎng)l，桿繞空端轉(zhuǎn)動(dòng)，分析整個(gè)系統(tǒng)繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將兩質(zhì)點(diǎn)換位再作計(jì)算。解：例題1：

o2m

m

由om2m結(jié)論：質(zhì)量分布影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第12頁(yè)I與剛體質(zhì)量分布相關(guān)I與轉(zhuǎn)軸位置相關(guān)因?yàn)橘|(zhì)量分布是對(duì)轉(zhuǎn)軸而言，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，I與剛體質(zhì)量相關(guān)AlFe討論影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量原因第13頁(yè)線分布面分布體分布、、分別為質(zhì)量線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布剛體才能用積分計(jì)算出剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dm取值：第14頁(yè)求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m均勻細(xì)棒對(duì)端點(diǎn)軸和中垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題2：ABL/2L/2Ox取如圖坐標(biāo)取質(zhì)量元OBLxx第15頁(yè)求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并經(jīng)過(guò)圓心。解：例題3：取質(zhì)量元Odm第16頁(yè)求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并經(jīng)過(guò)盤心。解：例題4：這么一個(gè)圓盤能夠視為半徑不等有寬度圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)利用圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果Rrdr圓環(huán)：第17頁(yè)內(nèi)半徑為R1外半徑為R2質(zhì)量為m勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題5：第18頁(yè)質(zhì)量為m半徑為R勻質(zhì)薄球殼繞過(guò)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題6：在球面取一圓環(huán)帶，半徑第19頁(yè)質(zhì)量為m半徑為R勻質(zhì)球體繞過(guò)球心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題7：把球體看作無(wú)數(shù)個(gè)同心薄球殼組合

球殼：第20頁(yè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面

zO1.力矩功對(duì)i求和，得：─力矩功M一剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理6.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律考查Fi對(duì)剛體元功dAidθ是剛體轉(zhuǎn)過(guò)角度第21頁(yè)2.力矩功率當(dāng)輸出功率一定時(shí)，力矩與角速度成反比。比較質(zhì)點(diǎn)所以汽車在開啟或上坡時(shí)，為了取得較大轉(zhuǎn)矩，必須進(jìn)低級(jí)位。第22頁(yè)3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理當(dāng)θ=θ1

時(shí)，ω=ω1

所以：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量。─動(dòng)能定理即：剛體中各質(zhì)量元間無(wú)相對(duì)位移，所以內(nèi)力矩不做功。第23頁(yè)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量關(guān)系比較第24頁(yè)解:使用動(dòng)能定理求解取m1、m2、I為系統(tǒng)外力功設(shè)m1由靜止釋放下落y

動(dòng)能定理兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)如圖所表示,繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪半徑為r,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。①若m2與桌面間摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)加速度a及張力T1與T2；②若桌面光滑，再求。例題8：（注意）第25頁(yè)再由牛頓定律可得張力。本題要考慮滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能影響。解得第26頁(yè)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律─剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它角加速度與作用于剛體上合外力矩成正比，與剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。能夠比照牛頓第二定律了解它意義。內(nèi)力矩成對(duì)抵消，不能改變剛體角動(dòng)量，因而不能改變剛體角速度。這是角動(dòng)量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形下特例第27頁(yè)如圖所表示,繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I

。①若m2與桌面間摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)加速度a及張力T1與T2；②若桌面光滑，再求。解：力和力矩分析、用隔離法建坐標(biāo)對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律限制條件例題9：解方程，得結(jié)果。<hi，該你出手了。哼~哼~>第28頁(yè)一根均質(zhì)細(xì)桿（m、L），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。桿最初靜止在水平位置，由此下擺

角，求角加速度和角速度。解：例題10：

odm?gdm下擺過(guò)程重力矩做功以桿為對(duì)象取質(zhì)元當(dāng)桿處于下擺

角時(shí)，該質(zhì)量元所受重力對(duì)o點(diǎn)矩為重力對(duì)整個(gè)棒協(xié)力矩為：第29頁(yè)代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得：代入轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理第30頁(yè)勻質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為R，在水平桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)。設(shè)圓盤與桌面之間摩擦系數(shù)為μ，求圓盤從以角速度ω0旋轉(zhuǎn)到靜止需要多少時(shí)間？解：例題11：摩擦力矩造成減速盤上任取微圓環(huán)圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)所受摩擦力矩相同，取ω0方向?yàn)檎?，圓環(huán)所受力矩為第31頁(yè)整個(gè)圓盤所受力矩為依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得角加速度為常量，所以當(dāng)圓盤停頓轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)ω=0，得第32頁(yè)6.3剛體角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律當(dāng)M

=0時(shí)，看成用在剛體（或剛體組系統(tǒng)）上外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸協(xié)力矩為零時(shí)，剛體（或剛體組系統(tǒng)）對(duì)該軸角動(dòng)量守恒?！莿?dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒三種情況：回顧質(zhì)點(diǎn)(系)角動(dòng)量定理對(duì)于剛體有：——?jiǎng)傮w角動(dòng)量定理合外力對(duì)剛體沖量矩等于剛體角動(dòng)量增量?；仡欃|(zhì)點(diǎn)(系)角動(dòng)量定理第33頁(yè)比如地球所受力矩近似為零，地球自轉(zhuǎn)角速度大小方向均不變。地球赤道平面與黃道平面（公轉(zhuǎn)軌道）夾角23?27′保持不變。地球在軌道上不一樣位置，形成春、夏、秋、冬四季改變。①I不變，角速度ω大小和方向均不變

9.0級(jí)日本大地震：+1.6μs8.8級(jí)智利大地震：+1.26μs9.1及印尼大地震：+6.8μs第34頁(yè)另一類常見現(xiàn)象收臂大小Iw

用外力矩開啟轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w②I可變，ω亦可變，但I(xiàn)ω乘積不變第35頁(yè)③剛體組角動(dòng)量守恒第36頁(yè)第37頁(yè)一粒子彈