2023~2024學(xué)年安徽黃山屯溪高考數(shù)學(xué)試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年安徽省黃山市屯溪高考數(shù)學(xué)模擬試題（二模）一、選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則＝（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出集合A,B，然后進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以?故選：B.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡即可得出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?fù)數(shù)的虛部是.故選：D.3.若直線與之間的距離為，則a的值為（）A.4 B. C.4或 D.8或【正確答案】C【分析】將直線化為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.【詳解】將直線化為，則直線與直線之間的距離，根據(jù)題意可得：，即，解得或，所以a的值為或.故選：C4.如圖，有一古塔，在A點(diǎn)測得塔底位于北偏東方向上的點(diǎn)D處，在A點(diǎn)測得塔頂C的仰角為，在A的正東方向且距D點(diǎn)30m的B點(diǎn)測得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），則塔的高度CD約為（）A.17.32m B.14.14m C.10.98m D.6.21m【正確答案】B【分析】在中，根據(jù)正弦定理可求出.在中，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，在中，有，，，根據(jù)正弦定理可得，.在中，有，，，所以(m).故選：B.5.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行得性質(zhì)證明，再根據(jù)可得，進(jìn)而可得出答案.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面，因?yàn)椋矫?，平面，所以，因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C將弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故選：C6.如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A8 B.9 C.10 D.11【正確答案】C【分析】由題意可得的邊長，進(jìn)而可得周長及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，所以，所以前項(xiàng)和，所以，故選：C.7.已知函數(shù)，分別與直線交于點(diǎn)，，則的最小值為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】依題意，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間和最值.【詳解】由題意，，，其中，且，所以，令，，則時，解得，所以時，；時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故選：B．8.已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，M、N分別為的中點(diǎn)，當(dāng)時，直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A.4 B. C. D.2【正確答案】C【分析】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，由此可得四邊形為平行四邊形，由條件證明四邊形為矩形，由此可得四邊形為矩形，再求，結(jié)合雙曲線定義求離心率.【詳解】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)镸、N分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形為矩形，故，所以四邊形為矩形，故為直角三角形，斜邊為，所以，因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，所以，，由雙曲線定義可得，所以曲線的離心率.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)A，C分別位于BD兩側(cè)，則（）A. B.C.多面體的外接球的表面積為 D.點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的軌跡長之比為【正確答案】AD【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)可判斷A，B；由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積可判斷C；由題意轉(zhuǎn)動的半徑長為，轉(zhuǎn)動的半徑長為可判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，所以平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以，故B不正確；因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長為的正方體，則多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C不正確；由題意轉(zhuǎn)動的半徑長為，轉(zhuǎn)動的半徑長為，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的軌跡長之比為，故D正確.故選：AD.10.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．初始感染者傳染個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個人每人再傳染個人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（）A.第三輪被傳染人數(shù)為16人 B.前三輪被傳染人數(shù)累計為80人C.每一輪被傳染的人數(shù)組成一個等比數(shù)列 D.被傳染人數(shù)累計達(dá)到1000人大約需要35天【正確答案】CD【分析】根據(jù)已知條件，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故C正確；所以，當(dāng)時，，故A錯誤；前三輪被傳染人數(shù)累計為，故B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，由，故D正確.故選：CD11.已知定義在R上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，若存在非零常數(shù)t，使得對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，則（）A.函數(shù)具有性質(zhì)B.若函數(shù)具有性質(zhì)，則C.若具有性質(zhì)，則D.若函數(shù)具有性質(zhì)，且，則，【正確答案】ABD【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義直接驗(yàn)證即可判斷A；利用性質(zhì)迭代即可判斷B；取驗(yàn)證性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)性質(zhì)迭代可得，再結(jié)合即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋蔄正確；若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即所以，故B正確；若，取，易知恒成立，所以C錯誤；若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即所以所以又，所以，D正確.故選：ABD12.點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，，是圓上的兩點(diǎn)．則（）A.存在，，，使得B.若，均與圓相切，則弦長的最小值為C.若，均與圓相切，則直線經(jīng)過一個定點(diǎn)D.若存在，，使得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是【正確答案】BCD【分析】根據(jù)幾何知識得到當(dāng)直線，與圓相切且最小時最大，然后求的最大值即可判斷A選項(xiàng)；利用等面積的思路得到，然后求的最小值即可得到弦長的最小值，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圓的定義得到，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)又是圓上的兩點(diǎn)，然后讓兩圓的方程相減得到直線的方程即可得到直線過定點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)存在，，使得得到，然后求時點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由圖可知，當(dāng)直線，與圓相切且點(diǎn)在軸上時最大，此時，，，，所以最大時是銳角，故A錯；，所以，則當(dāng)最小時，弦長最小，，所以，故B正確；設(shè)點(diǎn)，，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，圓的方程為，即①，又，是圓②上的兩點(diǎn)，所以直線的方程為②-①：，過定點(diǎn)，故C正確；若存在，，使得，則，當(dāng)直線，與圓相切時，最大，對應(yīng)的余弦值最小，當(dāng)直線，與圓相切，且時，，，因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，則___________．【正確答案】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，利用兩角和的正弦公式求得，再用正弦定理即可求得答案.【詳解】在中，，則，故，故由正弦定理得,故14.南海中學(xué)環(huán)保小組共有6名成員，該環(huán)保小組計劃前往佛山市4個不同的景區(qū)開展環(huán)?；顒樱竺總€景區(qū)至少有1人，且每個人只能去一個景區(qū)，則不同的分配方案有__________.【正確答案】1560【分析】將6名成員分4組，考慮每組的人數(shù)情況有1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方法，再將4組成員分配到4個不同的景區(qū)開展環(huán)?；顒?，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得答案．【詳解】第一步：將6名成員分成4組，按照1，1，1，3的方式來分，有種分配方案；按照1，1，2，2的方式來分，有種分配方案；第二步：將4組成員分配到4個不同的景區(qū)開展環(huán)保活動，共有種分配方案，故符合要求的分配方案有種．故1560．15.已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．【正確答案】##【分析】由可設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)內(nèi)心的向量性質(zhì)可得為的內(nèi)心，進(jìn)而根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，可設(shè)，由，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）.因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且故也為的角平分線，為的內(nèi)心.如圖，設(shè)，，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上投影長為，則在上的投影向量為．故16.對于數(shù)列，記，，，則稱是的“下界數(shù)列”，令，是的下界數(shù)列，則_____________；（參考公式：）【正確答案】【分析】首先分析的單調(diào)性，結(jié)合所給“下界數(shù)列”的定義求出的通項(xiàng)公式，再分和兩種情況討論，利用分組求和法計算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，且，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以.故四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.17.若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)依次成調(diào)和數(shù)列，則稱是和的調(diào)和中項(xiàng).（1）求和的調(diào)和中項(xiàng)；（2）已知調(diào)和數(shù)列，，，求的通項(xiàng)公式.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得到、、成等差數(shù)列，從而得到方程，求出，得到答案；（2）根據(jù)題意得到是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項(xiàng)公式基本量計算得到公差，從而求出，得到的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】設(shè)和的調(diào)和中項(xiàng)為，依題意得：、、成等差數(shù)列，所以，解得：，故和的調(diào)和中項(xiàng)為；【小問2詳解】依題意，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，故.18.，，，（1）若，求的值；（2）若函數(shù)最小正周期為①求的值；②當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍【正確答案】（1）（2）①；②見解析.【分析】（1）首先代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用三角恒等變形，化簡函數(shù)，并代入求值；（2）首先根據(jù)周期公式求，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求的最大值，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時，，【小問2詳解】①由（1）知，最小正周期，得，②當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，的最大值為2，不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，得，綜上可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，的最大值為0不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，得，綜上可得，，綜上可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，19.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過程中，（1）求證：平面；（2）若二面角，求與面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計算可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，為線段的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，由，，為邊的中點(diǎn)，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點(diǎn)所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點(diǎn)作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為20.現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細(xì)胞每次分裂能生成一個或兩個新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失，設(shè)每次分裂成一個新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細(xì)胞間相互獨(dú)立.設(shè)有一個初始的細(xì)胞，在第一個周期中開始分裂，其中.（1）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞數(shù)量為的概率為.（i）求；（ii）證明.【正確答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出的取值及不同取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，利用期望公式求出期望；（2）（i）求出第時分裂為個細(xì)胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，即可求解；（ii）求出第時分裂為個細(xì)胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，求出，再利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定最值，即可得證.【小問1詳解】個結(jié)束后，的取值可能為,其中,，，，所以分布列為.【小問2詳解】（i）表示分裂結(jié)束后共有個細(xì)胞的概率，則必在某一個周期結(jié)束后分裂成個細(xì)胞.不妨設(shè)在第時分裂為個細(xì)胞，之后一直有個細(xì)胞，此事件概率，所以.（ii）代表分裂后有個細(xì)胞的概率，設(shè)細(xì)胞在后分裂為個新的細(xì)胞，這兩個細(xì)胞在剩下的中，其中一個分裂為個細(xì)胞，一個保持一直分裂為個細(xì)胞，此事件的概率，得，，其中，.令,，記，,令，得.當(dāng),,遞增；當(dāng)，,遞減.故，也就是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個，一是求解時，利用等比數(shù)列的知識求解；二是求解的最值時，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)來求解.21.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長最大值為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），D為射線上一點(diǎn)，且，線段與橢圓C交于點(diǎn)E，，求四邊形的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可知，當(dāng)過右焦點(diǎn)時，的周長取最大值，求得，通過離心率可求得，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，由題目條件可得，由可得四邊形面積為，當(dāng)直線PQ斜率為0時，易得；當(dāng)直線斜率不為0時，將直線PQ方程與橢圓方程聯(lián)立后，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得，后可得，即可求解【小問1詳解】設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由題意可知，則，當(dāng)過右焦點(diǎn)時，的周長取最大值，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程【小問2詳解】設(shè)，因P，Q均在橢圓上，則.又，則.由可得，則四邊形面積為.當(dāng)直線PQ斜率為0時，易知，又，則.根據(jù)對稱性不妨取，，由得，則，得此時；當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)的方程為