2023~2024學(xué)年北京密云區(qū)高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年北京市密云區(qū)高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先求出B集合的元素，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由題意，；故選：C.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】由，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A3．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性跟比較即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：B4．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【正確答案】C【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故D錯.故選：C.5．平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解作答.【詳解】在中，，，所以.故選：D6．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】數(shù)列中，對任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A7．函數(shù)的部分圖象是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】首先判斷出為偶函數(shù)，然后結(jié)合時，為負(fù)數(shù)，確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，則的圖象關(guān)于軸對稱，排除C，D；當(dāng)時，，排除B.故選：A本題考查函數(shù)圖象，考查推理論證能力.8．某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，可推得，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算的公式求解即可.【詳解】設(shè)從年后，第年該公司全年投入的研發(fā)資金為萬元，則，由題意得，，即，故，則，故公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是年.故選：C9．血藥濃度（Plasma

Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中：①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒；③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒.其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】C【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合題意，逐個判斷即可．【詳解】①根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，血液濃度達(dá)到最低有效濃度，藥物發(fā)揮治療作用，故正確；②根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后血液濃度達(dá)到最大值，由圖象可知兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，故正確；③根據(jù)圖象可知，每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使血藥濃度大于最低有效濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故正確；④根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，會發(fā)生藥物中毒，故錯誤．故選：C．10．已知是圓上一個動點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是.故選：B思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【正確答案】【分析】利用對數(shù)、分式、根式的性質(zhì)列不等式，求的范圍，即得定義域.【詳解】由函數(shù)解析式，知：，解得且.故答案為.12．已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則二項(xiàng)式系數(shù)之和為___________.【正確答案】【分析】令，結(jié)合二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和可求得的值，進(jìn)而可求得該二項(xiàng)式系數(shù)之和.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得，解得，因此，二項(xiàng)式系數(shù)之和為.故答案為.三、雙空題13．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________；漸近線方程為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，則，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為.故；.14．設(shè)函數(shù).①當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為___________；②若且，使得成立，則實(shí)數(shù)a的一個取值范圍________.【正確答案】【分析】當(dāng)時，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間，由，得到的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合題意，即可求得的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時，可得，函數(shù)的圖象，如圖所示，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

②由，可函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，若且，使得成立，如圖所示，則滿足，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

故；.四、填空題15．如圖，在正方體，P為線段上的動點(diǎn)（且不與，重合），則以下幾種說法：

①②三棱錐C-BPD的體積為定值③過P，C，三點(diǎn)作截面，截面圖形為三角形或梯形④DP與平面所成角的正弦值最大為上述說法正確的序號是___________.【正確答案】①②③【分析】①根據(jù)為正方體得到，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可得到；②根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為定值，三角形的面積為定值即可得到三棱錐的體積為定值；③根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷截面的形狀即可；④根據(jù)線面角的定義得到為與平面所成角，然后求線面角即可.【詳解】連接，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，四邊形為正方形，

因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故①正確；因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為定值，三角形的面積為定值，，所以三棱錐的體積為定值，故②正確；根據(jù)正方體性質(zhì)可知，當(dāng)延長線與棱相交時，截面為三角形，當(dāng)延長線與相交時，截面為梯形，故③正確；連接，由題意得為與平面所成角，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)最小時，最大，最大，設(shè)正方體邊長為，則，此時，故④錯.故①②③.五、解答題16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過求出和面的一個法向量，即可證明結(jié)論；（2）分別求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點(diǎn)，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點(diǎn)，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∴，∴，面的一個法向量為，∵，∴平面.（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當(dāng)時，，在面中，其一個法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【正確答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計(jì)算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.【詳解】（1），，，，得Z，由，得；（2）若條件①正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，即?ii)由正弦定理，得，即，因?yàn)槠椒?，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所?18．為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于的概率；(2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以頻率估計(jì)概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)應(yīng)定為多少合適？（只需寫出結(jié)論）.【正確答案】(1)(2)分布列答案見解析，(3)【分析】（1）分析可知戶居民中，第組的居民數(shù)為，第組的居民數(shù)為，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值；（3）計(jì)算出月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)，即可得解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，戶居民中，第組的居民戶數(shù)為，第組的居民戶數(shù)為，從第組、第組中任取戶居民，他們月均用電量都不低于的概率為.（2）該地區(qū)月均用電量在之間的用戶所占的頻率為，由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：.（3）前個矩形的面積之和為，設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，則，則，解得，故應(yīng)定為較為合適.19．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）計(jì)算出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2），其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，證明出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，所以，，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：令，其中，，令，其中，則，當(dāng)時，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即.20．橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和長軸長；(2)點(diǎn)M，N在C上，且.證明：直線MN過定點(diǎn).【正確答案】(1)橢圓的方程為：，長軸長為(2)證明見解析【分析】（1）利用離心率、橢圓上的點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，從而得到橢圓方程及長軸長；（2）由可得到；假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到韋達(dá)定理的形式，代入垂直關(guān)系得到等式中，可整理得到關(guān)系，代入直線方程后可確定所過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意得：，解得：，橢圓的方程為：，長軸長為；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，整理可得：①，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立得：，由得：，則，，，，代入①式化簡可得：，即，或，則直線方程為或，直線過定點(diǎn)或，又和點(diǎn)重合，故舍去，當(dāng)直線斜率不存在時，則，此時，即，又，解得或（舍去），此時直線的方程為，過點(diǎn)，綜上所述，直線過定點(diǎn).

思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的關(guān)系，同時得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知的等量關(guān)系，化簡整理得到所求定點(diǎn).21．設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【正確答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)樗运詳?shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛颍曰?若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)