2023~2024學(xué)年甘肅定西高考數(shù)學(xué)理押題試題帶解析

2023-2024學(xué)年甘肅省定西市高考數(shù)學(xué)（理）押題模擬試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可化簡，根據(jù)集合的交兵補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，所以，，或，所以，故選：B2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可由共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】由得，所以故選：A3．某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該年級共有600名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加合唱社團(tuán)的同學(xué)有75名，參加脫口秀社團(tuán)的有125名，則該年級（

）

A．參加社團(tuán)的同學(xué)的總?cè)藬?shù)為600B．參加舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的15%C．參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)比參加太極拳社團(tuán)的多120人D．從參加社團(tuán)的同學(xué)中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團(tuán)的概率為0.35【正確答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)參加合唱社團(tuán)的同學(xué)有75名求出參加社團(tuán)總?cè)藬?shù)；B選項(xiàng)，先計(jì)算出參加脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占比，進(jìn)而得到舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占比；C選項(xiàng)，計(jì)算出參加兩個(gè)社團(tuán)的人數(shù)，作差求出答案；D選項(xiàng)，利用，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，故參加社團(tuán)的同學(xué)的總?cè)藬?shù)為500，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，參加脫口秀社團(tuán)的有125名，故參加脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，所以參加舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)為，參加太極拳社團(tuán)的人數(shù)為，故參加朗誦社團(tuán)的人數(shù)比參加太極拳社團(tuán)的多人，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，從參加社團(tuán)的同學(xué)中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團(tuán)的概率為，即0.35，D正確.故選：D4．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而由二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以，故選：C5．某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2，則側(cè)（左）視圖中的（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】B【分析】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，如圖所示，

其中三棱錐得高為，底面積為，所以該幾何體得體積為，解得.故選：B.6．已知是定義在上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意推得，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件和函數(shù)的周期性，得到，代入即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且函數(shù)為奇函數(shù)，可得.故選：D.7．新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：）情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1500個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號新能源汽車的耗電量，若樣本中耗電量不小于的汽車大約有600輛，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【正確答案】A【分析】由正態(tài)分布知識得到對應(yīng)車輛數(shù)，即可得答案.【詳解】由題可得時(shí)，對應(yīng)車輛數(shù)為，又時(shí)，對應(yīng)車輛數(shù)為，則時(shí)，對應(yīng)車輛數(shù)為900，則時(shí)，對應(yīng)車輛數(shù)為，又對應(yīng)車輛數(shù)等于對應(yīng)車輛數(shù)，則時(shí)，對應(yīng)車輛數(shù)為.則.故選：A8．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號成立，故的最大值為.故選：A.9．若三角形三邊長分別為a，b，c，則三角形的面積為，其中，這個(gè)公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，a＝6，則面積的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【正確答案】B【分析】根據(jù)海倫-秦九韶公式化簡得，再利用基本不等式求最值.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又a＝6，所以，可得，且，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故面積的最大值為12.故選：B10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先利用三角恒等變換得到，得到平移后的解析式，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求出，，得到最小正值.【詳解】，故圖象向右平移個(gè)單位長度得到，又，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，取得最小正值，最小正值為.故選：A11．已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點(diǎn)，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由題意可得，則直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設(shè)，由，得，則，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榈闹荛L為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：D12．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】化簡，得到，，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得，可得，設(shè)，可得，所以單調(diào)遞減，則，即，所以；又由，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以.故選：C.二、填空題13．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線x＋ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝______．【正確答案】1【分析】求導(dǎo)，得切線的斜率，根據(jù)兩直線垂直滿足斜率相乘為-1即可求解.【詳解】由得，所以，由于在處的切線與直線x＋ay－1＝0垂直，所以，故114．若的展開式中x的系數(shù)與的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)a＝______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由條件列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，且x的系數(shù)與的系數(shù)相等，則，即，所以，且，所以.故答案為.15．已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個(gè)滿足條件的的坐標(biāo)為______.【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橄蛄浚遗c的夾角為鈍角，所以，所以，不妨令，則，故，故（答案不唯一）.16．如圖，四棱錐P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝3，AD＝PA＝4，E是棱BC上一點(diǎn)，則當(dāng)截面PDE的周長最短時(shí)，PE與AB所成角的余弦值等于______．

【正確答案】【分析】矩形沿旋轉(zhuǎn)到與在同一平面，的最小值為，可得，過作交于，連接，，為異面直線與所成的角，求解即可．【詳解】四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，平面，平面,，平面，平面，故平面，，將矩形沿旋轉(zhuǎn)到與在同一平面，如圖1，連接,此時(shí)交于點(diǎn)的最小值為，,,故的最小值為，此時(shí)，，

圖1

圖2過作交于，連接，，由題意可得，故為異面直線與所成的角，又，，平面，平面，故，，又可得，，，．故三、解答題17．在數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合等差、等比數(shù)的求和公式，以及乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足且，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，可得，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，又由，所以18．2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價(jià)，也取得了很好的票房成績．某平臺(tái)為了解觀眾對該影片的評價(jià)情況（評價(jià)結(jié)果僅有“好評”“差評”），從平臺(tái)所有參與評價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）：好評差評合計(jì)男性8030110女性306090合計(jì)11090200(1)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對該部影片的評價(jià)與性別有關(guān)？(2)若將頻率視為概率，從所有給出“差評”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量X表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】(1)有99.9%的把握認(rèn)為對該部影片的評價(jià)與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望為1【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算公式計(jì)算，即可與臨界值比較求解，（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算概率，即可求解.【詳解】（1）由二聯(lián)表可得,所以有99.9%的把握認(rèn)為對該部影片的評價(jià)與性別有關(guān)（2）所有給出“差評”的觀眾中隨機(jī)抽取一名男觀眾的概率為，隨機(jī)抽取一名女觀眾的概率為，X表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，則

，，所以X的分布列為0123

數(shù)學(xué)期望為．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，進(jìn)而得線面平行，即可求證面面平行，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由于點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，所以,,平面平面PCD,故平面PCD,又是的中點(diǎn)，所以,,平面平面PCD,,故平面PCD,由于平面,所以平面平面PCD.（2）由于底面ABCD，底面為菱形，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以,設(shè)平面和平面的法向量分別為，所以取，同理取，設(shè)二面角P－EF－O的平面角為，則，所以，

20．已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，結(jié)合拋物線的定義得出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，由結(jié)合拋物線方程得出是方程的兩根，設(shè)直線AB的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，所以點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，則點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設(shè)，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，易得，由韋達(dá)定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)滿足條件.

21．已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．【正確答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，后結(jié)合定義域可得單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，.則要證，等價(jià)于證明，后構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題，，則.因，則.則在上單調(diào)遞增；（2）.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，，則只有一個(gè)極值點(diǎn)，與題意不合；當(dāng)時(shí)，.則.則..注意到，則要證，即證.構(gòu)造函數(shù)，.則，即在上單調(diào)遞增.則，即.關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于雙變量問題，常利用題目中的等量關(guān)系將雙變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}，而證明函數(shù)不等式，常構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)利用單調(diào)性解決問題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，然后將代入整理即可.（2）聯(lián)立直線和（1）