2023~2024學(xué)年廣東廣州高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進(jìn)而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.2．下列關(guān)于某個復(fù)數(shù)的說法中，①②③④有且只有一個說法是錯誤的，則錯誤的是（

）A．① B．② C．③ D．④【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的求法與四則運算，逐一驗證，即可求解.【詳解】解：設(shè),若①正確，因為，即，所以，解得:，，若②正確，即，所以，，若③正確，，不能得到，，若④正確，,即，，綜上，錯誤的是③，故選：C.3．已知，則是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，分別驗證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.【詳解】由，即，可得，或，或，當(dāng)時，可得，所以，即；當(dāng)時，可得，，所以，即；當(dāng)時，可得，，所以，所以；故是的充分條件.由，即，可得或，或，當(dāng)時，，即，所以，所以；當(dāng)時，，即，顯然成立，此時；當(dāng)時，，即，所以，所以，即；故是的必要條件.所以是的充分必要條件.故選:C4．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用兩角和差余弦公式和輔助角公式可求得，結(jié)合二倍角余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，.故選：A.5．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記數(shù)列的前項和，且滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)求出，判斷是等差數(shù)列，求出的通項公式，再求出，逐個判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，因為，代入得：，化簡得：，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，因為，所以所以，，，經(jīng)檢驗也成立，所以，對于B：，所以B正確.對于D：，所以D錯誤.故選：B6．“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿80元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費領(lǐng)取一件，若有5名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】先由組合及分步計數(shù)原理求出恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的情況，再求出總情況，由古典概型求解即可.【詳解】先考慮恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的，先從5人中選取3人有種，再從三類禮品中領(lǐng)取一件有，另外2人從剩下的2類禮品中任意選擇有種，按照分步乘法計數(shù)原理可得種，又總情況有種，故恰有3人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是.故選：D.7．設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，，……，遍及多面體M的所有以P為公共點的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們在各頂點處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意給的定義，結(jié)合圖形，分別求出a、b、c、d的值即可比較大小.【詳解】對于正四面體，其離散曲率為，對于正八面體，其離散曲率為，對于正十二面體，其離散曲率為，對于正二十面體，其離散曲率為，則，所以.故選：B.8．對于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求出，所以轉(zhuǎn)化為：任意恒成立，令，分類討論值，求出，即可求出答案.【詳解】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以轉(zhuǎn)化為：，令，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.②當(dāng)時，您，所以，（i）當(dāng)即時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以.(ii)當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.綜上，的取值范圍為.故選：B.二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】ABC【分析】按照向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、模的坐標(biāo)運算、夾角公式及平行的坐標(biāo)公式依次判斷即可.【詳解】，A正確；，B正確；，則，C正確；，D錯誤.故選：ABC.10．在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【正確答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結(jié)合選項，的可能取值為，，.故選：ACD11．已知雙曲線（）的左?右焦點分別為F1（?c，0），F(xiàn)2（c，0）.直線與雙曲線左?右兩支分別交于A，B兩點，M為線段AB的中點，且|AB|=4，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的離心率為 B．C． D．【正確答案】BD【分析】連接，設(shè)，由已知，利用雙曲線的定義求得，判斷D正確，根據(jù)直線的斜率把圖中線段用表示，從而求得，得離心率判斷A，由數(shù)量積的定義計算數(shù)量積判斷BC．【詳解】如圖，連接，設(shè)，因為，所以，D正確.又為線段的中點，所以.又，所以，則，得，所以雙曲線的離心率為，A不正確；，B正確，C不正確.故選：BD．12．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同解，則的取值可能是（

）A． B． C．0 D．2【正確答案】BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出取值范圍.【詳解】因為的兩根為，所以，從而．令，則，．因為，所以，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題13．若，且，若的展開式中存在常數(shù)項，則該常數(shù)項為__________.【正確答案】【分析】利用二項式定理的通項公式及常數(shù)項的特點即可求解.【詳解】由題意可知，的展開式中的通項公式為.令，解得，又因為，且，所以,所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為.14．已知為拋物線上的兩點，，若，則直線的方程為_________.【正確答案】【分析】由于可得為中點，則，根據(jù)點差法即可求得直線的斜率，從而得方程．【詳解】設(shè)又，因為，所以，又，則，得則直線的斜率為，故直線的方程為，化簡為．聯(lián)立，可得，直線與拋物線有兩個交點，成立故．15．講一個半徑為5的水晶球放在如圖所示的工藝架上，支架是由三根金屬桿PA?PB?PC組成，它們兩兩成60°角.則水晶球的球心到支架P的距離是___________.【正確答案】5【分析】由題意畫出示意圖，O為球心，利用所給數(shù)據(jù)，求出DA，PD，OD，利用cos60°=cos30°cos∠CPD解出PO即可.【詳解】解：設(shè)PO=x，作OD⊥平面BPA，連接AD，DB，則PA=，DA=，PD=，OD=，cos60°=cos30°cos∠CPD，，1=，，所以x=，故5.本題考查直線與球相切的有關(guān)問題，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題.關(guān)鍵是利用含有直二面角的三面角三余弦定理cos∠APC=cos∠APDcos∠CPD計算求解.16．某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則__________（答案精確到1）.【正確答案】9920【分析】根據(jù)已知，建立與的關(guān)系式，通過比較系數(shù)，得到和的值，進(jìn)而得到是等比數(shù)列，求得其前項的和，即可得出的結(jié)果.【詳解】由題知，，，，，，由得，則，解得，所以，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因，所以.故四、解答題17．已知遞增等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.（1）求的前n項和；（2）若，求數(shù)列的通項公式.【正確答案】（1）；（2）.（1）根據(jù)等差數(shù)列公式，列出方程組，求得的hi，得到，進(jìn)而求得，得到答案.（2）由（1）得到，化簡得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由，解得或（舍去），所以，則，即，所以，所以數(shù)列的前n項和.（2）由（1）知，又由，.本題考查了等差、等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列的前和公式，以及“分組法”求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及合理利用“分組法”求和，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，注重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.18．在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.【正確答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因為是銳角三角形，所以，即，則.中線長的取值范圍是.19．如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.20．隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機也頻頻降價飛入尋常百姓家．某科技公司為了打開市場，計劃先在公司進(jìn)行“抽獎免費送5G手機”優(yōu)惠活動方案的內(nèi)部測試，測試成功后將在全市進(jìn)行推廣．（1）公司內(nèi)部測試的活動方案設(shè)置了第次抽獎中獎的名額為，抽中的用戶退出活動，同時補充新的用戶，補充新用戶的名額比上一次中獎用戶的名額少2個．若某次抽獎，剩余全部用戶均中獎，則活動結(jié)束．參加本次內(nèi)部測試第一次抽獎的有15人，甲、乙均在其中．①請求甲在第一次中獎和乙在第二次中獎的概率分別是多少?②請求甲參加抽獎活動次數(shù)的分布列和期望?（2）由于該活動方案在公司內(nèi)部的測試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣．報名參加第一次抽獎活動的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第次抽獎中獎的概率為，每次中獎的用戶退出活動，同時補充相同人數(shù)的新用戶，抽獎活動共進(jìn)行次．已知用戶丙參加了第一次抽獎，并在這次抽獎活動中中獎了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎活動次數(shù)的均值小于．【正確答案】（1）①甲在第一次中獎的概率為，乙在第二次中獎的概率為；②分布列見解析，；（2）證明見解析．【分析】（1）①確定參與抽獎人數(shù)和中獎人數(shù)，可得概率，其中乙第二次中獎，是在第一次不中獎的基礎(chǔ)上才能第二次抽中獎，由條件概率公式計算；②設(shè)甲參加抽獎活動的次數(shù)為，則，注意第2次中獎是在第一次未中獎的條件下才發(fā)生，同樣第3次中獎是在前2次都未中獎的條件下才可能發(fā)生．由條件概率公式計算出概率的分布列，由期望公式可計算期望；（2）丙在第奇數(shù)次中獎的概率為，在第偶數(shù)次中獎的概率為．“丙中獎”為事件，則，設(shè)丙參加抽獎活動的次數(shù)為，求出丙在第和次中獎的概率和，這兩個概率相等，這樣在丙中獎這個條件下可得第次和第次中獎的概率和，由期望公式計算出期望，用錯位相減法求得分子的和，得化簡后可證結(jié)論．【詳解】（1）①甲在第一次中獎的概率為，乙在第二次中獎的概率為．②設(shè)甲參加抽獎活動的次數(shù)為，則，；；，123∴．（2）證明：丙在第奇數(shù)次中獎的概率為，在第偶數(shù)次中獎的概率為．設(shè)丙參加抽獎活動的次數(shù)為，“丙中獎”為事件，則，令，則丙在第次中獎的概率在第次中獎的概率，即，在丙中獎的條件下，在第，次中獎的概率為，則丙參加活動次數(shù)的均值為，設(shè)，則，∴，，所以．本題考查條件概率，考查隨機事件的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，難點是理解中獎規(guī)則，得出和，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于難題．21．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)對分類討論的正負(fù)得出的單調(diào)性；（2）變形，利用導(dǎo)數(shù)對的值進(jìn)行分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題知，的定義域為，∴．（對函數(shù)求導(dǎo)后，由于恒大于0，故對進(jìn)行正負(fù)分類討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性）當(dāng)時，在上恒成立，故在上是增函數(shù)；當(dāng)時，令得在上有，在上有∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）當(dāng)時，，即（*）．令則．①若，由（1）知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)故有即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時取等號）（根據(jù)及基本不等式可知需對和的大小分類討論）∴函數(shù)在區(qū)間上