2023~2024學(xué)年河北唐山保定高考數(shù)學(xué)押題試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年河北省唐山市保定市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（一模）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可.【詳解】，則.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由元素與集合的關(guān)系，及集合的交集、并集運(yùn)算一一判定.【詳解】顯然，故，即A錯(cuò)誤；，故，即B錯(cuò)誤；由條件可知：，∴，即C錯(cuò)誤；由條件可知：，∴，故D正確.故選：D3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】等比數(shù)列中，，由，得，由，得，所以.故選：C4.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想可以表述為“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如.在不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.【詳解】不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)有，任取兩個(gè)不同數(shù)有，共10個(gè)，其中和為偶數(shù)的結(jié)果有，共6個(gè)，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為.故選：B5.已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，，，，則“，相交“是“，相交”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：①若，相交，，，則其交點(diǎn)在交線上，故，相交，②若，相交，可能，為相交直線或異面直線．綜上所述：，相交是，相交的充分不必要條件．故選：C．6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，可排除B,D，再判斷時(shí)函數(shù)的正負(fù)即可得出.【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除B，D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，排除A選項(xiàng).故選：C.思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（）A.10 B.12 C.13 D.15【正確答案】B【分析】設(shè)圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，可得，，可求四邊形的面積的最大值．【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，直線，互相垂直，垂足為，，，，．故選：B．8.黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形.已知在頂角為36°的黃金三角形中，36°角對(duì)應(yīng)邊與72°角對(duì)應(yīng)邊的比值為，這個(gè)值被稱為黃金比例.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用正弦定理求出，代入求值式子，利用二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)作答.【詳解】在中，，則，由正弦定理得，所以.故選：D思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A.是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心B.是曲線的一條對(duì)稱軸C.曲線向左平移個(gè)單位，可得曲線D.曲線向右平移個(gè)單位，可得曲線【正確答案】AD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)，對(duì)于A，，是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；對(duì)于B，，不是曲線的對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線向左平移個(gè)單位，得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，曲線向右平移個(gè)單位，得，D正確.故選：AD10.已知符號(hào)函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】利用函數(shù)的周期性及給定函數(shù)，求出函數(shù)的值域，再結(jié)合符號(hào)函數(shù)逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而是偶函數(shù)，則當(dāng)，，因此當(dāng)時(shí)，，其取值集合為，又，即是周期為2的函數(shù)，于是函數(shù)的值域?yàn)?，的部分圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，C正確；當(dāng)時(shí)，取，則，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABD11.拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（）A. B.3 C. D.【正確答案】ABC【分析】分類討論A的位置，再由拋物線的定義轉(zhuǎn)化線段和求最小值或三角形三邊關(guān)系判定最小值即可.【詳解】如上圖所示，若A在拋物線內(nèi)，易知，拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)P作PE垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為E，過(guò)A作AB垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為B，交拋物線于，由拋物線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，即重合時(shí)取得最小值，，又A在拋物線內(nèi)，故，所以，即；若A在拋物線外，連接AF交拋物線于G點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得最小值，此時(shí)即.綜上.故選：ABC12.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)探討單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)比較判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)且時(shí)，恒有，則，A錯(cuò)誤；顯然有，則，即有，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，，若，則___________.【正確答案】【分析】用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】依題意：，解得m=-4，故-4.14.的展開式中，的系數(shù)為__．【正確答案】【分析】把展開，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得的展開式中，的系數(shù)．【詳解】由展開式的通項(xiàng)公式為.所在的展開式中含的系數(shù)為.故．15.設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線在第一象限部分上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平分線的垂線，垂足為，則______.【正確答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由，得到，根據(jù)雙曲線的定義，得到，求得，在中，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由為的平分線及，可得，所以，根據(jù)雙曲線的定義，可得，即，即，在中，由和分別為的中點(diǎn)，所以.故答案為.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為____________.【正確答案】【分析】由題意畫出圖形，可得，均為等邊三角形，設(shè)球心為O，的中心為，取中點(diǎn)，連接AF，CF，OB，，AO，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解棱錐外接球的半徑，再由球的表面積公式求解.【詳解】由已知得，均為等邊三角形，如圖所示，設(shè)球心為O，的中心為，取中點(diǎn)，連接AF，CF，OB，，AO，則，，而，平面，∴平面，可求得而，，則，在平面中，過(guò)點(diǎn)作的垂線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由平面，平面，得，又，，平面，故平面，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，而，設(shè)球的半徑為R，，則由，，得，，解得，，故三棱錐外接球的表面積為.故方法點(diǎn)睛：對(duì)于三棱錐外接球的三種模型第一種模型為常見墻角模型，此時(shí)將三棱錐看作長(zhǎng)方體中的一個(gè)部分，將長(zhǎng)方體進(jìn)行補(bǔ)全之后就可以找到外接球半徑與長(zhǎng)方體三邊之間的關(guān)系.第二種模型為對(duì)邊相等的三棱錐外接球，方法同樣將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，我們可以通過(guò)畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)邊，然后通過(guò)每一組在直角三角形中的滿足勾股定理的形式而列出方程，然后再將三組方程相加之后就可以得到長(zhǎng)方體三邊的平方的關(guān)系，繼而可以求出外接球的半徑.第三種模型為確定球心來(lái)構(gòu)造直角三角形，這種模型最關(guān)鍵的就是利用底面三角形的外心來(lái)確定球心，然后來(lái)構(gòu)造直角三角形將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，在直角三角形當(dāng)中來(lái)求出球的半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.（1）求角大??；（2）若，，求的面積.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理及和角正弦公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論及已知，利用余弦定理、三角形面積公式求解作答.【小問(wèn)1詳解】在中，由，得，整理得，由正弦定理，得，即，又，有，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，而，，由余弦定理，得，解得，所以的面積.18.在①，②、、成等比數(shù)列，③.這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答本題.問(wèn)題：已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且滿足___________.（1）求；（2）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）條件選擇見解析，（2）【分析】（1）根據(jù)所選條件，得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：①：因?yàn)椤?、成等比?shù)列，則，即，因?yàn)椋傻?②：，可得.③：，可得，可得.若選①②，則有，可得，則；若選①③，則，則；若選②③，則，可得，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：，且，則，所以，當(dāng)時(shí)，則有，也滿足，故對(duì)任意的，，則，所以，.19.為深入貫徹黨的十九大教育方針.中共中央辦公廳?國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》.鄭州某中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組隨機(jī)抽查了我市2000名初二學(xué)生“雙減”政策前后每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到如下頻數(shù)分布表：表一：“雙減”政策后時(shí)間（分鐘）人數(shù)1060210520730345125表二：“雙減”政策前時(shí)間（分鐘）人數(shù)4024556061040313012（1）用一個(gè)數(shù)字特征描述“雙減”政策給學(xué)生的運(yùn)動(dòng)時(shí)間帶來(lái)的變化（同一時(shí)間段的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值做代表）；（2）為給參加運(yùn)動(dòng)的學(xué)生提供方便，學(xué)校在球場(chǎng)邊安裝直飲水設(shè)備.該設(shè)備需同時(shí)裝配兩個(gè)一級(jí)濾芯才能正常工作，且兩個(gè)濾芯互不影響，一級(jí)濾芯有兩個(gè)品牌A?B：A品牌售價(jià)5百元，使用壽命7個(gè)月或8個(gè)月（概率均為0.5）；B品牌售價(jià)2百元，壽命3個(gè)月或4個(gè)月（概率均為0.5）.現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案，方案甲：購(gòu)置2個(gè)品牌A；方案乙：購(gòu)置1個(gè)品牌A和2個(gè)品牌B.試從性價(jià)比（設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間與購(gòu)置一級(jí)濾芯的成本之比）角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠.【正確答案】（1）大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都變長(zhǎng)（2）方案乙性價(jià)比更高【分析】（1）從眾數(shù)的角度分析數(shù)據(jù)的變化情況；（2）若采用甲方案，記設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間為，則取值可能為、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出的期望，再計(jì)算性價(jià)比，同理算出乙方案的性價(jià)比，比較即可；【小問(wèn)1詳解】解：雙減政策后運(yùn)動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是65，雙減政策前的眾數(shù)是55，說(shuō)明雙減政策后，大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都變長(zhǎng)；【小問(wèn)2詳解】解：若采用甲方案，記設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間為（單位是月），則的取值可能為、，則，，則的分布列：它與成本之比為E(X)5+5若采用乙方案，記設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間為（單位是月），則的取值有、、，則，P(Y=7)=58，，它與成本之比為方案乙性價(jià)比更高.20.在直角梯形中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．將沿折起，使，連接、、，得到三棱錐．（1）求證：平面平面；（2）若，二面角的余弦值為，求二面角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）推導(dǎo)出平面，可得出，結(jié)合以及線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角為，由，可求得，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）在直角梯形中，，，則，在三棱錐中，，，，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋?，所以平面，平面，所以平面平面；?）由（1）可知平面，、平面，，，所以二面角的平面角即為．由（1）可知，平面，平面，，在中，，，故，，在直角梯形中，設(shè)，則，在三棱錐中，，，易知，得到，即，解得，所以，，以、所在直線為、軸，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，以其為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得、、、，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，得，得，令，則，所以，，，因此，二面角的正弦值為．本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求二面角，以及利用二面角的定義取線段長(zhǎng)度，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)可以得到二階導(dǎo)大于等于零，即，，時(shí)，，即可得到答案.（2）根據(jù)題意有不等式恒成立．令，則等價(jià)于不等式恒成立，①若，不等式（*）顯然成立，此時(shí)②若時(shí)，不等式（*）等價(jià)于.求出的最小值即可得到答案.【小問(wèn)1詳