2023~2024學(xué)年上海奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（二模）一、填空題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為__________.【正確答案】【分析】由題意知，求復(fù)數(shù)的虛部可轉(zhuǎn)化為先求，從而解得．【詳解】因為，所以，故，故復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為.2．已知，則__________.【正確答案】3【分析】由二次方程的根只有一個，則，且根為1，代入即可求解.【詳解】因為，所以二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則①，且方程的根為1，所以②，聯(lián)立①②解得：所以故答案為.3．分別拋鄭3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則等可能事件的樣本空間中樣本點的個數(shù)是__________．【正確答案】8【分析】根據(jù)每枚硬幣的情況數(shù)，即可求出分別拋鄭3枚硬幣的所有情況數(shù)．【詳解】每枚硬幣都有2種情況，即正面和反面，則分別拋擲3枚硬幣，（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），所有，故8．4．已知向量，,若，則實數(shù)__________．【正確答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)運算公式計算即可．【詳解】因為，所以，解得，故．5．已知是同一直線上三個不同的點，為直線外一點，在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前7項和__________.【正確答案】/3.5【分析】由題意，然后利用等差數(shù)列的前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因為是同一直線上三個不同的點，為直線外一點，且，所以，則.故答案為.6．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為.7．珠穆朗瑪峰高達8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上?？吹剿粋€觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認為最不重要的一個假設(shè)是__________．【正確答案】①【分析】由數(shù)學(xué)建模時，假設(shè)針對問題的主要因素，忽略次要因素的原則，即可得出答案．【詳解】數(shù)學(xué)建模時，針對問題的主要因素，忽略次要因素，這里我們需要測量觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠，主要關(guān)注的應(yīng)該是珠穆拉瑪峰的高度，此時，珠穆朗瑪峰的形狀對于測量結(jié)果影響很小，故假設(shè)①最不重要，故①．8．安排4名男生和3名女生參與完成3項工作，要求必須每人參與一項，每項工作至少由1名男生和1名女生完成，則不同的安排方式種數(shù)為__________．【正確答案】216【分析】首先根據(jù)捆綁法將男生分為3組，然后男生與女生分別全排列，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理計算即可．【詳解】由于每項工作至少由1名男生和1名女生完成，則先從4個男生選2人一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，女生的安排方法共有，故不同的安排共有種．9．若，則被10除所得的余數(shù)為__________.【正確答案】【分析】令，可得，結(jié)合二項展開式，即可求解.【詳解】令，可得，所以被10除所得的余數(shù)為.故答案為.10．已知函數(shù)，直線：，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，則，之間的最短距離是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意兩直線垂直所以，之間的距離即為到直線的距離，即為與平行且與相切的直線的切點到直線的距離.【詳解】

因為函數(shù)，直線：，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，直線的斜率為1，直線：的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數(shù)圖象上的點A到直線的最短距離，即為之間的最短距離由題意可得，.令，解得（舍去）.因為，取點，所以點A到直線的距離，則，之間的最短距離是.故11．在正四棱柱中，，E為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為_____.【正確答案】/【分析】過做與直線垂直的平面，則點的軌跡的長即為平面與正四棱柱的交線長.【詳解】如圖，連接，，由題可知，，平面.因平面，則.又平面，平，，則平面.又平面，則；如圖，過E做平行線，交于F，則F為中點.連接，過做垂線，交于G.由題可得，平面，又，則平面.因平面，則.又平面，平面，，則平面.因平面，則；因平面，平面，，則平面.連接，則點P軌跡為平面與四棱柱的交線，即.注意到，，則，故.則點的軌跡的長為.故答案為.關(guān)鍵點點睛：本題為立體幾何中的軌跡問題，難度較大.本題關(guān)鍵為做出軌跡，即過定點做空間直線的垂面，因直接做出平面難度較大，故轉(zhuǎn)化為做空間直線所在平面的垂線.12．?dāng)?shù)列共有項（常數(shù)為大于5的正整數(shù)），對任意正整數(shù)，有，且當(dāng)時，．記的前項和為，若對任意都成立，則的最大值是__________．【正確答案】21【分析】根據(jù)已知得出數(shù)列的性質(zhì)，再分類討論當(dāng)為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況即可得出答案．【詳解】根據(jù)條件可知，數(shù)列具有性質(zhì)為，首尾對稱性兩個數(shù)互為相反數(shù)，如果中間數(shù)為1個，則必為0．下面對討論：當(dāng)為偶數(shù)（數(shù)列各個數(shù)非零），，解得；當(dāng)為奇數(shù)（數(shù)列中），，解得，故最大值為21，故21．二、單選題13．已知集合，，若“”是“”的充分非必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依題意可得，即可得到，再求出集合，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得，所以，因為，所以不等式，等價于，因為“”是“”的充分非必要條件，所以，所以，則，所以不等式，即，解得，所以，又，所以.故選：B14．已知是空間的直線或平面，要使命題“若，則”是真命題，可以是（

）A．是三個不同的平面 B．是兩條不同的直線，是平面C．是三條不同的直線 D．是兩條不同的直線，是平面【正確答案】D【分析】根據(jù)線面、面面的、線線的垂直關(guān)系逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A：若是空間中三個不同的平面，且，則平面和平面的位置不確定，故A錯誤；對于C：若是空間中三條不同的直線，且，則直線和直線的位置不確定，故C錯誤；對于B：是空間中兩條不同的直線，是空間的平面，且，則直線和平面的關(guān)系為直線平面或直線平面，故B錯誤；對于D：是空間中兩條不同的直線，是空間的平面，且，則，故D正確，故選：D.15．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】通過函數(shù)奇偶性的定義對選項逐個進行判斷，再取圖象上的特殊點進行排除即可.【詳解】由圖可知，在上的圖象關(guān)于軸對稱，所以在上為偶函數(shù)，故應(yīng)先判斷各選項中函數(shù)的奇偶性.對A，，為偶函數(shù)，故A選項的函數(shù)為其定義域內(nèi)的偶函數(shù).同理：對C、D選項的均為其定義域內(nèi)的偶函數(shù)，只有選項的為其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，從而排除選項B.又，對A選項：，所以排除A.而由圖可知，對C選項：，，故排除C.故選：D.16．如圖所示，已知，對任何，點按照如下方式生成：，且按逆時針排列，記點的坐標(biāo)為，則為A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用向量的定義，推導(dǎo)知的向量坐標(biāo)，然后求出an，bn的表達式，然后進行計算即可．【詳解】由題意可知，（k0）都是在上一個點的基礎(chǔ)上橫坐標(biāo)發(fā)生變化，縱坐標(biāo)不變.（k0）都是在上一個點的基礎(chǔ)上橫坐標(biāo)減小，縱坐標(biāo)增加.（k0）都是在上一個點的基礎(chǔ)上橫坐標(biāo)減小，縱坐標(biāo)也減小.又，所以=4-===3-=+=所以選A.本題是新定義題目，首先讀懂新定義的實質(zhì)，轉(zhuǎn)化成我們已有的知識并解決．本題實質(zhì)考查向量的坐標(biāo)運算，幾何運算，難度較大．三、解答題17．如圖，是邊長為2的正三角形所在平面上一點（點、、、逆時針排列），且滿足，記.

(1)若，求的長；(2)用表示的面積，并求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理直接計算即可；（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面積公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)值域求出面積范圍.【詳解】（1）由，且是邊長為2的正三角形，則，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，則，則，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，則，所以，所以，則，故的取值范圍為.18．如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑.

(1)若是弦的中點，且，求證：平面；(2)若，直線與平面所成的角為，求異面直線與所成角的大小.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）取線段的中點，連接，證明，則即為異面直線與所成角，證明平面，再解即可.【詳解】（1）因為是弦的中點，且，可知是線段的中點，故在中，為邊的中位線，則，又面，且直線不在面，則平面；（2）取線段的中點，連接，在中，線段是的中位線，故，則即為異面直線與所成角，由題意知，，因為平面，平面，所以，因為是圓柱下底面的直徑，所以，又平面，所以平面，所以平面，又因平面，所以，在中，，故，故，故，則異面直線與所成角的大小為.

19．某學(xué)校有兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學(xué)生就餐，餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)餐廳推出活動當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎活動，已知如果學(xué)生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動的第二天學(xué)生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【正確答案】(1)0.3，0.4(2)，分布列見解析(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計算即可.（2）求得的可能取值及對應(yīng)概率完成分布列，根據(jù)離散型隨機變量的期望公式求解即可.（3）根據(jù)全概率和條件概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以.（2）由題意知，可以取的值為：0，1，2，，，故的分布為：.（3）設(shè)表示事件“去餐廳就餐獲獎”，表示事件“學(xué)生甲午餐去餐廳就餐”，由題知，，，，，則，解得.即如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率.20．已知是橢圓的左頂點，是橢圓上不同的兩點．(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)設(shè)，若，且、、和、、分別共線，求證：三點共線；(3)若是橢圓上的點，且，求的面積．【正確答案】(1)焦距為，離心率為(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接由橢圓的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和離心率；（2）設(shè)，，首先由得出，方法一：由三點共線和三點共線，得出，再將代入橢圓方程，聯(lián)合整理得，，即可證明結(jié)論；方法二：寫出直線的方程與橢圓聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得出點和的坐標(biāo)，進而得出，，即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，由，得出和，①當(dāng)直線的斜率不存在時，得出，即可得出的面積；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得出和，結(jié)合點在橢圓上，得出，再根據(jù)弦長公式得出，根據(jù)點到直線距離公式得出點到直線的距離，根據(jù)即可得出面積．【詳解】（1）由可知，，，故，所以焦距，離心率．（2）設(shè)，，由題意，，，，，，，，又，所以，得，方法一：由三點共線，則，即，同理可得，三點共線，則，即，故，即，又，，所以，所以，由，整理得，所以有，又，故，所以，所以三點共線．方法二：因為，，則，由得直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得，則，所以，同理得，所以，，即三點共線．

（3）設(shè)，因為，，，①當(dāng)直線的斜率不存在時，則，所以，，又是橢圓上的點，此時，故，②當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)，由，得，所以，，所以，又點在橢圓上，代入整理得，，從而，于是，點到直線的距離，所以．

21．已知函數(shù).(1)，求實數(shù)的值；(2)若，且不等式對任意恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，試?yán)媒Y(jié)論，證明：若，其中，則.【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求得，根據(jù)題意得到方程組，即可求解；（2）把轉(zhuǎn)化為即對任意恒成立，設(shè)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)性，結(jié)合，即可求解；（3）解法1：由不等式，推得，進而利用累加法，即可得證；解法2：由，得到，結(jié)合累加法，即可得證.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，所以，.又由，所以，解得.（2）若，可得，則，則不等式可化為，即對任意恒成立，令，則，設(shè)函數(shù)，可得，因為，所以恒成立，所以函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，所以，故，即實數(shù)的取值范圍為.（3）解法1：由，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號