2023~2024學(xué)年上海浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)5月沖刺試題帶解析

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)5月沖刺模擬試題一、填空題1．已知集合，，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)集合定義以及交集含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得，又，.故答案為.2．已知一組數(shù)據(jù)8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為__________．【正確答案】10.8【分析】根據(jù)題設(shè)及百分位數(shù)的求法，得到第80百分位數(shù)所在的位次，找到對應(yīng)位次上的數(shù)，即為所求.【詳解】由題設(shè)知：數(shù)據(jù)共有12個,則，即第80百分位數(shù)在第10位,第80百分位數(shù)是10.8.故10.8.3．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是________．【正確答案】.【詳解】分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果.詳解：由題意可得，所以，因為，所以點(diǎn)睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)；(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.4．已知，，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則________．【正確答案】【分析】化簡復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，的值，即可得答案；【詳解】，，，，故答案為.本題考查復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知無窮等比數(shù)列中，，，則__________．【正確答案】/【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用題意得到的通項公式和求和公式，即可求出答案【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以由可得，即，解得，所以，所以的前項和為，所以故6．有3男3女共6位高三同學(xué)在高考考場外合影留念．若從這6人中隨機(jī)選取2人拍雙人照，則選中的2人恰為1男1女的概率是__________．【正確答案】/【分析】根據(jù)組合數(shù)公式結(jié)合古典概率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)選中的2人恰為1男1女為事件，故，故答案為.7．不等式的解集是__________．【正確答案】【分析】移項通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.【詳解】，即，即，則，根據(jù)穿根法解得，故答案為.8．函數(shù)的定義域為________．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出不等式組求解即可．【詳解】因為，即，解得，所以函數(shù)的定義域為．故．9．的展開式中的系數(shù)為______________．【正確答案】24【分析】的展開式中來自于三類:①中的二次項與的常數(shù)項的乘積;②中的常數(shù)項與的二次項的乘積;③中的一次項與的一次項的乘積.【詳解】展開式中項為，∴的系數(shù)為24．故答案為:2410．某校組織“杭州亞運(yùn)會”知識競賽，元元從3道選擇題和2道填空題中不放回地每次隨機(jī)抽取1道作答．記事件為“第一次抽到選擇題”，事件為“第二次抽到填空題”，則__________．【正確答案】/0.75【分析】利用條件概率的定義，結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】當(dāng)?shù)诙纬榈教羁疹}且第一次抽到選擇題，共有種;當(dāng)?shù)诙纬榈教羁疹}，第一次抽到是填空題時有種，故總數(shù)為8種，則，故．11．已知，，是空間中兩兩不同的三個單位向量，且．則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可設(shè)，且，再根據(jù)的范圍得到關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】由題意得，即，由題意,可設(shè).則因為，，是空間中兩兩不同的三個單位向量，故，即，則有.則，即，于是，即，解得.而，所以的取值范圍是.故答案為.12．設(shè)，．以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線交拋物線于兩點(diǎn)．則直線的斜率為__________．【正確答案】或【分析】兩拋物線的焦點(diǎn)相同，得出兩點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離相等，因此均在兩準(zhǔn)線所成四個角的角平分線上，求其斜率即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)也是，故由拋物線的定義得兩點(diǎn)到兩準(zhǔn)線和的距離相等，因此均在兩準(zhǔn)線所成四個角的角平分線上，且.設(shè)直線的傾斜角為，，，如圖，當(dāng)為直線時，設(shè)其切斜角為，由，，得，，此時直線的斜率為3.當(dāng)為直線時，又，此時直線的斜率為.則直線的斜率為或.故或.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，解決本題的關(guān)鍵是兩拋物線的焦點(diǎn)相同，根據(jù)拋物線的定義得出直線為兩準(zhǔn)線所成四個角的角平分線，題目偏難，靈活性強(qiáng)，學(xué)生不容易想到.二、單選題13．，，，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：因為且，由不等式的性質(zhì)可得，充分性成立；必要性：取，，，，則成立，且，但”不成立，必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是A．B．C．D．【正確答案】B【詳解】因為，所以選項A正確；當(dāng)與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；，所以選項D正確．故選B．【考點(diǎn)定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積．15．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，是上的一個動點(diǎn)．當(dāng)運(yùn)動到下頂點(diǎn)時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】設(shè)，由，求出消元可得，，再根據(jù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，即可解出．【詳解】設(shè)，，因為，，所以，，由題意知當(dāng)時，取得最大值，所以，可得，即，則．故選：B．16．已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且對一切成立．關(guān)于數(shù)列，，…，有以下兩個論斷：①存在，使得數(shù)列中恰有112項為1；②存在，使得數(shù)列中恰有448項為0．則（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題【正確答案】A【分析】利用和奇函數(shù)的性質(zhì)得到的周期性，結(jié)合實(shí)例可判斷①的正誤，利用反證法可判斷②的正誤.【詳解】由題知，，，又是奇函數(shù)，，，，則，所以，，故的周期為18，設(shè)，則，，，故滿足題設(shè)要求，而，令，則，令，故，故①是真命題.若為常數(shù)函數(shù)，則在上整零點(diǎn)的個數(shù)為0或2023，故②為假命題；若不為常數(shù)函數(shù)，設(shè)的最小正周期為，則存在正整數(shù)，使得，故，則，設(shè)在的整零點(diǎn)的個數(shù)為，在上整零點(diǎn)的個數(shù)為，在上的整零點(diǎn)的個數(shù)為，其中，則在的整零點(diǎn)個數(shù)為，其中，若，則，當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，若此時存在，使得在上整零點(diǎn)的個數(shù)恰為，則，因均為的約數(shù)，且，，故，但此時，矛盾.若，則，若此時存在，使得在上整零點(diǎn)的個數(shù)恰為，則，因均為的約數(shù)，且，，故，但此時，矛盾.綜上，不存在，使得在上整零點(diǎn)的個數(shù)恰為，所以①是真命題，②是假命題.故選：A三、解答題17．三棱柱中，平面，且，，，為中點(diǎn).（1）求四面體的體積；（2）求平面與所成銳二面角的余弦.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）改為為底易求得高，從而易得體積；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．【詳解】解：（1）作于，因為平面，平面，所以，而，所以平面，為到平面的距離，又三棱柱中平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，中，，，所以，.（2）設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，平面，以射線，，為非負(fù)，，軸.建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.∴，，，.設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，設(shè)平面的一個向量是，則取，則，.故平面與平面所成銳二面角的余弦為.方法點(diǎn)睛：求三棱錐的體積，常常用換底法求解，要求換底后，高易求得即可．求空間的角（異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角）常常是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法計算，這種方法把空間想象與邏輯推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算求解．18．函數(shù)f（x）＝（sinx+cosx）2cos（2x+π）．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且a＝2，求△ABC的面積．【正確答案】（1）π；（2）．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)為f（x）=2sin（2x）+1，再利用周期公式求解；（2）先求出A的值，再根據(jù)正弦定理余弦定理即可求出b的值，然后利用三角形的面積公式求解．【詳解】（1）f（x）＝（sinx+cosx）2cos（2x+π）＝1+sin2xcos2x＝2sin（2x）+1，∴函數(shù)f（x）的最小正周期Tπ；（2）f（）＝2sin（A）+1＝1，sin（A）＝0，∵2A，∴A0，即A，由正弦定理以及sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b，∴c，∴S△ABCbcsinA．本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．19．為了解某地觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性觀眾55名．定義日均收看該節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾為“詩詞迷”．已知“詩詞邊”中有15名男性，非“詩詞邊”共有75名．(1)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，判斷是否有的把握認(rèn)為“詩詞迷”與性別有關(guān)？(2)采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取5人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這5人中任取2人獎勵“詩詞大禮包”．以表示獲得“詩詞大禮包”的男性人數(shù)，表示獲得“詩詞大禮包”的女性人數(shù)．記，求的分布和期望．附：，；．【正確答案】(1)沒有95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）繪制列聯(lián)表，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算的值，對照臨界表中的數(shù)據(jù)，比較即可得到答案；（2）根據(jù)題意確定隨機(jī)變量的取值情況，利用超幾何的概率公式求解概率，然后完成分布列求解數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）在抽取的100人中“非詩詞迷”共有75名,則“詩詞迷”有25名，又女性有55名，從而完成2×2列聯(lián)表如下所示：非詩詞迷詩詞迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得，所以沒有95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān)；（2）由題意采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取5人，則男性3名，女性2名，從5人中任意選取2人當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)，.所以的所有取值為0，2，所以，所求分布為：02所以期望.20．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是的左頂點(diǎn)，的離心率為2．設(shè)過的直線交的右支于、兩點(diǎn)，其中在第一象限．

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，證明：為定值；(3)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3)存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率，以及，結(jié)合，即可求得曲線方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理；再分別求得的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明；（3）求得直線不存在斜率時滿足的，當(dāng)斜率存在時，將所求問題，轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，求解即可.【詳解】（1）由題可得，故可得，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）中所求可得點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，又雙曲線漸近線為，顯然直線的斜率不為零，故設(shè)其方程為，，聯(lián)立雙曲線方程可得：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，；又直線方程為：，令，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；直線方程為：，令，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；則故為定值.（3）當(dāng)直線斜率不存在時，對曲線，令，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，在三角形中，，故可得，則存在常數(shù)，使得成立；當(dāng)直線斜率存在時，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，假設(shè)存在常數(shù)，使得成立，即，則一定有：，也即；又；；又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則，故；故假設(shè)成立，存在實(shí)數(shù)常數(shù)，使得成立；綜上所述，存在常數(shù)，使得恒成立.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察雙曲線中定值以及存在常數(shù)滿足條件的問題；其中第二問證明的關(guān)鍵是能夠快速，準(zhǔn)確的進(jìn)行計算；第三問處理的關(guān)鍵是要投石問路，找到特殊情況下的參數(shù)值，再驗證非特殊情況下依舊成立，同時還要注意本小題中把角度關(guān)系，轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系；屬綜合困難題.21．已知，，.(1)若，，寫出曲線的一條水平切線的方程；(2)若，使得，，，形成等差數(shù)列，證明：；(3)若存在，使得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）把，代入，利用導(dǎo)數(shù)值為0求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可作答.（2）利用反證法結(jié)合均值不等式依次證明作答.（3）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)有唯一零點(diǎn)，再證明當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)作答.【詳解】（1）當(dāng)，時，，求導(dǎo)得，由，即，得，此時，所以所求水平切線的方程為.（2）依題