河南省信陽(yáng)市2025年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

河南省信陽(yáng)市2025年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式因式分解的是（）A．m2mnn2 B．x2y22xyC．a(chǎn)22a D．n22n42．點(diǎn)和都在直線上，則與的關(guān)系是A． B． C． D．3．如圖，在正方形中，在邊上，在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．11 C．12 D．134．關(guān)于一組數(shù)據(jù)：1，5，6，3，5，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．平均數(shù)是4 B．眾數(shù)是5 C．中位數(shù)是6 D．方差是3.25．一組數(shù)據(jù)2，3，5，5，4的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A．5，4 B．5，5 C．5，4.5 D．5，3.86．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D，M，N的位置如圖所示，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，N的坐標(biāo)為，則在第二象限內(nèi)的點(diǎn)是()A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．3 B．2 C．2 D．28．邊長(zhǎng)是4且有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形的面積為()A．2 B．4 C．8 D．169．為了美化校園環(huán)境，加大校園綠化投資．某區(qū)前年用于綠化的投資為18萬(wàn)元，今年用于綠化的投資為33萬(wàn)元，設(shè)這兩年用于綠化投資的年平均增長(zhǎng)率為x，則（）A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝3310．已知在一個(gè)樣本中,50個(gè)數(shù)據(jù)分別落在5個(gè)組內(nèi),第一、二、三、五組數(shù)據(jù)頻數(shù)分別為2、8、15、5，則第四組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率分別為（）A．25，50% B．20，50% C．20，40% D．25，40%二、填空題(每小題3分,共24分)11．若分式的值為0，則x＝_____．12．計(jì)算：（1+）2×（1﹣）2=_____．13．在等腰△ABC中，三邊分別為a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．14．如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP＝BC，則∠ACP度數(shù)是_____度．15．如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處.則重疊部分的面積為_(kāi)_____.16．如圖，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上以2厘米/秒的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在以1厘米/秒的速度線段BC上由C點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)AQ⊥DP時(shí)，t的值為_(kāi)____秒．17．農(nóng)科院對(duì)甲、乙兩種甜玉米各10塊試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)后，得到甲、乙兩個(gè)品種每公頃的平均產(chǎn)量相同，而甲、乙兩個(gè)品種產(chǎn)量的方差分別為，，則產(chǎn)量較為穩(wěn)定的品種是_____________（填“甲”或“乙”）．18．如圖，將三個(gè)邊長(zhǎng)都為a的正方形一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則∠1＋∠2＋∠3＝_______．三、解答題(共66分)19．（10分）甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)，三項(xiàng)培訓(xùn)內(nèi)容的考試成績(jī)?nèi)缦卤?，現(xiàn)要選拔一人參賽．（1）若按三項(xiàng)考試成績(jī)的平均分選拔，應(yīng)選誰(shuí)參賽；（2）若代數(shù)、幾何、綜合分別按20%、30%、50%的比例計(jì)算平均分，應(yīng)選誰(shuí)參賽．代數(shù)幾何綜合甲859275乙70839020．（6分）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點(diǎn)P沿梯形的邊，從點(diǎn)A→B→C→D→A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為x，BP＝y(tǒng)．（1）求證：∠A＝2∠CBD；（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長(zhǎng)．（3）在（2）的情況下，點(diǎn)P從A→B→C→D→A移動(dòng)的過(guò)程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（6分）已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：AB=AC；(2)如圖，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖表示．22．（8分）如圖，從點(diǎn)A(0,4)出發(fā)的一束光，經(jīng)x軸反射，過(guò)點(diǎn)C(6,4)，求這束光從點(diǎn)A到點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度.23．（8分）如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是∠EAC的平分線．24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2，?2)，B(?4，?1），C(?4，?4)．（1）作出ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的A1B1C1.（2）作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'若把點(diǎn)A'向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后落在A1B1C1的內(nèi)部（不包括頂點(diǎn)和邊界），求a的取值范圍.25．（10分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接BE，將射線EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后交射線AD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AE＝AF時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；（2）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)作EF，BE的平行線，且兩直線相交于點(diǎn)G．①試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形BGFE的周長(zhǎng)的最小值；②連接AG，設(shè)CE＝x，AG＝y(tǒng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間滿足的關(guān)系式，不必寫(xiě)出求解過(guò)程．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系可中，直線y＝x+1與y＝﹣x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)E使得四邊形EODA為平行四邊形？存在的話直接寫(xiě)出的值，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)直接寫(xiě)出D坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】分析：根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的1倍，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．詳解：A．m1﹣mn+n1其中有兩項(xiàng)m1、n1能寫(xiě)成平方和的形式，mn正好是m與n的1倍，符合完全平方公式特點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確；B．x1﹣y1﹣1xy其中有兩項(xiàng)x1、－y1不能寫(xiě)成平方和的形式，不符合完全平方公式特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．a(chǎn)1﹣1a+中1a不是a與的積的1倍，不符合完全平方公式特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．n1﹣1n+4中，1n不是n與1的1倍，不符合完全平方公式特點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了能用完全平方公式分解因式的式子特點(diǎn)，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b）1．2、D【解析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)和分別代入直線方程，分別求得和的值，然后進(jìn)行比較.【詳解】根據(jù)題意得：，即；，即；，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足該函數(shù)的解析式.3、D【解析】

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于K，交BC于H，設(shè)AB＝m，由正方形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可證明：△BKH∽△BFG，BH＝BG，再證明△ABH≌△BCE，可得BH＝CE，可列方程（m?2）＝m?7，即可求得BC＝12，CE＝5，由勾股定理可求得BE．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于K，交BC于H，設(shè)AB＝m，∵正方形ABCD∴BC＝CD＝AB＝m，∠ABH＝∠C＝90°∵CG＝2，DE＝7，∴CE＝m?7，BG＝m?2∵FG⊥BE∴∠BFG＝90°∵AF＝AB，AH⊥BE∴BK＝FK，即BF＝2BK，∠BKH＝90°＝∠BFG∴△BKH∽△BFG∴，即BH＝BG＝（m?2）∵∠ABK＋∠CBE＝∠ABK＋∠BAH＝90°∴∠BAH＝∠CBE在△ABH和△BCE中，∠BAH＝∠CBE，AB＝BC，∠ABH＝∠BCE，∴△ABH≌△BCE（ASA）∴BH＝CE∴（m?2）＝m?7，解得：m＝12∴BC＝12，CE＝12?7＝5在Rt△BCE中，BE＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)等；解題時(shí)要熟練運(yùn)用以上知識(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化建立方程求解．4、C【解析】

解：A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（1+5+6+3+5）÷5=4，故本選項(xiàng)正確；B．5出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是3，故本選項(xiàng)正確；C．把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，3，5，5，6，最中間的數(shù)是5，則中位數(shù)是5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．這組數(shù)據(jù)的方差是：[（1﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2]=3.2，故本選項(xiàng)正確；故選C．考點(diǎn)：方差；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．5、A【解析】

根據(jù)眾數(shù)的定義即眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)和中位數(shù)的定義即中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)即可求出答案．【詳解】數(shù)據(jù)2，3，5，5，4中，5出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是5；按大小順序排列為5，5，4，3，2，最中間的數(shù)是4，則中位數(shù)是4；故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）．6、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得答案．【詳解】MN所在的直線是x軸，MN的垂直平分線是y軸，A在x軸的上方，y軸的左邊，A點(diǎn)在第二象限內(nèi)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．7、A【解析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】.故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8、C【解析】

根據(jù)菱形內(nèi)角度數(shù)及邊長(zhǎng)求出一邊上的高，利用邊長(zhǎng)乘以高即可求出面積．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵∴．∴菱形面積為4×2＝8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的面積，能夠求出菱形邊上的高是解題的關(guān)鍵．9、C【解析】

根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，本題得以解決．【詳解】由題意可得，18（1+x）2＝33，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的一元二次方程，這是一道典型的增長(zhǎng)率問(wèn)題．10、C【解析】

解：根據(jù)樣本容量和第一、二、三、五組數(shù)據(jù)頻數(shù)可求得第四組的頻數(shù)為50-2-8-15-5=20，其頻率為20÷50=0.4=40％故選C．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【解析】

直接利用分式的值為零，則分子為零分母不為零，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵分式的值為0，∴x2-1=0，（x+1）（x-3）≠0，解得：x=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．12、1【解析】

根據(jù)積的乘方法則及平方差公式計(jì)算即可.【詳解】原式=2.=.=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方及平方差公式，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.13、9或10.1【解析】

根據(jù)等腰△ABC中，當(dāng)a為底，b，c為腰時(shí)，b=c，得出△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解方程求出k=2，則b+c=2k+1=1；當(dāng)a為腰時(shí)，則b=4或c=4，然后把b或c的值代入計(jì)算求出k的值，再解方程進(jìn)而求解即可．【詳解】等腰△ABC中，當(dāng)a為底，b，c為腰時(shí)，b=c，若b和c是關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解得：k=2，則b+c=2k+1=1，△ABC的周長(zhǎng)為4+1=9；當(dāng)a為腰時(shí)，則b=4或c=4，若b或c是關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的根，則42-4（2k+1）+1（k-）=0，解得：k=，解方程x2-x+10=0，解得x=2.1或x=4，則△ABC的周長(zhǎng)為：4+4+2.1=10.1．14、22.5【解析】∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）=67.5°，∴∠ACP度數(shù)是67.5°-45°=22.5°15、10【解析】

根據(jù)翻折的特點(diǎn)得到，.設(shè)，則.在中，，即，解出x,再根據(jù)三角形的面積進(jìn)行求解.【詳解】∵翻折，∴，，又∵，∴，∴.設(shè)，則.在中，，即，解得，∴，∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知翻折的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.16、2【解析】

先證△ADP≌△BAQ，得到AP=BQ，然后用t表示出AP與BQ，列出方程解出t即可.【詳解】因?yàn)锳Q⊥PD，所以∠BAQ+∠APD=90°又因?yàn)檎叫涡再|(zhì)可到∠APD+∠ADP=90°，∠PAD=∠B=90°，AB=AD，所以得到∠BAQ=∠ADP又因?yàn)椤螾AD=∠B=90°，AB=AD所以△ADP≌△BAQ，得到AP=BQAP=2t，QC=t，BC=8-t所以2t=8-2t，解得t=2s故填2【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵在于證出三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等列出方程.17、乙【解析】因?yàn)镾甲2≈0.01＞S乙2≈0.002，方差小的為乙，所以本題中比較穩(wěn)定的是乙．18、【解析】

利用重合部分的角相等和等角的余角相等，逐步判定∠2=∠COB

，即可完成解答?！驹斀狻拷猓喝鐖D∵都是正方形∴∠FOC=∠EOB=∠DOA=又∵∠2+∠EOC=∠BOC+∠EOC=∴∠2=∠BOC∴∠1＋∠2＋∠3=∠DOA=故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及重合部分的角相等和等角的余角相等的知識(shí)，其中確定∠2=∠BOC是解題的關(guān)鍵。三、解答題(共66分)19、（1）選擇甲；（2）選擇乙.【解析】

(1)分別求出甲、乙的算術(shù)平均數(shù)進(jìn)行選擇即可；(2)分別求出甲、乙的加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行選擇.【詳解】解：（1），∵∴選擇甲；（2）∵∴選擇乙.故答案為（1）選擇甲；（2）選擇乙.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的求法.20、（1）見(jiàn)解析；（2）1；（3）△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等可以進(jìn)一步證明∠A＝2∠CBD,(2)根據(jù)題意描述，可以確定AB=5，AB+BC＝8,再通過(guò)作DE⊥AB于來(lái)構(gòu)造直角三角形可以求出CD長(zhǎng)度.(3)根據(jù)題目描述分情況來(lái)討論哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形頂點(diǎn)，進(jìn)而列方程進(jìn)行求出P點(diǎn)位置情況.【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，∴∠A＝2∠CBD；（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)PD＝PB時(shí)，P與A重合，x＝0；當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝＝時(shí)，AP＝5﹣，即x＝5﹣；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，此時(shí)，x＝5+＝；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，x＝5+3+1+2＝10；當(dāng)DP＝DB＝時(shí)，x＝5+3+1+＝9+；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【點(diǎn)睛】本題主要考察學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合能力、還有分類(lèi)討論問(wèn)題的能力，掌握數(shù)性結(jié)合運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.21、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）不一定成立，見(jiàn)解析．【解析】

（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，利用斜邊直角邊定理（HL）證明Rt△OEB≌Rt△OFC即可；

（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，則∠OBE=∠OCF，由等邊對(duì)等角得出∠OBC=∠OCB，進(jìn)而得出∠ABC=∠ACB，由等角對(duì)等邊即可得AB=AC；

（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB=AC；否則，AB≠AC．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．22、10.【解析】

首先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，由A（0，4），C(6,4)，即可得OA=CD=4，OD=6，由題意易證得△AOB≌△CDB，根據(jù)全等三角形即可得OB=BD=3，AB=CB，又由勾股定理即可求得這束光從點(diǎn)A到點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∵A(0,4)，C(6,4)，∴OA=CD=4，OD=6，由題意得，∠ABO=∠CBD,∵∠AOB=∠CDB=90°，∴△AOB≌△CDB，∴OB=BD=3，AB=CB,在Rt△AOB中，,∴這束光從點(diǎn)A到點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為AB+BC=10.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵在于作輔助線.23、見(jiàn)解析【解析】

首先證明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AD是∠EAC的平分線．【詳解】證明：∵DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠BED=∠CFD=90°在Rt△BDE和Rt△CDF中,，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴AD是∠BAC的平分線．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的判定，關(guān)鍵是掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．24、見(jiàn)解析【解析】

（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可得；

（2）由點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內(nèi)部，最少平移4個(gè)單位，最多平移1個(gè)單位，據(jù)此可得．【詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）∵點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-2，2），

∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內(nèi)部，最少平移4個(gè)單位，最多平移1個(gè)單位，即4＜a＜1．【點(diǎn)睛】考查作圖-中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)、平移，熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)、平移變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25、（1）45°；（2）①四邊形BEFG是菱形，8；②y＝（0＜x＜12）【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠AEF即可解決問(wèn)題．（2）①證明四邊形BEFG是菱形，根據(jù)垂線段最短，求出BE的最小值即可解決問(wèn)題．②如圖2﹣1中，連接BD，DE，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H．證明△ABG≌△DBE（SAS），推出AG＝DE＝y(tǒng)，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，推出DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，根據(jù)DE2＝EH2+DH2，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）①如圖2中，連接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵EB＝EF，∴四邊形BEFG是菱形，∴當(dāng)BE⊥AC時(shí)，菱形BEFG的周長(zhǎng)最小，此時(shí)BE＝AB?sin30°＝2，∴四邊形BGFE的周長(zhǎng)的最小值為8．②如圖2﹣1中，連接BD，DE，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y(tǒng)，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，∴DH＝|4﹣x|