2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高一下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省徐州市沛縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.化簡，得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.已知向量的夾角為60°，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】.故選：C.3.已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B.C.(3，2) D.(1，3)【答案】A【解析】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且，.故選：．4.已知，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知，故，從而.所以.故選：D.5.已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】∵與是共線向量，∴存在實(shí)數(shù)，使得，即，已知是兩個不共線向量，則有，解得.故選：A.6.已知分別是的邊??的中點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A選項，，A正確.對于B選項，，B錯誤.對于C選項，，C正確.對于D選項，，D正確.故選：B.7.已知，且，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?故選：D.8.矩形中，，，是矩形內(nèi)(不含邊框)的動點(diǎn)，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記，則，，，，，所以當(dāng)，時，取最小值.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有（）A. B.若且，則C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A，由平面向量數(shù)量積的結(jié)合律，可知A正確；對于選項B，由，得，又，所以或，故選項B錯誤；對于選項C，因?yàn)椴还簿€，所以組成三角形的三邊，所以，故選項C正確，對于選項D，，故選項D正確.故選：ACD.10.下列計算中正確的是（）A.B.C.D.都是銳角，，則【答案】AD【解析】對于A，因?yàn)?，正確，對于B，當(dāng)時，，錯誤，對于C，當(dāng)時，，錯誤，對于D，因?yàn)槎际卿J角，則，又，則，，所以，正確.故選：AD.11.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.若為非零向量，則不與垂直B.、為實(shí)數(shù)，若，則與共線C.若平面內(nèi)有四個點(diǎn)，則必有D.在中，為的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量【答案】CD【解析】對于選項A，若，則有，此時與垂直，所以選項A錯誤，對于選項B，若，則，但與不一定共線，所以選項B錯誤，對于選項C，因?yàn)?，即，所以選項C正確，對于選項D，因?yàn)榉謩e是與同向的單位向量，又，且為的中點(diǎn)，知，即，所以是在上的投影向量，故選項D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.計算＝________.【答案】1【解析】＝＝tan45°＝1.13.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知為單位向量，向量的模為，，______．【答案】±2【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，已知為單位向量，向量的模為，，則，解得.14.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰．是圓的一條直徑，且．是圓上的任意兩點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是______．【答案】【解析】如圖，為圓心，連接，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到弦的中點(diǎn)的距離，這也是的最小值.所以，所以，則，即的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在中，，，．求：（1）的值；（2）．解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，所?16已知點(diǎn)，，，求：（1）的值；（2）的大?。唬?）點(diǎn)A到直線BC的距離．解：（1）依題意，得，，.（2）因?yàn)椋?，所?（3）點(diǎn)A到直線BC的距離為．17.已知向量，其中，且．（1）求的值；（2）若，且，求角的值．解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，得到，代入，得到，又，所?（2）由（1）得，，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，所?18.如圖，某企業(yè)的兩座建筑物AB，CD的高度分別為20m和40m，其底部BD之間距離為20m．為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市號召，進(jìn)行亮化改造，現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備，投影到建筑物CD上形成投影幕墻，既達(dá)到亮化目的又可以進(jìn)行廣告宣傳．已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，投影幕墻的高度EF越小，投影的圖像越清晰．設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α，幕墻的高度EF為y（m）．（1）求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）當(dāng)投影的圖像最清晰時，求幕墻EF的高度．解：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=，∠GAD=，又投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，所以，所以G一定在EF上，所以，所以．（2）當(dāng)投影的圖像最清晰時，幕墻EF的高度最小，即求y的最小值，由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又，所以滿足題意，此時，．答：當(dāng)時，投影的圖像最清晰，此時幕墻EF的高度為m．19.（1）如圖甲，在三角形中，與的夾角為，為線段中點(diǎn)，求線段的長度（2）如圖乙，在四邊形中，與的夾角為，分別為的中點(diǎn)，求線段的長度．（3）如圖丙，在四邊形中，分別在邊上，且與的夾角為，求向量與向量夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，所以，又與的夾角為，所以，故.（2）因?yàn)棰伲?，由①②得，所以，又與的夾角為，所以，得到.（3）因?yàn)榕c的夾角為，又由（2）知①，②，所以，得到，所以，又，，所以向量與向量夾角的余弦值為.江蘇省徐州市沛縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.化簡，得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.已知向量的夾角為60°，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】.故選：C.3.已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B.C.(3，2) D.(1，3)【答案】A【解析】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且，.故選：．4.已知，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知，故，從而.所以.故選：D.5.已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】∵與是共線向量，∴存在實(shí)數(shù)，使得，即，已知是兩個不共線向量，則有，解得.故選：A.6.已知分別是的邊??的中點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A選項，，A正確.對于B選項，，B錯誤.對于C選項，，C正確.對于D選項，，D正確.故選：B.7.已知，且，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?故選：D.8.矩形中，，，是矩形內(nèi)(不含邊框)的動點(diǎn)，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記，則，，，，，所以當(dāng)，時，取最小值.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有（）A. B.若且，則C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A，由平面向量數(shù)量積的結(jié)合律，可知A正確；對于選項B，由，得，又，所以或，故選項B錯誤；對于選項C，因?yàn)椴还簿€，所以組成三角形的三邊，所以，故選項C正確，對于選項D，，故選項D正確.故選：ACD.10.下列計算中正確的是（）A.B.C.D.都是銳角，，則【答案】AD【解析】對于A，因?yàn)椋_，對于B，當(dāng)時，，錯誤，對于C，當(dāng)時，，錯誤，對于D，因?yàn)槎际卿J角，則，又，則，，所以，正確.故選：AD.11.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.若為非零向量，則不與垂直B.、為實(shí)數(shù)，若，則與共線C.若平面內(nèi)有四個點(diǎn)，則必有D.在中，為的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量【答案】CD【解析】對于選項A，若，則有，此時與垂直，所以選項A錯誤，對于選項B，若，則，但與不一定共線，所以選項B錯誤，對于選項C，因?yàn)?，即，所以選項C正確，對于選項D，因?yàn)榉謩e是與同向的單位向量，又，且為的中點(diǎn)，知，即，所以是在上的投影向量，故選項D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.計算＝________.【答案】1【解析】＝＝tan45°＝1.13.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知為單位向量，向量的模為，，______．【答案】±2【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，已知為單位向量，向量的模為，，則，解得.14.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰．是圓的一條直徑，且．是圓上的任意兩點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是______．【答案】【解析】如圖，為圓心，連接，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到弦的中點(diǎn)的距離，這也是的最小值.所以，所以，則，即的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在中，，，．求：（1）的值；（2）．解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，所?16已知點(diǎn)，，，求：（1）的值；（2）的大?。唬?）點(diǎn)A到直線BC的距離．解：（1）依題意，得，，.（2）因?yàn)?，又，所?（3）點(diǎn)A到直線BC的距離為．17.已知向量，其中，且．（1）求的值；（2）若，且，求角的值．解：（1）因?yàn)椋?，即，又，得到，代入，得到，又，所?（2）由（1）得，，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，，所以，所?18.如圖，某企業(yè)的兩座建筑物AB，CD的高度分別為20m和40m，其底部BD之間距離為20m．為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市號召，進(jìn)行亮化改造，現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備，投影到建筑物CD上形成投影幕墻，既達(dá)到亮化目的又可以進(jìn)行廣告宣傳．已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，投影幕墻的高度EF越小，投影的圖像越清晰．設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α，幕墻的高度EF為y（m）．（1）求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）當(dāng)投影的圖像最清晰時，求幕墻EF的高度．解：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=，∠GAD=，又投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，所以，所以G一定在EF上，所以，所以．（2）當(dāng)投影的圖像最清晰時，幕墻EF的高度最小，即求y的最小值，由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又，