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高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省開(kāi)封市等三地2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,可得,故選:A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得,拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,且,故其準(zhǔn)線方程為.故選:A.3.在中,,設(shè),則()A. B.C. D.【答案】A【解析】由,可得,,整理可得,.故選:A4.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,則公比()A. B. C. D.2【答案】C【解析】由題可知,,故,故.故選:C.5.設(shè),則的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),滿足,但是不符合,故不是的一個(gè)充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,即,即,所以是的必要不充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,即,故是的充要條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,即,,故是的一個(gè)充分不必要條件,故D正確.故選:D6.已知正方體的內(nèi)切球的體積為,則該正方體的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為,則正方體內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的體積等于,解得,所以正方體的體對(duì)角線等于,所以正方體外接球的半徑等于,則外接球的表面積等于,故選:B.7.將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者,每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生,則不同的分配方法種數(shù)是()A.24 B.50 C.72 D.150【答案】D【解析】可以分組為1、1、3,或1、2、2兩種情況,若分組為1、1、3,則有;若分組為1、2、2,則有;則不同分法為60+90=150種.故選:D8.已知雙曲線,圓經(jīng)過(guò)直線,的四個(gè)交點(diǎn),且圓與在第一象限交于點(diǎn),與軸分別交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為,由題意,圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑,點(diǎn)即雙曲線的左右兩焦點(diǎn),故有①,且因?yàn)閳A的直徑,可得,則有②,將①式兩邊取平方,,解得,故的面積為.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】BC【解析】,對(duì)A,若,則,則根據(jù)有,顯然矛盾,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,假設(shè),則,根據(jù)有,顯然矛盾,則,故B正確;對(duì)C,由A知,,則,故C正確;對(duì)D,顯然,必有,故D錯(cuò)誤;故選:BC.10.如圖,彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng),它在時(shí)間(單位:)時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度(單位:)由關(guān)系式確定,則下列說(shuō)法正確的是()A.小球在開(kāi)始振動(dòng)(即)時(shí)在平衡位置上方處B.每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.小球從到時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí),,故A正確;小球往復(fù)振動(dòng)的周期為,所以每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故C正確;由,又,,所以小球從到時(shí)運(yùn)動(dòng)路程是,故D正確.故選:ACD.11.設(shè),表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如:,.若存在實(shí)數(shù),使得,同時(shí)成立,則下列說(shuō)法一定正確的是()A.若,則B.C.的最大值是4D.的最大值是5【答案】C【解析】,則;,則,即;,則,即;,則,即;;,則,即.設(shè),則,即因,則,即,因,則,因,則,故使得,同時(shí)成立的的最大值是4.故A、B、D錯(cuò)誤,C正確.故選:C三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,則________.【答案】【解析】.故答案:.13.已知經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,由題意可得,解得,所以,則,所以的離心率.故答案為:.14.已知直線與函數(shù),的圖象分別交于,兩點(diǎn),則取最小值時(shí),________,最小值為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】由可得,,即,所以函數(shù),互為反函數(shù),圖象關(guān)于直線對(duì)稱,因直線互相垂直,所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求上點(diǎn)到直線距離的最小值的2倍,因?yàn)?,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),有最小值3,此時(shí),故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某物業(yè)公司為提高對(duì)某小區(qū)的服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主,每位業(yè)主對(duì)該物業(yè)公司的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到如下列聯(lián)表:滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該小區(qū)男、女業(yè)主對(duì)該物業(yè)公司服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?(2)從該小區(qū)的業(yè)主中任選一人,表示事件“選到的人對(duì)該物業(yè)公司的服務(wù)不滿意”,表示事件“選到的人為女業(yè)主”,利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出,的估計(jì)值.附:.0.050.010.0053.8416.6357.879解:(1)因?yàn)?,所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為有差異;(2)由題意,所以.16.已知直線與圓相交于,兩點(diǎn),為圓上不同于,的一點(diǎn).記的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,.(1)求角;(2)若,求的面積.解:(1)圓心到直線的距離,圓的半徑,所以,又為外接圓上一點(diǎn),所以,解之得,因?yàn)?,所以或;?)由余弦定理得:,即,即,①當(dāng)時(shí),,此時(shí),②當(dāng)時(shí),,因?yàn)闉樽畲筮?,所以,與矛盾,所以不成立,舍去,綜上所述,的面積為.17.在四棱錐中,,,平面平面,,且.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(1)證明:在四棱錐中,由,,得,連接,而,則為等邊三角形,取中點(diǎn),連接,則,由平面平面,平面平面,平面,得平面,而平面,則,又,與相交,平面,所以平面.(2)解:取的中點(diǎn),連接,,,,由平面,平面,得,即兩兩垂直,以為原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由,得,,顯然為平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值是.18已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;(2)若有唯一的零點(diǎn),求的值.解:(1)當(dāng)時(shí),,,所以,所以在處的切線方程為,即.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,則g'(x)=a即在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,使得,即,且當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,又當(dāng)時(shí),時(shí),,故若有唯一的零點(diǎn),則必有,即,消去可得,即,又因?yàn)?,即,由②式可得:,即,將代入可得,即,綜上可知,若有唯一的零點(diǎn),則.19.設(shè)為不小于3的正整數(shù),項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列,若存在項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列同時(shí)滿足:①數(shù)列中任意兩項(xiàng)均不相同;②任意正整數(shù),從小到大排列恰好為數(shù)列.此時(shí)稱數(shù)列是-可拆分等差數(shù)列.(1)寫出一個(gè)3-可拆分等差數(shù)列及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)列;(2)若數(shù)列是一個(gè)4-可拆分等差數(shù)列,表示事件“數(shù)列的前三項(xiàng)成等差數(shù)列”,求事件發(fā)生的概率;(3)求所有滿足數(shù)列是-可拆分等差數(shù)列的正整數(shù)的值.解:(1)首先項(xiàng)數(shù)為,且數(shù)列中任意兩項(xiàng)均不相同;,滿足條件②,則上述數(shù)列滿足題意.(2)數(shù)列四項(xiàng)均不相同,故總的排列方法有種.假設(shè)數(shù)列各項(xiàng)從小到大排列,即,則兩兩相加后最小項(xiàng),次小項(xiàng),最大項(xiàng),次大項(xiàng).設(shè)等差數(shù)列公差為,則,又?jǐn)?shù)列第三項(xiàng),第四項(xiàng);或者第三項(xiàng),第四項(xiàng),所以且,得且;或者且,得且,以上兩種情況不能同時(shí)成立,由以上分析知使前三項(xiàng)等差的排列方式有4種,故(3)由前兩問(wèn)知可以取3和4.時(shí),假設(shè)數(shù)列各項(xiàng)從小到大排列,則兩兩相加后最小項(xiàng),次小項(xiàng),最大項(xiàng),次大項(xiàng),因?yàn)閿?shù)列等差,故得,①若,則各不相同,而與兩兩不同矛盾,即時(shí)數(shù)列不可能是-可拆分等差數(shù)列;②時(shí),,即,此時(shí)數(shù)列共10項(xiàng),最小項(xiàng),次小項(xiàng),最大項(xiàng),次大項(xiàng),設(shè)等差數(shù)列公差為,則,即,所以,剩余四項(xiàng),又公差,故是連續(xù)三項(xiàng),所以只能是第4項(xiàng)或者第7項(xiàng),當(dāng)是第4項(xiàng)時(shí),得,與兩兩不同矛盾,當(dāng)是第7項(xiàng)時(shí),,得,與兩兩不同矛盾,故不能是5.綜上,滿足數(shù)列是-可拆分等差數(shù)列的正整數(shù)只能是3和4.河南省開(kāi)封市等三地2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,可得,故選:A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得,拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,且,故其準(zhǔn)線方程為.故選:A.3.在中,,設(shè),則()A. B.C. D.【答案】A【解析】由,可得,,整理可得,.故選:A4.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,則公比()A. B. C. D.2【答案】C【解析】由題可知,,故,故.故選:C.5.設(shè),則的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),滿足,但是不符合,故不是的一個(gè)充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,即,即,所以是的必要不充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,即,故是的充要條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,即,,故是的一個(gè)充分不必要條件,故D正確.故選:D6.已知正方體的內(nèi)切球的體積為,則該正方體的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為,則正方體內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的體積等于,解得,所以正方體的體對(duì)角線等于,所以正方體外接球的半徑等于,則外接球的表面積等于,故選:B.7.將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者,每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生,則不同的分配方法種數(shù)是()A.24 B.50 C.72 D.150【答案】D【解析】可以分組為1、1、3,或1、2、2兩種情況,若分組為1、1、3,則有;若分組為1、2、2,則有;則不同分法為60+90=150種.故選:D8.已知雙曲線,圓經(jīng)過(guò)直線,的四個(gè)交點(diǎn),且圓與在第一象限交于點(diǎn),與軸分別交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為,由題意,圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑,點(diǎn)即雙曲線的左右兩焦點(diǎn),故有①,且因?yàn)閳A的直徑,可得,則有②,將①式兩邊取平方,,解得,故的面積為.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】BC【解析】,對(duì)A,若,則,則根據(jù)有,顯然矛盾,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,假設(shè),則,根據(jù)有,顯然矛盾,則,故B正確;對(duì)C,由A知,,則,故C正確;對(duì)D,顯然,必有,故D錯(cuò)誤;故選:BC.10.如圖,彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng),它在時(shí)間(單位:)時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度(單位:)由關(guān)系式確定,則下列說(shuō)法正確的是()A.小球在開(kāi)始振動(dòng)(即)時(shí)在平衡位置上方處B.每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.小球從到時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程是【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí),,故A正確;小球往復(fù)振動(dòng)的周期為,所以每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故C正確;由,又,,所以小球從到時(shí)運(yùn)動(dòng)路程是,故D正確.故選:ACD.11.設(shè),表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如:,.若存在實(shí)數(shù),使得,同時(shí)成立,則下列說(shuō)法一定正確的是()A.若,則B.C.的最大值是4D.的最大值是5【答案】C【解析】,則;,則,即;,則,即;,則,即;;,則,即.設(shè),則,即因,則,即,因,則,因,則,故使得,同時(shí)成立的的最大值是4.故A、B、D錯(cuò)誤,C正確.故選:C三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,則________.【答案】【解析】.故答案:.13.已知經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,由題意可得,解得,所以,則,所以的離心率.故答案為:.14.已知直線與函數(shù),的圖象分別交于,兩點(diǎn),則取最小值時(shí),________,最小值為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】由可得,,即,所以函數(shù),互為反函數(shù),圖象關(guān)于直線對(duì)稱,因直線互相垂直,所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求上點(diǎn)到直線距離的最小值的2倍,因?yàn)椋?,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),有最小值3,此時(shí),故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某物業(yè)公司為提高對(duì)某小區(qū)的服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主,每位業(yè)主對(duì)該物業(yè)公司的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到如下列聯(lián)表:滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該小區(qū)男、女業(yè)主對(duì)該物業(yè)公司服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?(2)從該小區(qū)的業(yè)主中任選一人,表示事件“選到的人對(duì)該物業(yè)公司的服務(wù)不滿意”,表示事件“選到的人為女業(yè)主”,利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出,的估計(jì)值.附:.0.050.010.0053.8416.6357.879解:(1)因?yàn)?,所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為有差異;(2)由題意,所以.16.已知直線與圓相交于,兩點(diǎn),為圓上不同于,的一點(diǎn).記的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,.(1)求角;(2)若,求的面積.解:(1)圓心到直線的距離,圓的半徑,所以,又為外接圓上一點(diǎn),所以,解之得,因?yàn)?,所以或;?)由余弦定理得:,即,即,①當(dāng)時(shí),,此時(shí),②當(dāng)時(shí),,因?yàn)闉樽畲筮?,所以,與矛盾,所以不成立,舍去,綜上所述,的面積為.17.在四棱錐中,,,平面平面,,且.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(1)證明:在四棱錐中,由,,得,連接,而,則為等邊三角形,取中點(diǎn),連接,則,由平面平面,平面平面,平面,得平面,而平面,則,又,與相交,平面,所以平面.(2)解:取的中點(diǎn),連接,,,,由平面,平面,得,即兩兩垂直,以為原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由,得,,顯然為平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值是.18已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;(2)若有唯一的零點(diǎn),求的值.解:(1)當(dāng)時(shí),,,所以,所以在處的切線方程為,即.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,則g'(x)=a即在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,使得,即,且當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,又當(dāng)時(shí),時(shí),,故
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