2025屆河南省周口市項城市高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省周口市項城市2025屆高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由命題否定的法則得；的否定是：，．故選：．2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或【答案】D【解析】因為，當(dāng)，即時，，，符合題意；當(dāng)，即時，，，符合題意．綜上，或．故選：D．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，又，，，所以，又，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時，易得，此時與平行或相交，所以“”不是“”的必要條件．綜上，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即，解得，時等號成立，故取得最小值.故選：C5.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，，共面，則，所以，即，解得，，，所以，若，，是空間的一組基底，則．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，兩式平方相加得，即，由，得，則，即，于是，，即，兩邊平方整理得，又，解得，所以.故選：C7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.【答案】B【解析】因為，，所以為的外接圓的直徑，即半徑，由過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心可知，球心到平面的距離，又直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而點到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選:B．8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與雙曲線分別交于，兩點（其中點位于第一象限），過作軸于點，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意設(shè)，聯(lián)立消去得，，所以，又，所以，設(shè)，則，，由，得，所以設(shè)到的距離為，所以，所以的面積．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項，因為，所以，故A正確；B選項，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項，當(dāng)時，有成立，但此時為實數(shù)，故C錯誤；D選項，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時，的最小值為1，故D正確．故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點對稱也不關(guān)于某直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于某直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于某點對稱【答案】BCD【解析】對A，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A不正確；對B，令，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，因為，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，而函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對D，因為，所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移2個單位再向上平移3個單位得到，設(shè)，則，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：BCD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，，為上任意一點，經(jīng)過點的直線與交于，兩點，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.的最小值為C.的方程為D.的面積可以為【答案】BC【解析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：的坐標(biāo)為，的準(zhǔn)線方程為，所以到準(zhǔn)線的距離為1，所以A錯誤；由拋物線的定義，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時等號成立，所以B正確；設(shè)，，由題可知，，當(dāng)時，兩式作差可得，，所以，所以直線的方程為，整理得，；當(dāng)時，，此時直線方程為，把代入得，，所以，即．綜上，直線的方程為，所以C正確；設(shè)直線，，，由，得，由韋達(dá)定理可知：，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最小值為，所以的面積不可以為，所以D錯誤．故選:BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因為，所以，，經(jīng)驗證滿足題設(shè)，所以．故答案為：113.如圖，在矩形中，，點為邊上的任意一點（包含端點），為線段的中點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故答案為：14.記曲線關(guān)于直線的對稱曲線為，則上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為________．【答案】【解析】因為，所以與沒有公共點，則上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為上任意一點與上任意一點之間距離最小值的2倍．設(shè)為上的一點，因，則過點的切線斜率為，令，則，故是遞增函數(shù)，且當(dāng)時，，則存在唯一解，此時過點的切線與平行，所以上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為點到直線的距離，即，所以上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，，因為，所以．（2）由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，因為這樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時有兩解，所以，所以．16.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，，，所以的圖象在處的切線方程為，即，化為一般式為．（2）函數(shù)，定義域為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點，即在上必存在零點，由于，由二次函數(shù)性質(zhì)可知只需，解得，即的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體的各棱長均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．（1）證明：連接，因為，得，所以共面，則平面即為平面，再連接，延長交于，連接，如圖．因為為的重心，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，所以平面．（2）解：取的中點為，連接，則．因為平面，所以平面，又平行六面體的各棱長均為6，，則為正三角形，又為的中點，可得，，所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，所以．18.在平面直角坐標(biāo)系中，，，為一個動點，且直線，的斜率之積為，設(shè)動點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知，，點是上的一點，設(shè)為的重心，過點作垂直于軸的直線，求被分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍．解：（1）設(shè)，因為直線，的斜率之積是，所以，化簡整理得，，所以的方程為．（2）記的坐標(biāo)為，，由橢圓對稱性，不妨設(shè)點在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為．設(shè)與軸、分別交于點，，因為為的重心，所以，，的面積與的面積之比為．令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，所以的值域是，所以，所以，根據(jù)對稱性，被直線分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍是．19.設(shè)，將所有不大于的正整數(shù)隨機(jī)排列后構(gòu)成一個數(shù)列為，則稱是的一個“隨機(jī)數(shù)列”；若中的各項均滿足，則稱是的“完全隨機(jī)數(shù)列”，記的“完全隨機(jī)數(shù)列”的個數(shù)為．（1）分別計算，，，；（2）證明：；（3）若從中隨機(jī)選取一個數(shù)列，記此數(shù)列是的“完全隨機(jī)數(shù)列”的概率為，證明：．（1）解：當(dāng)時，只有一個數(shù)字，無法構(gòu)成完全隨機(jī)數(shù)列，所以；當(dāng)時，只有兩種排列方式，其中一種滿足條件，所以；當(dāng)時，有兩種排列方式滿足條件，所以；當(dāng)時，有9種排列方式滿足條件，所以；（2）證明：的“完全隨機(jī)數(shù)列”的排法可以分為兩個步驟：第一步：隨機(jī)排且不排在第項的位置，有種排法；第二步：隨機(jī)排其余項，根據(jù)第一步的排法，可以分為兩類：第一類：若排在第項的位置，但不排在第項的位置，這樣的排法有種；第二類：若排在第項的位置，排在第項的位置，這樣的排法有種，所以由計數(shù)原理得，；（3）解：因為，所以，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；由以上得，，所以，，，?，以上各式相加，可得，，所以，又的“隨機(jī)數(shù)列”的個數(shù)為，所以．河南省周口市項城市2025屆高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由命題否定的法則得；的否定是：，．故選：．2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或【答案】D【解析】因為，當(dāng)，即時，，，符合題意；當(dāng)，即時，，，符合題意．綜上，或．故選：D．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，又，，，所以，又，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時，易得，此時與平行或相交，所以“”不是“”的必要條件．綜上，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即，解得，時等號成立，故取得最小值.故選：C5.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，，共面，則，所以，即，解得，，，所以，若，，是空間的一組基底，則．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，兩式平方相加得，即，由，得，則，即，于是，，即，兩邊平方整理得，又，解得，所以.故選：C7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.【答案】B【解析】因為，，所以為的外接圓的直徑，即半徑，由過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心可知，球心到平面的距離，又直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而點到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選:B．8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與雙曲線分別交于，兩點（其中點位于第一象限），過作軸于點，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意設(shè)，聯(lián)立消去得，，所以，又，所以，設(shè)，則，，由，得，所以設(shè)到的距離為，所以，所以的面積．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項，因為，所以，故A正確；B選項，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項，當(dāng)時，有成立，但此時為實數(shù)，故C錯誤；D選項，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時，的最小值為1，故D正確．故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點對稱也不關(guān)于某直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于某直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于某點對稱【答案】BCD【解析】對A，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A不正確；對B，令，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，因為，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，而函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對D，因為，所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移2個單位再向上平移3個單位得到，設(shè)，則，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：BCD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，，為上任意一點，經(jīng)過點的直線與交于，兩點，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.的最小值為C.的方程為D.的面積可以為【答案】BC【解析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：的坐標(biāo)為，的準(zhǔn)線方程為，所以到準(zhǔn)線的距離為1，所以A錯誤；由拋物線的定義，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時等號成立，所以B正確；設(shè)，，由題可知，，當(dāng)時，兩式作差可得，，所以，所以直線的方程為，整理得，；當(dāng)時，，此時直線方程為，把代入得，，所以，即．綜上，直線的方程為，所以C正確；設(shè)直線，，，由，得，由韋達(dá)定理可知：，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最小值為，所以的面積不可以為，所以D錯誤．故選:BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因為，所以，，經(jīng)驗證滿足題設(shè)，所以．故答案為：113.如圖，在矩形中，，點為邊上的任意一點（包含端點），為線段的中點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故答案為：14.記曲線關(guān)于直線的對稱曲線為，則上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為________．【答案】【解析】因為，所以與沒有公共點，則上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為上任意一點與上任意一點之間距離最小值的2倍．設(shè)為上的一點，因，則過點的切線斜率為，令，則，故是遞增函數(shù)，且當(dāng)時，，則存在唯一解，此時過點的切線與平行，所以上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為點到直線的距離，即，所以上任意一點與上任意一點之間距離的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，，因為，所以．（2）由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，因為這樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時有兩解，所以，所以．16.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，，，所以的圖象在處的切線方程為，即，化為一般式為．（2）函數(shù)，定義域為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點，即在上必存在零點，由于，由二次函數(shù)性質(zhì)可知只需，解得，即的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體的各棱長均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．（1）證明：連接，因為，得，所以共面，則平面即為平面，再連接，延長交于，連接，如圖．因為為的重心，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，所以平面．（2）解：取的中點為，連接，則．因為平面，所以平面，又平行六面體的各棱長均為6，，則為正三角形，又為的中點，可得，，所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，所以．18.在