2025屆黑龍江省部分學校高三第二次檢測模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1黑龍江省部分學校2025屆高三第二次檢測模擬考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，即得故在第二象限，故選：B3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】展開式的通項公式為，當時，，當時，，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù).故選：D4.某初中為了了解本校學生的體重情況，該校醫(yī)務(wù)室從學生中隨機抽取200名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計這200名學生的平均體重為56.45千克（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）C.估計該校中學生體重的第65百分位數(shù)是56.25D.從該校所有學生中隨機抽取一名學生，其體重不低于60千克的概率為0.4【答案】C【解析】A選項，，解得，A錯誤；B選項，，估計這200名學生的平均體重為54.75千克，B錯誤；C選項，前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，前4組數(shù)據(jù)的頻率和為，故該校中學生體重的第65百分位數(shù)落在第4組中，設(shè)為，則，解得，C正確；D選項，從頻率分布直方圖可知，體重不低于60千克的頻率為，故從該校所有學生中隨機抽取一名學生，其體重不低于60千克的概率為0.2，D錯誤.故選：C5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為（）A B. C. D.1【答案】B【解析】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間上恒成立.因為，所以，所以，所以，即實數(shù)的最小值為.故選：B6.已知橢圓的左焦點為，過點且斜率為的直線與軸交于，若線段的中點在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】左焦點的坐標為，其中，離心率.過點且斜率為的直線方程為.當時，直線與軸交點的坐標為.線段的中點坐標為.中點在橢圓上，代入橢圓方程得到：，化簡得：.利用和，代入上式得到：.通分并整理得到方程：，解得（舍去不合理的解），故離心率.故選：D.7.已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線的三個交點，若，點的橫坐標為，則函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，結(jié)合的圖象可得關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，，解得因為，所以，即，即，解得，所以函數(shù)的最小正周期為.故選：C8.已知函數(shù)（其中且），若對，都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，則由得，令，則在上單調(diào)遞增，因為所以，故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC10.已知函數(shù)的極小值為，則（）A.B.曲線是中心對稱圖形C.若直線與函數(shù)的圖象有個交點，則實數(shù)的取值范圍為D.當時，【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域為，導函數(shù)，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，與條件矛盾，當時，令可得，或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取極小值，極小值為，由已知，所以，A錯誤，所以，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于曲線是中心對稱圖形，B正確，因為當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，當時，，當時，，所以函數(shù)的大致圖象如下：因為直線與函數(shù)的圖象有3個交點，所以，所以的取值范圍為，C正確；因為，又，所以，即，因為，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，D正確；故選：BCD.11.已知拋物線的準線方程為是上位于第一象限內(nèi)的一點，過點作準線的垂線，垂足為，直線（為坐標原點）與交于點（異于點），則（）A.B.直線過拋物線的焦點C.當為等腰三角形時，或D.過點且與拋物線相切的直線平分【答案】ABD【解析】因為準線方程為，所以，A正確；拋物線的焦點為，設(shè)，則,直線，由，可得，，即,當時，，即，此時直線過拋物線的焦點；當時，直線的斜率分別為，則，所以直線過拋物線的焦點，B正確；由拋物線定義可知,當時，則在的中垂線上，則，即，解得，此時,C不正確；設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，得，易知，令，可得；直線的斜率即為直線的斜率，即.設(shè)直線過點的切線的傾斜角分別為，則，而，即，因為點在第一象限，所以，所以；因為直線的斜率為0，所以過點且與拋物線相切的直線平分.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴.故答案為：.13.古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，點，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為上一動點，則的最小值為__________.【答案】【解析】設(shè)，則，，因為，所以，所以，即，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，圓的圓心為，半徑為，又點為上一動點，所以，當且僅當點為線段與圓的交點，點為線段與圓的交點時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14.如圖，平面平面，正方形的邊長為4，四邊形為矩形，，點在上，若三棱錐的四個頂點都在半徑為的球的球面上，則__________.【答案】1或3【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，，因為三棱錐的四個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，根據(jù)兩點距離公式可得：，，,解得：，所以，因為，解得：或，所以或.故答案為：1或3.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由題意得，所以，即，所以，因為為三角形的內(nèi)角，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，所以，即，又因為，所以，即，當且僅當時等號成立，所以.所以的最大值為.16.如圖，在四棱錐中，底面，點滿足.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面與平面所成的二面角的正弦值.解：（1）延長交于，由，可知：，又因為平面，平面，且平面平面，所以，即，所以，故；（2）由，又由底面，則可以為坐標原點，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，因為，所以，則有，又因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則，所以有，此時平面與平面所成的二面角的正弦值為.17.為引導鄉(xiāng)村老年人參與全民健身活動，積極倡導和踐行健康生活方式，某鄉(xiāng)村開展“趣味套圈圈玩出‘年輕態(tài)’”志愿者服務(wù)活動，旨在豐富老年人的精神文化生活，營造尊老、愛老、敬老的濃厚和諧鄰里氛圍.活動開始，志愿者為大家講解游戲規(guī)則：參加活動的每位老年人均可領(lǐng)2個圈圈且均需用完，一個圈圈只能套一次獎品（獎品為一瓶洗發(fā)水），每次套中獎品與否相互獨立，套中的獎品可被老年人帶走.已知王大爺每次套中獎品的概率為，張大爺每次套中獎品的概率為.（1）若，王大爺套完兩次后，記王大爺套中的獎品的個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）王大爺、張大爺都套完兩次后，求兩人總共套中的獎品個數(shù)為3的概率的最大值.解：（1）由題意隨機變量的可能值為，，，．，的分布列為：012；（2）由題意兩人總共套中的獎品個數(shù)為3的概率為：，設(shè)，，則，時，遞增，時，，遞減，所以時，，所以所求最大值為．18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，點是雙曲線上一點.過雙曲線的右焦點且斜率存在的直線與雙曲線交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點.（1）求雙曲線的方程；（2）證明：；（3）當均位于雙曲線的右支上時，若，求直線的方程.解：（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，可知：再由點是雙曲線上一點得：，代入得：，故，所以雙曲線；（2）設(shè)過雙曲線的右焦點且斜率存在的直線為，與雙曲線，聯(lián)立消去得：，其中，不等于0，設(shè)，則，所以設(shè)的中點為，則，，所以線段的垂直平分線方程為：，令得：，則，所以有；（3）設(shè)過雙曲線的右焦點且斜率存在的直線為，與雙曲線，聯(lián)立消去得：，設(shè)，則，由直線與雙曲線右支相交，則，解得，由（2）知，由可知：，即，根據(jù)，結(jié)合與右支交點可知，根據(jù)（2）可知：，則，，代入到上兩式得：，，再消得：，此時滿足，故符合題意，則直線方程為.19.已知數(shù)列滿足是函數(shù)的零點，且.證明：（1）；（2）數(shù)列是遞減數(shù)列；（3）當時，證明：（1）由得當時，，故在上為增函數(shù)，故，此時函數(shù)無零點；當時，，故在上為減函數(shù)，故，此時函數(shù)無零點；當時，，在上單調(diào)遞增，又因，所以在上存在唯一零點，且，因此當時，令，所以所以,因為，所以，進而，依次類推可得；（2），由（1）得，所以，從而，因此數(shù)列是遞減數(shù)列；（3）令因此依次類推可得即：當時，黑龍江省部分學校2025屆高三第二次檢測模擬考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，即得故在第二象限，故選：B3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】展開式的通項公式為，當時，，當時，，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù).故選：D4.某初中為了了解本校學生的體重情況，該校醫(yī)務(wù)室從學生中隨機抽取200名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計這200名學生的平均體重為56.45千克（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）C.估計該校中學生體重的第65百分位數(shù)是56.25D.從該校所有學生中隨機抽取一名學生，其體重不低于60千克的概率為0.4【答案】C【解析】A選項，，解得，A錯誤；B選項，，估計這200名學生的平均體重為54.75千克，B錯誤；C選項，前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，前4組數(shù)據(jù)的頻率和為，故該校中學生體重的第65百分位數(shù)落在第4組中，設(shè)為，則，解得，C正確；D選項，從頻率分布直方圖可知，體重不低于60千克的頻率為，故從該校所有學生中隨機抽取一名學生，其體重不低于60千克的概率為0.2，D錯誤.故選：C5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為（）A B. C. D.1【答案】B【解析】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間上恒成立.因為，所以，所以，所以，即實數(shù)的最小值為.故選：B6.已知橢圓的左焦點為，過點且斜率為的直線與軸交于，若線段的中點在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】左焦點的坐標為，其中，離心率.過點且斜率為的直線方程為.當時，直線與軸交點的坐標為.線段的中點坐標為.中點在橢圓上，代入橢圓方程得到：，化簡得：.利用和，代入上式得到：.通分并整理得到方程：，解得（舍去不合理的解），故離心率.故選：D.7.已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線的三個交點，若，點的橫坐標為，則函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，結(jié)合的圖象可得關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，，解得因為，所以，即，即，解得，所以函數(shù)的最小正周期為.故選：C8.已知函數(shù)（其中且），若對，都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，則由得，令，則在上單調(diào)遞增，因為所以，故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC10.已知函數(shù)的極小值為，則（）A.B.曲線是中心對稱圖形C.若直線與函數(shù)的圖象有個交點，則實數(shù)的取值范圍為D.當時，【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域為，導函數(shù)，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，與條件矛盾，當時，令可得，或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取極小值，極小值為，由已知，所以，A錯誤，所以，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于曲線是中心對稱圖形，B正確，因為當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，當時，，當時，，所以函數(shù)的大致圖象如下：因為直線與函數(shù)的圖象有3個交點，所以，所以的取值范圍為，C正確；因為，又，所以，即，因為，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，D正確；故選：BCD.11.已知拋物線的準線方程為是上位于第一象限內(nèi)的一點，過點作準線的垂線，垂足為，直線（為坐標原點）與交于點（異于點），則（）A.B.直線過拋物線的焦點C.當為等腰三角形時，或D.過點且與拋物線相切的直線平分【答案】ABD【解析】因為準線方程為，所以，A正確；拋物線的焦點為，設(shè)，則,直線，由，可得，，即,當時，，即，此時直線過拋物線的焦點；當時，直線的斜率分別為，則，所以直線過拋物線的焦點，B正確；由拋物線定義可知,當時，則在的中垂線上，則，即，解得，此時,C不正確；設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，得，易知，令，可得；直線的斜率即為直線的斜率，即.設(shè)直線過點的切線的傾斜角分別為，則，而，即，因為點在第一象限，所以，所以；因為直線的斜率為0，所以過點且與拋物線相切的直線平分.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴.故答案為：.13.古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，點，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為上一動點，則的最小值為__________.【答案】【解析】設(shè)，則，，因為，所以，所以，即，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，圓的圓心為，半徑為，又點為上一動點，所以，當且僅當點為線段與圓的交點，點為線段與圓的交點時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14.如圖，平面平面，正方形的邊長為4，四邊形為矩形，，點在上，若三棱錐的四個頂點都在半徑為的球的球面上，則__________.【答案】1或3【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，，因為三棱錐的四個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，根據(jù)兩點距離公式可得：，，,解得：，所以，因為，解得：或，所以或.故答案為：1或3.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由題意得，所以，即，所以，因為為三角形的內(nèi)角，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，所以，即，又因為，所以，即，當且僅當時等號成立，所以.所以的最大值為.16.如圖，在四棱錐中，底面，點滿足.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面與平面所成的二面角的正弦值.解：（1）延長交于，由，可知：，又因為平面，平面，且平面平面，所以，即，所以，故；（2）由，又由底面，則可以為坐標原點，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，因為，所以，則有，又因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則，所以有，此時平面與平面所成的二面角的正弦值為.17.為引導鄉(xiāng)村老年人參與全民健身活動，積極倡導和踐行健康生活方式，某鄉(xiāng)村開展“趣味套圈圈玩出‘年輕態(tài)’”志愿者服務(wù)活動，旨在豐富老年人的精神文化生活，營造尊老、愛老、敬老的濃厚和諧鄰里氛圍.活動開始，志愿者為大家講解游戲規(guī)則：參加活動的每位老年人均可領(lǐng)2個圈圈且均需用完，一個圈圈只能套一次獎品（獎品為一瓶洗發(fā)水），每次套中獎品與否相互獨立，套中的獎品可被老年