2025屆黑龍江省大慶市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題，，又為純虛數(shù)，.故選：A．2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】設(shè)，則即，故選：B．3.已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4.已知是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯誤；對于B選項(xiàng)，若，則m垂直于內(nèi)的任意直線，，所以B正確；對于C選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯誤；對于D選項(xiàng)，若，則或，所以D錯誤.故選：B5.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則由已知得化簡得，故選：C．6.若銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且平方得，又，故選：A．7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，對任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè),由為奇函數(shù)可知為偶函數(shù)因?yàn)槿我獾?,，都有所以時,單調(diào)遞減,由對稱性可知在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以?則化為,即,由單調(diào)性可知．若，則化為，即，由單調(diào)性可得．綜上,．故選:C8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)數(shù)列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，弦長最小，此時最?。忠?yàn)?，則，可知，則．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.在方向上的投影向量的模為【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，由可知，當(dāng)時，，所以．所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，由可知，與共線，不一定是．所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，由，得，即，所以，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，其中，且．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則下列說法正確是（）A.的圖象關(guān)于對稱B.在上單調(diào)遞增C.直線是的一條切線D.若在區(qū)間上的圖象與直線有且只有三個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】AC【解析】由且，都有同號可知，,又，由得，由知關(guān)于對稱，故A正確．當(dāng)時，，此時先增后減，故B錯誤．．令得或，其中，時在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數(shù)圖象知道，得．故D錯誤．故選：AC．11.廣東汕頭海灣大橋被譽(yù)為“中國第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.，B.當(dāng)時，函數(shù)有最小值C.，D.，【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，，，A錯；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，B對；對于C選項(xiàng)．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對于D選項(xiàng)．當(dāng)時，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則的所有元素之和為________．【答案】【解析】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且．若四邊形的周長為，則C的離心率為________．【答案】【解析】由雙曲線的對稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，兩個方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡得，由得．故答案為：14.在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為________；若點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為________．【答案】①.②.【解析】取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．連接PH，在中，，點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過點(diǎn)H作于點(diǎn)E，過H作于點(diǎn)F，則．在中，．同理，，的長度為，故點(diǎn)P的軌跡長度為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．（1）求B；（2）求函數(shù)在上的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當(dāng)，即時．16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a的值；（2）若存在使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），由已知，又當(dāng)時，令得，且當(dāng)時在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問題等價(jià)于存在使得．設(shè)，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，故m的范圍是．17.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時，．（1）解：由題意得，①，當(dāng)時，②由①②得：，即．又時，滿足.（2）證明：由得，.①當(dāng)n為偶數(shù)時，此時，，故②當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上，當(dāng)時，．18.在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD中點(diǎn)，平面ABCD，，平面平面．（1）求證：；（2）如圖，且，求點(diǎn)M到平面PBC的距離；（3）設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）解：取BC中點(diǎn)N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的一個法向量為則，得，取點(diǎn)M到平面PBC的距離為（3）解：存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，，且平面ABCD為正方形，點(diǎn)Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設(shè)則，解得．即設(shè)，，設(shè)平面AEC一個法向量為，則得，取設(shè)直線PQ與平面AEC所成的角為化簡得，即或（舍）．∴存在點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．19.已知曲線，點(diǎn)在曲線W上．（1）求曲線W在點(diǎn)Q處的切線方程；（2）如圖1，過曲線W外一點(diǎn)A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點(diǎn)為B，C，過曲線W上一點(diǎn)M的切線交AB，AC于點(diǎn)，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點(diǎn)E，求證：A，M，E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點(diǎn)A出發(fā)做出的第一個外切三角形是再過點(diǎn)分別做出2個“外切三角形”，即和；繼續(xù)過點(diǎn)分別做出4個“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個外切三角形．設(shè)的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．解：（1）由題可得，則，，，故點(diǎn)Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線斜率為，又，，即，則直線AM為，E點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又在BC上，，，即A、M、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列．②由①可知A、M、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，則，又，則，可得，且相似比為，故，同理可得如圖連接BM，CM，因，又，則與在底邊BC與底邊對應(yīng)的高相同，又，則，則，則，即第二次所做的“外切三角形”的面積之和是第一次所做“外切三角形”的面積的，同理可知每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，可得黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題，，又為純虛數(shù)，.故選：A．2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】設(shè)，則即，故選：B．3.已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4.已知是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯誤；對于B選項(xiàng)，若，則m垂直于內(nèi)的任意直線，，所以B正確；對于C選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯誤；對于D選項(xiàng)，若，則或，所以D錯誤.故選：B5.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則由已知得化簡得，故選：C．6.若銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且平方得，又，故選：A．7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，對任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè),由為奇函數(shù)可知為偶函數(shù)因?yàn)槿我獾?,，都有所以時,單調(diào)遞減,由對稱性可知在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以?則化為,即,由單調(diào)性可知．若，則化為，即，由單調(diào)性可得．綜上,．故選:C8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)數(shù)列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，弦長最小，此時最小．又因?yàn)?，則，可知，則．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.在方向上的投影向量的模為【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，由可知，當(dāng)時，，所以．所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，由可知，與共線，不一定是．所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，由，得，即，所以，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，其中，且．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則下列說法正確是（）A.的圖象關(guān)于對稱B.在上單調(diào)遞增C.直線是的一條切線D.若在區(qū)間上的圖象與直線有且只有三個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【答案】AC【解析】由且，都有同號可知，,又，由得，由知關(guān)于對稱，故A正確．當(dāng)時，，此時先增后減，故B錯誤．．令得或，其中，時在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數(shù)圖象知道，得．故D錯誤．故選：AC．11.廣東汕頭海灣大橋被譽(yù)為“中國第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.，B.當(dāng)時，函數(shù)有最小值C.，D.，【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，，，A錯；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，B對；對于C選項(xiàng)．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對于D選項(xiàng)．當(dāng)時，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則的所有元素之和為________．【答案】【解析】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且．若四邊形的周長為，則C的離心率為________．【答案】【解析】由雙曲線的對稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，兩個方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡得，由得．故答案為：14.在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為________；若點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為________．【答案】①.②.【解析】取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．連接PH，在中，，點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過點(diǎn)H作于點(diǎn)E，過H作于點(diǎn)F，則．在中，．同理，，的長度為，故點(diǎn)P的軌跡長度為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，．（1）求B；（2）求函數(shù)在上的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當(dāng)，即時．16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a的值；（2）若存在使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），由已知，又當(dāng)時，令得，且當(dāng)時在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問題等價(jià)于存在使得．設(shè)，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，故m的范圍是．17.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時，．（1）解：由題意得，①，當(dāng)時，②由①②得：，即．又時，滿足.（2）證明：由得，.①當(dāng)n為偶數(shù)時，此時，，故②當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上，當(dāng)時，．18.在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD中點(diǎn)，平面ABCD，，平面平面．（1）求證：；（2）如圖，且，求點(diǎn)M到平面PBC的距離；（3）設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）解：取BC中點(diǎn)N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的一個法向量為則，得，取點(diǎn)M到平面PBC的距離