五年級(jí)奧數(shù)行程時(shí)鐘相遇與追及問題（AB級(jí)）學(xué)生版

呵理I用題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問題，不過這里的兩個(gè)“人”分別

是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。

我們通常把研究時(shí)鐘上時(shí)針和分針的問題稱為時(shí)鐘問題，其中包括時(shí)鐘的快慢，時(shí)鐘的周期，時(shí)鐘

上時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌鹊鹊取?/p>

時(shí)鐘問題有別于其他行程問題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠绞讲辉偈浅Ｒ?guī)的米每秒或者下

米每小時(shí)，而是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。時(shí)于正常的時(shí)鐘，

具體為：整個(gè)鐘面為360度，上面有12個(gè)大格，每個(gè)大格為30度：60個(gè)小格，每個(gè)小格為6度。

分針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，每分鐘走6度

時(shí)針?biāo)俣龋好糠昼娮週

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注意：但是在許多時(shí)鐘問題中，往往我們會(huì)遇到各種“怪鐘”，或者是“壞了的鐘”，它們的時(shí)針和

分針每分鐘走的度數(shù)會(huì)與常規(guī)的時(shí)鐘不同，這就需要我們要學(xué)會(huì)對(duì)不同的問題進(jìn)行獨(dú)立的分析。

要把時(shí)鐘問題當(dāng)做行程問題來看，分針快，時(shí)針慢，所以分針與時(shí)針的問題，就是他們之間的追及

問題.另外，在解時(shí)鐘的快慢問題中，要學(xué)會(huì)十字交叉法.

例如：時(shí)鐘問題需要記住標(biāo)準(zhǔn)的鐘，時(shí)針與分針從一次重合到下一次重合，所需時(shí)間為653分。

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恒初題溺窗

【例1】當(dāng)時(shí)鐘表示1點(diǎn)45分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)傻拟g角是多少度？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【鞏固】在16點(diǎn)16分這個(gè)時(shí)刻，鐘表盤面上時(shí)針和分針的夾角是一度.

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題口,；!】☆☆【題型】填空

【解析】16點(diǎn)的時(shí)候夾角為120度，每分鐘，分針轉(zhuǎn)6度，時(shí)針轉(zhuǎn)0.5度，16：16的時(shí)侯?yuàn)A角為120-6

XX16=32度.

【答案】32度

［例2］在一段時(shí)間里，時(shí)針、分鐘、秒針轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)之和恰好是1466圈，那么這段時(shí)間有秒。

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答-

【解析】解：它們的速度比為1:12:720,所以秒針轉(zhuǎn)了1466+(720+12+1)XX60=86400秒

【答案】86400秒.

【鞏固】在一段時(shí)間里，時(shí)針、分鐘、秒針正好走了3665小格，那么這段時(shí)間有秒。

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】解：它們的速度比為1:12:720,所以秒針轉(zhuǎn)了3665+(720+12+1)X

【答案】3600秒.

【例3】有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示1()時(shí)整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，

分針與時(shí)針第二次重合？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】【題型】解答

【解析】在10點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0,分針?biāo)谖恢脼榭潭?2；當(dāng)兩針重合時(shí)，分針必須追上50

個(gè)小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹椤癐”，有時(shí)針?biāo)俣葹橛谑切枰獣r(shí)間：50-(1--)=54—.所

121211

以，再過54A分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合.第二次重合時(shí)顯然為12點(diǎn)整，所以再經(jīng)過

(12-10)x60-54—=65—時(shí)針與分針第二次重合.標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘，每隔65』分鐘，時(shí)

111111

針與分針重合一次.我們來熟悉一下常見鐘表(機(jī)械)的構(gòu)成：一般時(shí)鐘的表盤大刻度有12個(gè)，

即為小時(shí)數(shù)；小刻度有60個(gè)，即為分鐘數(shù).所以時(shí)針一周需要12小時(shí)，分針一圈需要60分鐘

(1小時(shí))，時(shí)針的速度為分針?biāo)俣鹊摹?.如果設(shè)分針的速度為單位“I”，那么時(shí)針的速度為

1212

【答案】549分鐘

11

【鞏固】鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)多少分第一次重合？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難；1】☆☆【題型】解答

【解析】此題屬于追及問題，追及路程是20格，速度差是1-」-二口，所以追及時(shí)間是：20+旦=212

12121211

(分)。

9

【答案】21—分

11

［例4］鐘表的時(shí)針與分針在8點(diǎn)多少分第一次垂直？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

3

【解析】27丁此題屬于追及問題，但是追及路程是440-15=25格(由原來的40格變?yōu)?5格)，速度

差是1一」-二U,所以追及時(shí)間是：254--=27—(分)。

12121211

【答案】27a分

11

【鞏固】2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，2點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針成60度，第一次垂直需要90度，即分針追了90+60=150（度），

3

1504-（6-0.5）=27—（分）

3

【答案】27—分

11

［例5］時(shí)鐘的時(shí)針和分針在6點(diǎn)鐘反向成?直線，它切下一次反向成一直線是在什么時(shí)間？（準(zhǔn)確到

秒）

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】時(shí)針、分針下一次反向成一直線是在7點(diǎn)以后，這時(shí)分針應(yīng)比時(shí)針多走鐘面上5珞，分針每分鐘

走1格，時(shí)針每分鐘走格.

I2

5-r（1--L）=^2=5—,—X60心27。

12111111

即在7點(diǎn)5分27秒，時(shí)針、分針再次反向成一直線。

【答案】7點(diǎn)5分27秒

【鞏固】時(shí)鐘的時(shí)針和分針在9點(diǎn)多反向成一直線，問：下一次反向成一直線經(jīng)過了多長時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

7205

【解析】分針追了360（度），360+（6-0.5）=-=65—（分）

1111

【答案】65V

【例6】現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過多長時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】時(shí)針的速度是360：12:60=0.5（度/分），分針的速度是360：60二6（度/分），即分針與時(shí)針的速

度差是6-0.5=5.5（度/分），10點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是60度，，第一次在一條直線時(shí)，分針

與時(shí)針的夾角是180度，，即分針與時(shí)針從60度到180度經(jīng)過的時(shí)間為所求°,所以答案為

9

（180-60）-5-5.5=21—（分）

9

【答案】21—分

11

【鞏固】在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，9點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針成90度，第一次在一條直線上需要分針追9。度，第二次在

41

904-（6-0.5）=16—270X6-0.5）=49—

一條直線上需要分針追270度，答案為U（分）和U（分）

3201I

于是，分針追上f16?！?所需時(shí)間為160+(6-0.5)=」=292分鐘.所以此人外出29一分

111111

鐘.

【答案】29-！-分鐘

11

[例9]一部動(dòng)畫片放映的時(shí)間不足1時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)結(jié)束時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針、

分針的位置交換了一下。這部動(dòng)畫片放映了多長時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，時(shí)針恰好走到分針的位置，分針恰好走到時(shí)針的位矍，它們一共走了一圈，即

360+(6+0.5)=55得(分)

【答案】55之分

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【鞏固】一部電影放映的時(shí)間大約2小時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)結(jié)束時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針、

分針的位置交換了一下。這部動(dòng)畫片放映了多長時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，時(shí)針恰好走到分針的位置，分針恰好走到時(shí)針的位置，它們一共走了兩國，即

7204-(6+0.5)=110^(分)

【答案】分

13

【例10】8時(shí)到9時(shí)之間時(shí)針和分針在“8”的兩邊，并且兩針?biāo)纬傻纳渚€到“8”的距離相等.問這時(shí)

是8時(shí)多少分？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】8點(diǎn)整的時(shí)候，時(shí)針較分針順時(shí)針方向多40格，設(shè)在滿足題意時(shí)，時(shí)針走過x格，那么分針走過

40-x格，所以時(shí)針、分針共走過x+(40-x)=40格.于是，所需時(shí)間為40+(1+\)=361分鐘，

12

即在8點(diǎn)36—分鐘為題中所求時(shí)刻.

13

【答案】8點(diǎn)36上分

13

【鞏固】3時(shí)到4時(shí)之間時(shí)針和分針在“3”的兩邊，并且兩針?biāo)纬傻纳渚€到“3”的距離相等.問這時(shí)

是3時(shí)多少分？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】3點(diǎn)整的時(shí)候，時(shí)針與分針夾角90度，設(shè)在滿足題意時(shí)，時(shí)針走過x度，那么分針走過90-x度，

所以時(shí)針、分針共走過"(90-x)=90度.于是，所需時(shí)間為90+(6+0.5)一管一13《分鐘，

即在8點(diǎn)、13〃分鐘為題中所求時(shí)刻.

13

【答案】8點(diǎn)嗎分

■

【隨練1】現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

4

【解析】根據(jù)題意可知，3點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針成90度，第一次重合需要分針追90度，90+（6-0.5）=16石

（分）

【答案】16±分

11

【隨練2】時(shí)鐘的時(shí)針和分針在1點(diǎn)多反向成一直線，問：下一次反向成一直線經(jīng)過了多長時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

7205

【解析】分針追了360（度），3604-（6-0.5）=—=65—（分）

1111

【答案】65—

11

【隨練3】小紅在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間開始解一道數(shù)學(xué)題，當(dāng)時(shí)時(shí)針和分針正好成一條直線，當(dāng)小紅解完這道

題時(shí)，時(shí)針和分針剛好第一次重合，小紅解這道題用了多少時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

[1、4

【解析】9點(diǎn)和10點(diǎn)之間分鏟和時(shí)針在一條直線上的時(shí)刻為：15+1=16—（分）,時(shí)針與分針第

I12J11

45-5-11--i=49—（分），所以這道題目所月的時(shí)間為：

一次重合的時(shí)刻為：

I12）11

\48

49—-16—=32-（分）

II1111

Q

【答案】32?分

11

【隨練4】1時(shí)到2時(shí)之間時(shí)針和分針在“1”的兩邊，并且兩針?biāo)纬傻纳渚€到“1”的距離相等.問這時(shí)

是1時(shí)多少分？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】1點(diǎn)整的時(shí)候，時(shí)針與分針夾角30度，設(shè)在滿足題意時(shí)，時(shí)針走過x度，那么分針走過30-x度，

所以時(shí)針、分針共走過x+（30-x）=30度.于是.所需時(shí)間為30+（6+0.5）=絲=4衛(wèi)■分鐘.即

Q

在8點(diǎn)4一分鐘為邂中所求時(shí)刻.

13

Q

【答案】8點(diǎn)4?分

13

I

于氯IS誕

Q

【作業(yè)1】當(dāng)時(shí)鐘表示12點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)傻娘偨鞘嵌嗌俣龋?/p>

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】165度

【答案】165度

【作業(yè)2】上午9點(diǎn)多鐘，當(dāng)鐘表的時(shí)針和分針重合時(shí)，鐘表表示的時(shí)間是9點(diǎn)幾分？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

（1A1

【解析】時(shí)針與分針第一次重合的經(jīng)過的時(shí)間為：45+1=49—（分），當(dāng)鐘表的時(shí)針和分針重合

I12J11

時(shí)，鐘表表示的時(shí)間是9點(diǎn)49-!-分。

11

【答案】49,分

11

【作業(yè)3】6點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，6點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針或180度，第一次垂直需要90度，即分針追了180-90二90（度），

90-（6-0.5）=-=16—（分）

1111

【答案】16二4分

11

【作業(yè)4】某人下午六時(shí)多外出買東西，出門時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為55°,七時(shí)前回家時(shí)

又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是55°.那么此人外出多少分鐘？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】☆☆【題型】解答

【解析】開始分針在時(shí)針左邊55°位置，后來追至?xí)r針右邊55°位置.

于是，分針追上了110°.所需時(shí)間為110+（6—0.5）=20分鐘.所以此人外出20分鐘.

【答案】20分鐘

【作業(yè)5】在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？

【考點(diǎn)】行程問題之時(shí)鐘問題【難度】【題型】解答

【