浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

絕密★考試結(jié)束前2024學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：奉化中學(xué)丁少杰、孫圣審題：臨安中學(xué)方銘象山中學(xué)許澤建校稿：求蓮萍考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘：2．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級(jí)、學(xué)號(hào)和姓名，座位號(hào)寫在指定位置：3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效：4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，3，5，7，8，11的第上四分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.4 B.5 C.6 D.74.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.5.有兩個(gè)盒子，第一個(gè)盒子恰有1個(gè)紅球，4個(gè)黃球，第二個(gè)盒子恰有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球．現(xiàn)從這兩個(gè)盒子中等可能地選擇一個(gè)盒子，然后從中任意摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球都是黃球的概率為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），若直線是圖象的切線，則的值為（）A. B.1 C. D.7.長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包括邊界）移動(dòng)．若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若當(dāng)且僅當(dāng)，則的最小值為（）A.2 B.0 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A若與互斥，則 B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立 D.若，則10.已知，且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在二元函數(shù)滿足：①且；②：則稱為在上的“面積”系統(tǒng)．下列說(shuō)法正確的是（）A.若為常數(shù)，則在上有唯一的“面積＂系統(tǒng)B.若為在上的“面積”系統(tǒng)，則C.是在上的“面積”系統(tǒng)D.若則上有無(wú)數(shù)個(gè)“面積”系統(tǒng)第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則共可組成_______個(gè)四位數(shù)．13.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_______．14.已知是雙曲線的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的公差不為0，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.在中，分別是角的對(duì)邊，已知是銳角，且．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求面積最大值．17.如圖，已知是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓上任意一點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，則是否存在點(diǎn)滿足，，使得且？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.已知橢圓的離心率為為的左，右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，且周長(zhǎng)為，直線交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的斜率之積恒為，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．（3）若直線恒過(guò)，則否為定值？若成立，請(qǐng)求出該定值：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.“田忌賽馬”我國(guó)歷史上有名的“以弱勝?gòu)?qiáng)”的事例．齊王有匹馬，田忌有匹馬，且這匹馬在比賽中的勝負(fù)可用如下不等式表示：①且；②且．這里，表示“馬與馬比賽，馬獲勝”．一天，