2024-2025學年湖北省部分省級示范高中高一（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖北省部分省級示范高中高一（下）期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在單位圓中，已知角α是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點P(?35,y)，則sinα=A.?45 B.?35 C.2.已知tanα=2，則3cosα?2sinα2cosα+3sinα=(

)A.?47 B.47 C.?3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，B=60°，則角CA.45° B.75° C.105° D.135°4.如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則BE=(

)A.23BA+16BC

B.15.1551年奧地利數(shù)學家、天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec(角)表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用csc(角)表示，則csc10°?A.3 B.23 C.46.在下列函數(shù)中，周期為2π的函數(shù)是(

)A.y=2sinxcosxB.y=cos2x?sin2x7.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則(

)A.φ=?π3

B.f(x)的最小正周期為π2

C.f(x)在區(qū)間(1,32)上單調(diào)遞減

D.f(x)在區(qū)間[?2025π,2025π]上共有8100個零點

8.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在x1，x2(x1≠x2A.[3,4) B.[3,+∞) C.[2,4) D.[4,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a=(4,?1)，b=(0,?1)，則下列結論正確的是(

)A.(a?b)⊥b B.|a+2b|=5

C.a與b10.已知函數(shù)f(x)=cos(12A.x=π2是f(x)的一條對稱軸

B.f(x)的對稱中心是(3π2+kπ,0),k∈Z

C.f(x)在區(qū)間[0,13π6]上的值域是[?311.在銳角△ABC中，設a，b，c分別表示角A，B，C對邊，a=1，bcosA?cosB=1，則下列選項正確的有(

)A.B=2A

B.b的取值范圍是(2,2)

C.當b=32時，△ABC的外接圓半徑為277

D.若當A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復數(shù)1+ai2?i為純虛數(shù)，則實數(shù)a為______．13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2+c2?b14.在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=8，點M為△ABC三邊上的動點，PQ是△ABC外接圓的直徑，則MP?MQ的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z1=1?3i，z2=a+i，a∈R，若一復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復數(shù)為“理想復數(shù)”，已知z1?z2為“理想復數(shù)”．

(1)求實數(shù)a；

(2)16.(本小題15分)

已知sinα=1213,sin(α+β)=35,0<β<π2,17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量m=(2b?a,c)與向量n=(cosA,cosC)共線．

(1)求C；

(2)若c=3，△ABC的面積為18.(本小題17分)

已知向量a=(23,sinωx),b=(cos2ωx,2cosωx)，函數(shù)f(x)=a?b(ω>0)，函數(shù)f(x)圖像相鄰對稱軸之間的距離為π2．

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的119.(本小題17分)

如圖，扇形OAB的半徑為1，圓心角為π4，C是弧AB上的動點(不含點A、B)，作CE/?/OA交OB于點E，作EF⊥OA交OA于點F，同時以OA為斜邊，作Rt△OAG，且∠AOG=2∠COA．

(1)求△OAG的面積的最大值；

(2)從點C出發(fā)，經(jīng)過線段CE、EF、FA、AG，到達點G

參考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.2

13.?2

14.[?16,0]

15.解：(1)復數(shù)z1=1?3i，z2=a+i，a∈R，

∴z1?z2=(1?3i)(a+i)=a+3+(1?3a)i，

∵z1z2是“理想復數(shù)”，∴(a+3)+(1?3a)=0，

∴a=2．

(2)由(1)知z1=1?3i，z16.解：(1)因為sinα=1213，π2<α<π，則cosα=?513，

所以cos(α?π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=?513×22+1213×22=7226．

(2)因為0<β<π2,π2<α<π，所以π2<α+β<3π2，

又sin(α+β)=35，所以cos(α+β)=?45，

所以sin(2α+β)=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=18.解：(1)f(x)=a?b=23cos2ωx+2sinωxcosωx

=3(1+cos2ωx)+sin2ωx=2sin(2ωx+π3)+3,ω>0，

因為f(x)相鄰的對稱軸之間的距離為π2，

所以f(x)的最小正周期為π，所以2π2ω=π，解得ω=1，

所以f(x)=2sin(2x+π3)+3，

令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，則π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z；

(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)+319.解：(1)設∠AOC=θ，則0<θ<π4，∠AOG=2θ，

在Rt△OAG中，∠OGA=π2，OA=1，則OG=OAcos2θ=cos2θ，

AG=OAsin2θ=sin2θ，

所以S△OAG=12OG?AG=12cos2θsin2θ=14sin4θ，

因為0<θ<π4，則0<4θ<π，

當4θ=π2時，即當θ=π8時，△OAG的面積取最大值，且最大值為14．

(2)過點C作CH⊥OA，垂足為點H，

因為CE/?/OA，EF⊥OA，CH⊥OA，則四邊形CEFH為矩形，

所以EF=CH=OCsinθ=sinθ，OH=OCcosθ=cosθ，

因為EF⊥OA，∠AOE=π4，則△OEF為等腰直角三角形，則OF=EF=sinθ，

所以CE=FH=OH?OF=cosθ?sinθ，