2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何課下層級訓(xùn)練38空間點直線平面的位置關(guān)系含解析文新人教A版

PAGEPAGE9課下層級訓(xùn)練(三十八)空間點、直線、平面的位置關(guān)系[A級基礎(chǔ)強化訓(xùn)練]1．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在此平面內(nèi)D．假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線A[選項A是由公理推證出來的，而公理是不須要證明的．]2．(2024·甘肅蘭州統(tǒng)考)已知直線m，n和平面α，則m∥n的一個必要條件是()A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α D．m，n與平面α成等角D[A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不肯定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與α成的角肯定相等，但反之假如兩直線m，n與α成的角相等則不肯定平行，所以是必要非充分條件．]3．正方體A1C中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直A[如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．]4．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中隨意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B[①明顯是正確的；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不肯定共面；③中構(gòu)造長方體(或正方體)，如圖所示，明顯b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．]5．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點，若BC＝CA＝CC1＝1，則BD1與AF1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(30),10) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(30),15) D．eq\f(\r(15),10)A[取BC的中點E，連接EF1，EA，則可知∠EF1A為BD1與AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝eq\f(\r(6),2)，AF1＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(\r(5),2)，由余弦定理得，cos∠EF1A＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(30),10).]6．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定__________個平面．1或4[假如這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；假如這四點不共面，則隨意三點可確定一個平面，所以可確定四個平面．]7．如圖為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有__________對．3[平面圖形的翻折應(yīng)留意翻折前后相對位置的改變，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對．]8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為__________.eq\r(2)[取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角．因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).]9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，求異面直線A1M與DN所成的角的大?。馊鐖D，連接D1M，可證D1M⊥DN.又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1?平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即異面直線A1M與DN所成的夾角為90°.10．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[B級實力提升訓(xùn)練]11．(2024·福建福州質(zhì)檢)直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°C[如圖，延長CA到點D，使得AD＝AC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°.]12．(2024·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)A[設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).]13．設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是__________.0<a<eq\r(2)[構(gòu)造四面體ABCD，使AB＝a，CD＝eq\r(2)，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中點E，則AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)>a，所以0<a<eq\r(2).]14．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面綻開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是__________.②③④[把正四面體的平面綻開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.]15．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點．(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值．(1)證明假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE沖突，所以AE與PB是異面直線．(2)解取BC的中點F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF(或其補角)就是異面直線AE與PB所成的角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2·AE·EF)＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，故異面直線AE與PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).16．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2.(1)當(dāng)點M在何位置時，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，推斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．解(1)方法一如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.因為側(cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC．又因為EC＝2FB＝2，所以O(shè)M∥EC∥FB且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB，所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時點M為AC的中點．方法二如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ.因為EC＝2FB＝2，所以PE＝BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因為PB∩PQ＝P，PB?平面PBQ，PQ?平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AE