專題02 一元一次不等式【知識串講+8大考點】（北師大版）解析版

專題02一元一次不等式考點類型知識一遍過（一）一元一次不等式概念不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式為：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。（二）解一元一次不等式的步驟①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1注意：去分母與系數(shù)化為一要特別小心，因為要在不等式兩端同時乘或除以某一個數(shù)，要考慮不等號的方向是否發(fā)生改變的問題。（三）解方程與解不等式的區(qū)別一元一次方程一元一次不等式解法的依據(jù)方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變解法的步驟①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負數(shù)，不等號要改變方向解得情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式可以有無數(shù)多個解考點一遍過考點1：一元一次不等式的概念典例1：（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習）下列各式：①x2+2>5；②a+b；③x3≥2x?15；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式，其中只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為1的不等式叫做一元一次不等式．解答此類題關(guān)鍵是會識別常見的不等號：>、≥、<、≤、≠．【詳解】解：①x2②a+b含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；③x3④x?1不是不等式，不符合題意；⑤x+2≤3是一元一次不等式，符合題意；∴一元一次不等式一共有2個，故選：A．【變式1】（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習）下列各式：①x2+2>5；②a+b；③x3≥2x?15；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義進行判斷即可得到答案．此題考查了一元一次不等式，不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1，這樣的不等式叫做一元一次不等式．熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①x2+2>5；②a+b；③x3≥2x?15；④x?1；⑤故選：A【變式2】（2023下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期末）下列各式：（1）?x≥5；（2）y?3x<0；（3）xπ+5<0；（4）x2A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：（1）?x≥5，是一元一次不等式；（2）y?3x<0，含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；（3）xπ（4）x2一元一次不等式共2個，故選：A．【點睛】本題考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023下·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習）下列式子：①?2<0；②3x?5>0；③x2?x>1；④x>1；⑤1xA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義進行逐一判斷即可：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：①?2<0，不含有未知數(shù)，不是一元一次不等式；②3x?5>0是一元一次不等式；③x2④x>1是一元一次不等式；⑤1x⑥x+2>y+1，含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；∴一元一次不等式一共有2個，故選A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的定義，熟知定義是解本題的關(guān)鍵．考點2：解一元一次不等式典例2：（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：(1)25x+3(2)1+x【答案】(1)x≤?3．(2)x>6．【詳解】（1）去括號，得10x+6≤x?3+6x．移項、合并同類項，得3x≤?9．系數(shù)化為1，得x≤?3．這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．（2）去分母，得6+2x>30?3x+6．移項、合并同類項，得5x>30．系數(shù)化為1，得x>6．這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．【變式1】（2023下·七年級課時練習）解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來：(1)4x?2>3x?1(2)2x?13(3)5x?32x?1【答案】(1)x>?1(2)x≤?1(3)x>?3【詳解】（1）去括號，得4x?2>3x?3．移項，得4x?3x>2?3．合并同類項，得x>?1．其解集在數(shù)軸上表示為（2）去分母，得22x?1?35x+1移項，得4x?15x≥6+2+3．合并同類項，得?11x≥11．系數(shù)化為1，得x≤?1．其解集在數(shù)軸上表示為（3）去括號，得5x?6x+3<2x+12．移項及合并同類項，得?3x<9．系數(shù)化為1，得x>?3．其解集在數(shù)軸上表示為【變式2】（2023下·北京東城·七年級北京市文匯中學?？计谀┙獠坏仁統(tǒng)+13【答案】y≤3，不等式的正整數(shù)解是1，2，3【分析】先去分母，然后去括號，再移項合并同類項，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1，寫出不等式的正整數(shù)解即可．【詳解】解：y+13去分母，得：2y+1去括號，得：2y+2?3y+3≥y?1，移項、合并同類項，得：?2y≥?6，兩邊都除以?2，得：y≤3，因為小于或等于3的正整數(shù)有1，2，3，所以不等式的正整數(shù)解是1，2，3．【點睛】本題主要考查了解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的一般步驟，準確計算．【變式3】（2023上·浙江湖州·八年級長興縣古城中學校聯(lián)考階段練習）已知關(guān)于x,y的方程組x+2y=?7+m2x+y=2m+4，若此方程組的解滿足x+y≥2，求m【答案】m≥3【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，先求出x+y=m?1，再根據(jù)x+y≥2即可求出．【詳解】解：x+2y=?7+m①①+②得，3x+3y=3m?3，∴x+y=m?1，∵x+y≥2，∴m?1≥2，∴m≥3．考點3：方程組與不等式綜合典例3：（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谥校┤絷P(guān)于x、y的方程組ax+y=3x+2y=1有整數(shù)解，且關(guān)于z的一元一次不等式3z+4>a有負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為【答案】?2【分析】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，先解二元一次方程組，根據(jù)方程組的解的情況求得a的值，再根據(jù)一元一次不等式的解的情況得到a的取值范圍，然后取公共a值即可．解答關(guān)鍵是正確求得a的取值范圍進而求得a值．【詳解】解：解方程組ax+y=3①①×2?②得：2a?1x=5將x=52a?1代入②中，得2y=2a?6∴方程組的解為x=5∵該方程組有整數(shù)解，∴2a?1為±1或±5，當2a?1=1即a=1，y=a?3當2a?1=?1即a=0，y=a?3當2a?1=5即a=3，y=a?3當2a?1=?5即a=?2，y=a?3∵關(guān)于z的一元一次不等式3z+4>a即z>a?4∴a?43<?1，則綜上，a=0或?2，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為?2+0=?2，故答案為：?2．【變式1】（2022下·陜西西安·八年級?？计谀╆P(guān)于x、y的方程組x+y=4x?y=2a的解滿足x<2y，則a的取值范圍為【答案】a<【分析】把a看做已知數(shù)表示出方程組的解，再代入已知不等式，求出a的取值范圍即可．【詳解】解：x+y=4①由①+②得：解得：x=2+a，將x=2+a代入①得：2+a+y=4，解得：y=2?a，∵x<2y，∴2+a<22?a解得：a<2∴a的取值范圍為a<2故答案為：a<2【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，解二元一次方程組，熟練掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023下·福建泉州·七年級校考期中）關(guān)于x、y的方程組2x+y=k?1x+2y=3k?2的解x、y滿足x?y≥?3，那么k的取值范圍是【答案】k≤2/2≥k【分析】先根據(jù)①?②，得x?y=?2k+1，再結(jié)合已知條件可得【詳解】2x+y=k?1①①?②，得∵x?y≥?3，∴?2k+1≥?3，解得k≤2，故答案為：k≤2．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解不等式，熟練掌握解不等式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023下·江西吉安·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x+y=4m?5x+2y=3m的解滿足不等式x?y>0，則m的取值范圍是【答案】m>5【分析】運用等式的基本性質(zhì)，①?②，得【詳解】解：2x+y=4m?5①?②∴m?5>0∴m>5．故答案為：m>5.【點睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，一元一次不等式的求解；理解等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點4：不等式的整數(shù)解問題典例4：（2023下·七年級課時練習）已知關(guān)于x，y的方程組x+y=?7?mx?y=1+3m的解滿足x為非正數(shù)，y(1)m的取值范圍是______；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當m為何整數(shù)時，不等式2mx+x<2m+1的解為x>1？【答案】(1)?2<m?3(2)?1【詳解】（1）?2<m?3（2）∵2m+1x<2m+1的解為x>1∴2m+1<0.∴m<?1又∵?2<m?3，∴?2<m<?1∴符合題意的整數(shù)m的值為?1.【變式1】（2023下·河北石家莊·九年級?？奸_學考試）整式13x?1

(1)當x=6時，求M的值；(2)若M的取值范圍如圖所示，求x的最大整數(shù)值．【答案】(1)?(2)?4【分析】（1）先去括號，合并同類項，再把字母的值代入化簡結(jié)果計算即可；（2）由題意得到M>1，根據(jù)（1）得到?16x+【詳解】（1）解：1==?當x=6時，原式=?=?即M的值為?1（2）解：數(shù)軸可知M的取值范圍為M>1，由（1）可知，即?1解得x<?3，∴x的最大整數(shù)值為?4．【點睛】此題考查整式加減中的化簡求值、求一元一次不等式的整數(shù)解等知識，熟練掌握整式加減的法則和一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x?5y=4m,(1)若方程組的解滿足x?y=6，求m的值．(2)若方程組的解滿足x+y<0，求滿足條件的整數(shù)m的最小值．【答案】(1)m=10(2)3【分析】（1）由①+②得8x?8y=4m+8，即可得到x?y=12m+1，則由題意得到1（2）由②?①得2x+2y=8?4m，則x+y=4?2m，根據(jù)x+y>0得得到4?2m>0，解不等式得到m>2，即可得到答案．【詳解】（1）解：3x?5y=4m①+②得，8x?8y=4m+8，整理得x?y=1由題知x?y=6，∴12解得m=10．（2）∵3x?5y=4m②-①得，2x+2y=8?4m，整理得x+y=4?2m，由題知x+y>0，∴4?2m>0，解得m>2∴整數(shù)m的最小值為【點睛】此題考查二元一次方程組的解法、一元一次不等式的整數(shù)解等知識，熟練掌握加減法和一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023下·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）已知不等式3x?2+5<4x?1+6的最小整數(shù)解為關(guān)于x的方程【答案】5【分析】解不等式求得它的解集，從而可以求得它的最小整數(shù)解，然后代入方程方程2x?xy=6，從而可以得到m的值．【詳解】解：33x?6+5<4x?4+63x?1<4x+23x?4x<2+1?x<3x>?3∴不等式的最小整數(shù)解為x=?2，把x=?2代入2x?xy=6得?4+2y=6，解得y=5，∴y的值為【點睛】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．【變式4】（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）若方程組3x+2y=m+12x+y=m?1的解滿足x<y，求滿足條件的正整數(shù)m【答案】1,2【分析】用含m的式子表示x，y，利用x<y得到不等式求出m的解集，寫出整數(shù)解．【詳解】解：解方程組3x+2y=m+12x+y=m?1得：x=m?3∵x<y∴m?3<5?m解得m<4，∴正整數(shù)m的值為1,2,3【點睛】本題考查解二元一次方程組和不等式，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．考點5：一元一次不等式解集應用典例5：（2022下·廣東汕頭·七年級統(tǒng)考期末）已知x=?2y=5是不等式kx+2y≤4的一個解，則整數(shù)k的最小值為（

A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】將不等式的解代入得出關(guān)于k的不等式，再求出解集，確定答案即可．【詳解】∵x=?2y=5是不等式kx+2y≤4∴?2k+10≤4，解得k≥3，∴整數(shù)k的最小值是故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式確定最小值，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的不等式組x?a<0,2x+3>0的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a的最小值為（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先解不等式組求得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)從而確定a的范圍，進而求得整數(shù)a最小值．【詳解】解：x?a<0①解①得x<a，解②得x>?3則不等式組的解集是?3∵解集中至少有5個整數(shù)解∴整數(shù)解為：-1,0,1,2,∴a＞整數(shù)a的最小值是故選C．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，確定a的范圍是本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·八年級統(tǒng)考課時練習）若12≤a≤3，6≤b≤63，則baA．21 B．2 C．12 D．126【答案】D【分析】要想使ba【詳解】要想使ba∵12≤a≤3∴ba的最大值是63故選：D．【點睛】本題主要考查分數(shù)的最大值，掌握分子越大，分母越小，分數(shù)值越大是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于xy的二元一次方程組x+2y=?3m+22x+y=4，給出下列說法：①若x與y互為相反數(shù)，則m=2；②若x+y>?32，則m的最大整數(shù)值為4；③若x=y，則m=?A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】解此題時可以解出二元一次方程組中x，y關(guān)于m的式子，然后依次判斷即可得出答案．【詳解】解：∵解方程組x+2y=?3m+22x+y=4得x=m+2y=?2m∴①x與y互為相反數(shù)，則x=-y，m+2=2mm=2，故①正確；②x+y>?3則m+2-2m=2-m>?m＜72，則m③x=y，則m+2=-2mm=?2故選：B．【點睛】此題考查的是二元一次方程組和不等式的性質(zhì)，求出m的值或取值范圍是解題的關(guān)鍵．考點6：不等式與幾何綜合典例6：（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）一根細鐵絲長20cm，小明想把它折成一個三角形，則他折成的三角形的最長的邊有可能是（

A．9cm B．10cm C．11cm【答案】A【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，設三角形三邊長是a、b、c，由三角形三邊關(guān)系定理得到a<b+c，則a<20?a，得到0<a<10，即可得到答案．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊．也考查了一元一次不等式的應用．【詳解】解：設三角形三邊長是a、b、c，∴a<b+c，∵三角形周長是20，∴a<20?a，∴0<a<10，∴三角形的最長的邊有可能是9cm故選：A．【變式1】（2022下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點P是射線ON上一動點（不與點O重合），∠O=30°，若△AOP為鈍角三角形，則∠A的取值范圍是（）A．0°<∠A<60° B．90°<∠A<180°C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130° D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°【答案】D【分析】當兩角的和小于90°或一個角大于90°時三角形是一個鈍角三角形，由此可求解．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，∵∠O=30°，∴當∠OAP與∠O的和小于90°時，三角形為鈍角三角形，則有0°<∠A<60°；當∠OAP大于90°時，此時三角形為鈍角三角形，則有90°<∠A<150°．故選：D．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應用，熟練掌握三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應用是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊△ABC中，P是邊AB上的一個動點（不與點A，B重合），則∠APC的度數(shù)可能是（

）A．130° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】連接PC．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠B=∠ACB=∠A=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠APC=∠B+∠PCB，得出∠APC的取值范圍，即可求解．【詳解】解：如圖，連接PC．∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∵∠APC=∠B+∠PCB，∠PCB<∠ACB=60°，∴60°<∠APC<120°，故選D．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠APC的取值范圍．【變式3】（2023上·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度AC=30m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A．0≤x≤5 B．x≥103 C．0≤x≤10【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形列出不等式25≤40?3x≤30即可解得．【詳解】根據(jù)題意和圖形可得，25≤40?3x≤30解得：103故選：D【點睛】此題考查了不等式的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．考點7：含絕對值不等式的問題典例7：（2022上·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）不等式|x|<1的解集是．【答案】?1<x<1/1>x>?1【分析】根據(jù)“|a|”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對應的點到原點的距離即可解答．【詳解】解：根據(jù)絕對值的幾何意義可得：“|x|<1”可理解為數(shù)x在數(shù)軸上對應的點到原點的距離小于1，不等式|x|<1的解集是?1<x<1．故答案為：?1<x<1．【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022下·浙江·七年級期中）能夠使不等式x?x1+x<0成立的x【答案】x＜-1【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可知：|x|-x≥0，當?shù)扔?時不符合題意，再由不等式的性質(zhì)兩個異號因式相乘的值小于0可求出x的取值范圍．【詳解】解：當x≥0時，|x|-x=x-x=0，于是（|x|-x）（1+x）=0，不滿足原式，故舍去x≥0；當x＜0時，|x|-x=-2x＞0，x應當要使（|x|-x）（1+x）＜0，滿足1+x＜0，即x＜-1，所以x的取值范圍是x＜-故答案為：x＜-【點睛】本題綜合考查了絕對值的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，有一定難度．【變式2】（2022下·浙江寧波·七年級?？计谀┮阎坏仁?2x?2?5?1>12a【答案】?5【分析】首先根據(jù)題意表示出不等式的解，然后根據(jù)x<1【詳解】∵1x?2x?21?a∴1?a>0，即∴x?2∴x?2<?∴x<?∵不等式的解是x<1∴x>∴?91?a+2=經(jīng)檢驗，a=?5是方程的解．故答案為：?5．【點睛】此題考查了一元一次不等式含參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出一元一次不等式的解．【變式3】（2022上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）當x時，|x﹣2|＝2﹣x．【答案】≤2【分析】由題意可知x﹣2為負數(shù)或0，進而解出不等式即可得出答案.【詳解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得x?2≤0，解得：x≤2.故答案為：≤2.【點睛】本題考查絕對值性質(zhì)和解不等式，熟練掌握絕對值性質(zhì)和解不等式相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.考點8：一元一次不等式的應用——銷售問題典例8：（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）電動平衡車運動靈活，轉(zhuǎn)向穩(wěn)定，純電力驅(qū)動，零排放，環(huán)保無污染，是新型的短途出行工具．某網(wǎng)絡銷售平臺銷售A，B兩種純電動平衡車共60臺，兩種平衡車的進價和售價如下表．進價售價A型14002000B型21002400設該網(wǎng)絡平臺購進A型平衡車x臺，這60臺平衡車可獲總利潤為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若A型平衡車的購進數(shù)量不超過B型平衡車購進數(shù)量的3倍，應如何安排進貨，才能使售完這批平衡車后獲利最大，并求出最大利潤．【答案】(1)y=300x+18000(2)購進A型平衡車45個，購進B型平衡車15個時，銷售完獲利最大，最大利潤為31500元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用．（1）設該工藝品店購進A型平衡車x個，則購進B型平衡車60?x個，根據(jù)總利潤=A型平衡車獲得的利潤+B型平衡車獲得的利潤，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)A型平衡車的進貨數(shù)量不超過B型平衡車進貨數(shù)量的3倍，列出不等式，求出x的范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最大利潤．【詳解】（1）解：設該工藝品店購進A型平衡車x個，則購進B型平衡車60?x個，由題意得：y=2000?1400∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=300x+18000；（2）解：設該工藝品店購進A型平衡車x個，則購進B型平衡車60?x個，由題意得，x≤360?x解得，x≤45，由（1）知，y=300x+18000，∵k=300>0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=45時，y有最大值，y最大值此時60?x=60?45=15，∴購進A型平衡車45個，購進B型平衡車15個時，銷售完獲利最大，最大利潤為31500元．【變式1】（2023上·浙江溫州·八年級校考期中）雙十一購物節(jié)期間，某商場對A，B兩種品牌的教學設備進行促銷活動，這兩種教學設備的進價和售價如下表所示：AB進價（萬元/套）0.81.2售價（萬元/套）1.52A產(chǎn)品按原售價打8折出售，B產(chǎn)品按原售價打9.5折出售，促銷活動中A產(chǎn)品的銷售量是B產(chǎn)品的2倍，若使得促銷獲利不少于65萬元，則B產(chǎn)品至少購進幾件？【答案】B產(chǎn)品至少購進44件．【分析】設B產(chǎn)品購進x件，則A產(chǎn)品購進2x件，根據(jù)促銷獲利不少于65萬元列出不等式，解不等式即可得到答案．此題考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)題意正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設B產(chǎn)品購進x件，則A產(chǎn)品購進2x件，則1.5×0.8?0.8?2x+解得x≥431∵x為整數(shù)，∴x取44，∴B產(chǎn)品至少購進44件．【變式2】（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習）“雙11”期間，某個體戶在淘寶網(wǎng)上購買某品牌A、B兩款羽絨服來銷售，若購買3件A，4件B，需支付2400元，若購買2件A，2件B，則需支付1400元．(1)求A、B兩款羽絨服在網(wǎng)上的售價分別是多少元?(2)若個體戶從淘寶網(wǎng)上購買A款羽絨服25件，按每件600元進行零售，銷售一段時間后，把剩下的羽絨服全部6折銷售完，若總獲利不低于3800元，求個體戶讓利銷售的羽絨服最多是多少件？【答案】(1)A款羽絨服在網(wǎng)上的售價是400元，B款羽絨服在網(wǎng)上的售價是300元(2)個體戶讓利銷售的羽絨服最多是5件【分析】（1）設A款羽絨服在網(wǎng)上的售價是x元，B款羽絨服在網(wǎng)上的售價是y元，根據(jù)題意列方程組并求解即可；（2）設個體戶讓利銷售的羽絨服是a件，則讓利銷售前共銷售(25?a)件，根據(jù)總獲利不低于3800元，列出不等式，求出最大整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設A款羽絨服在網(wǎng)上的售價是x元，B款羽絨服在網(wǎng)上的售價是y元，根據(jù)題意，可得3x+4y=24002x+2y=1400解得x=400y=300答：A款羽絨服在網(wǎng)上的售價是400元，B款羽絨服在網(wǎng)上的售價是300元；（2）設個體戶讓利銷售的羽絨服是a件，則讓利銷售前共銷售(25?a)件，根據(jù)題意，可得600(25?a)+600×60%解得a≤5，所以，a的最大整數(shù)解為5，答：個體戶讓利銷售的羽絨服最多是5件．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．【變式3】（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）應用題：哈爾濱經(jīng)緯手機賣場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機，這兩種手機的進價和售價如下表所示，手機賣場計劃購進兩種手機若干部，共需15.5萬元，預計全部售出后可獲利潤共2.1萬元．甲乙進價（元/部）40002500售價（元/部）43003000(1)經(jīng)緯手機賣場計劃購進甲、乙兩種手機各多少部？(2)通過市場調(diào)研，手機賣場決定在原計劃的基礎上，減少甲種手機的購進數(shù)量，增加乙種手機的購進數(shù)量．已知乙種手機增加的數(shù)量是甲種手機減少的數(shù)量的2倍，而且用于購進這兩種手機的總資金不超過16萬元，天耀手機賣場怎樣進貨，才能在手機全部售出后獲得最大的利潤？并求出最大利潤．【答案】(1)經(jīng)緯手機賣場計劃購進甲、乙兩種手機各20，30部；(2)當經(jīng)緯手機賣場購進甲種手機15部，乙種手機40部時，全部售出后獲利最大，最大利潤為2.45萬元；【分析】（1）設經(jīng)緯手機賣場計劃購進甲種手機x部，乙種手機y部，根據(jù)題意列方程即可求解；（2）設甲種手機減少a部，則乙種手機增加2a部，根據(jù)購進這兩種手機的總資金不超過16萬元，可求出a的取值范圍，設手機全部售出后獲得的利潤為W萬元，根據(jù)題意即可求解．【詳解】（1）解：設經(jīng)緯手機賣場計劃購進甲種手機x部，乙種手機y部，根據(jù)題意，得0.4x+0.25y=15.50.43?0.4x+0.3?0.25答：經(jīng)緯手機賣場計劃購進甲、乙兩種手機各20，30部；（2）解：設甲種手機減少a部，則乙種手機增加2a部，根據(jù)題意，得0.4(20?a)+0.25(30+2a)≤16，解得：a≤5；設手機全部售出后獲得的利潤為W萬元，根據(jù)題意，得W=(0.43?0.4)(20?a)+(0.3?0.25)(30+2a)=0.07a+2.1，∵0.07>0，∴W隨a的增大而增大，∴當a=5時，W有最大值，W最大答：當經(jīng)緯手機賣場購進甲種手機15部，乙種手機40部時，全部售出后獲利最大，最大利潤為2.45萬元；【點睛】本題考查二元一次方程的應用和不等式的應用，正確理清題意是關(guān)鍵．考點9：一元一次不等式的應用——分配問題典例9：（2022上·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）近期各校都在開展藝術(shù)節(jié)活動，使得演出服需求量大增．(1)一套演出服由一件外套和兩個道具構(gòu)成，工人師傅每人每天平均生產(chǎn)外套12件或道具18個．車間臨時派7個工人師傅趕工，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套．應該分配多少工人生產(chǎn)外套，多少工人生產(chǎn)道具？(2)704班需要演出服16套，如果租賃這批演出服x小時（x為正整數(shù)），有兩種付費方式：方式一：當0<x≤10時，每套演出服收取租金50元；當x>10時，超時部分這批演出服整體按每小時30元收費；方式二：當0<x≤15時，每套演出服收取租金60元；當x>15時，超時部分這批演出服整體按每小時20元收費．請你幫704班謀劃一下，如果根據(jù)租賃時間選擇省錢的租賃方式？【答案】(1)分配3個工人生產(chǎn)外套，4個工人生產(chǎn)道具(2)當0<x≤15時，選方式一；x=16時，方式一和方式二一樣；x>16時，選方式二【分析】（1）設分配x個工人生產(chǎn)外套，則7?x個工人生產(chǎn)道具，根據(jù)生產(chǎn)道具的總數(shù)量是生產(chǎn)外套總數(shù)量的2倍，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（2）分0<x≤10，x>10，0<x≤15，x>15四種情況考慮，當0<x≤10時，選擇方案一所需租金為800元；選擇方案二所需租金為960元，由800<960，可得出當0<x≤10時，選擇方式一更省錢；當10<x≤15時，選擇方案一所需租金為30x+500元，選擇方案二所需租金為960元，由500+30x=500+30×15=950<960，得出選擇方式一更省錢；當x>15時，選擇方案一所需租金為30x+500元，選擇方案二所需租金為20x+660元，綜上所述，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設分配x個工人生產(chǎn)外套，則7?x個工人生產(chǎn)道具，由題意可得2×12x=18×7?x解得：x=3，∴7?x=7?3=4，答：分配3個工人生產(chǎn)外套，4個工人生產(chǎn)道具．（2）解：方式一：當0<x≤10時，16×50=800元；當x>10時，16×50+30x?10方式二：當0<x≤15時，16×60=960元；當x>15時，16×60+20x?15令30x+500=960，解得：x=46令30x+500=20x+660，解得：x=16；∴當0<x≤10時，800<960，選擇方式一更省錢；∵當x=15時，500+30x=500+30×15=950<960元；∴當10<x≤15時，選擇方式一更省錢；∵當x=16時，500+30x=500+30×16=980，20x+660=20×16+660=980；∴當x=16時，選擇方式一和方式二均可，價錢一樣；∴當15<x<16時，選擇方式一更省錢，當x>16時，選方式二更省錢；綜上：當0<x≤15時，選方式一；x=16時，方式一和方式二一樣；x>16時，選方式二．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）分0<x≤10，10<x≤15，x>15三種情況，找出省錢的租賃方式．【變式1】（2022下·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）自發(fā)生新冠疫情以來，部分企業(yè)受到了不同程度的影響，為落實“保民生、促經(jīng)濟”政策，某玻璃制品銷售公司今年3月份調(diào)整了職工的月工資分配方案，調(diào)整后月工資由基本保障工資和計件獎勵工資兩部分組成（計件獎勵工資=銷售每件的獎勵金額×銷售的件數(shù)），下表是甲，乙兩位職工今年4月份的工資情況信息：職工甲乙月銷售件數(shù)（件）120160月工資60006400(1)求工資分配方案調(diào)整后職工的月基本保障工資和銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額各是多少元？(2)若職工丙今年5月份的工資不低于7000元，那么丙該月至少應銷售多少件產(chǎn)品？【答案】(1)4800元，10元(2)220件【分析】（1）設工資分配方案調(diào)整后職工的月基本保障工資為x元，銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額為y元，利用調(diào)整后月工資=基本保障工資+銷售每件的獎勵金額×銷售的件數(shù)，結(jié)合甲、乙兩位職工今年2月份的月銷售數(shù)量及月工資，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設丙該月應銷售m件產(chǎn)品，利用調(diào)整后月工資=基本保障工資+銷售每件的獎勵金額×銷售的件數(shù)，結(jié)合職工丙今年3月份的工資不低于7000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設工資分配方案調(diào)整后職工的月基本保障工資為x元，銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額為y元，依題意得：x+120y=6000x+160y=6400解得：x=4800答：工資分配方案調(diào)整后職工的月基本保障工資為4800元，銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額為10元．（2）設丙該月應銷售m件產(chǎn)品，依題意得：4800+10m≥7000，解得：m≥220.答：丙該月至少應銷售220件產(chǎn)品．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式2】（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┪沂性趧?chuàng)建省級衛(wèi)生文明城市建設中，對城內(nèi)的部分河道進行整治，現(xiàn)有一段長390米的河道整治任務由甲、乙兩個工程隊先后接力完成，甲工程隊每天整治18米，乙工程隊每天整治24米，共用時20天，求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？(1)小明、小華兩位同學提出的解題思路如下：①小明同學：設整治任務完成后單工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．根據(jù)題意，得x+y=____??②小華同學：設整治任務完成后，m表示____，n表示___；則可列方程組為m+n=2018m+24n=390(2)請從①②中任選一個解題思路，寫出完整的解答過程；(3)若要使工程總時間少于20天，應怎樣分配甲乙兩隊的工程量？【答案】(1)①360，x18(2)見解析(3)甲工程隊整治河道少于270米，或乙工程隊整治河道大于120米【分析】（1）①小明同學：設整治任務完成后，甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．根據(jù)甲、乙兩隊共完成120米的整治河道任務且共同時20天，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組；②小華同學：根據(jù)小華同學所列的方程組，找出m，n表示的意義；（2）任選一位同學的思路，解方程組即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)題意列出不等式即可求解．【詳解】（1）①

x+y=390x故答案為：360，x②m表示甲工程隊工作的天數(shù)；n表示乙工程隊工作的天數(shù)故答案為：甲工程隊工作的天數(shù)；乙工程隊工作的天數(shù)；（2）選擇①解：設整治任務完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．則x+y=390x解得x=270y=120經(jīng)檢驗，符合題意答：甲工程隊整治河道270米，乙工程隊整治河道120米．選擇②解：設甲工程隊工作的天數(shù)是m天，乙工程隊工作的天數(shù)是n天．則m+n=2018m+24n=390解得m=15n=5經(jīng)檢驗，符合題意甲整治的河道長度：15×18=270米；乙整治的河道長度：5×24=120米答：甲工程隊整治河道270米，乙工程隊整治河道120米．（3）解：設甲工程隊整治河道a米，乙工程隊整治河道390?a米，根據(jù)題意得出，a解得：a<270，∴甲工程隊整治河道少于270米，或乙工程隊整治河道大于120米【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022上·安徽滁州·八年級?？计谥校┠彻居蠥型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完，兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤(元)如下表：A型利潤B型利潤甲店200170乙店160150（1）設分配給甲店A型產(chǎn)品x件，這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤為W(元)，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（2）若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設計出來【答案】（1）W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）有三種分配方案，分別是：方案一：甲店A型產(chǎn)品38件，B型產(chǎn)品32件，乙店A型產(chǎn)品2件，B型產(chǎn)品28件；方案二：甲店A型產(chǎn)品39件，B型產(chǎn)品31件，乙店A型產(chǎn)品1件，B型產(chǎn)品29件；方案三：甲店A型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品30件，乙店A型產(chǎn)品0件，B型產(chǎn)品30件．【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（2）根據(jù)公司要求總利潤不低于17560元，可以得到x的取值范圍，然后根據(jù)x為整數(shù)，即可得到有多少種不同分配方案，并將各種方案設計出來．【詳解】解：由題意可得，W=200x+170（70?x）+160（40?x）+150（x?10）=20x+16800，x的取值范圍為：10≤x≤40，∴W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）∵公司要求總利潤不低于17560元，∴20x+16800≥17560，解得：x≥38，∵10≤x≤40，∴38≤x≤40，∵x為整數(shù)，∴x的取值為38，39，40，即共有三種方法，方案一：甲店A型產(chǎn)品38件，B型產(chǎn)品32件，乙店A型產(chǎn)品2件，B型產(chǎn)品28件；方案二：甲店A型產(chǎn)品39件，B型產(chǎn)品31件，乙店A型產(chǎn)品1件，B型產(chǎn)品29件；方案三：甲店A型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品30件，乙店A型產(chǎn)品0件，B型產(chǎn)品30件．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．同步一遍過一、單選題1．（2023下·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的不等式x+1<2a的解集是x<5，則a的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先解關(guān)于x的不等式，然后根據(jù)不等式的解集是x＜5，即可得到一個關(guān)于a的方程，從而求解．【詳解】解：∵x+1<2a，∴x<2a?1，∵解集是x<5，∴2a?1=5，∴a=3，故選：D．【點睛】本題考查了不等式的解集，正確解關(guān)于x的不等式是關(guān)鍵．2．（2023上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）不等式x+2≥1的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求不等式的解法解出x的取值范圍，并找出在數(shù)軸上的表示方法即可．【詳解】解不等式x+2≥1，得x≥?1，故答案選C．【點睛】本題考查求一元一次不等式得解集，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·七年級單元測試）如果2a?3x2+a>1是關(guān)于xA．x<?1 B．x>?1 C．x<?23 【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，可得x的指數(shù)等于1，可求得a的值，進而代入求得相應解集即可．【詳解】解：∵2a?3x2+a>1∴2+a=1，?解得：a=?1，?∴2a?3x2+a>1解得：x<?1．?故選：A【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的定義以及一元一次不等式的解法，關(guān)鍵要注意不等式的兩邊都除以一個負數(shù)，不等號的方向改變．4．（2023下·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）把不等式?3x+9>0的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先解不等式，再在數(shù)軸上表示其解集．【詳解】解：?3x+9>0，解不等式得到：x<3，∴不等式的解集為x<3，在數(shù)軸上表示如圖：，故選：B．【點睛】本題考查不等式解集在數(shù)軸上的表示，關(guān)鍵是要掌握解不等式，先將不等式的解集求出來，再在數(shù)軸上表示解集．5．（2023下·七年級課時練習）下列不等式中是一元一次不等式的是()．A．2(1＋y)＋y＞4y＋2 B．x2－2≥1C．1x+x≥3 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義作答．含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫一元一次不等式．【詳解】解：A、是一元一次不等式；B、未知數(shù)的次數(shù)是2，不符合定義；C、分母中含有未知數(shù)，所以不是一元一次不等式；D、是代數(shù)式?jīng)]有不等關(guān)系；故選A．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，掌握其特征是解決此題的關(guān)鍵6．（2023·江蘇宿遷·宿豫中學?？级＃┮阎P(guān)于x的二元一次方程組{3x+y=3m?5x?y=m?1，若x+y＞4，則A．m＞2 B．m＜4 C．m＞5 D．m＞6【答案】D【分析】用加減消元法求出二元一次方程組的解，再將x，y的值代入不等式中計算即可得．【詳解】解：3x+y=3m?5①①+②得：4x=4m?6，即x=2m?3①-②×3得：4y=?2，即y=?1根據(jù)x+y>4得：2m?32去分母得：2m?3?1>8，解得：m>6，故選D．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解不等式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點并正確計算．7．（2023下·海南?？凇て吣昙壭？茧A段練習）某工程隊計劃在10天內(nèi)修路6km，施工前2天修完1.2km后，計劃發(fā)生變化，準備提前2天完成修路任務，以后幾天內(nèi)平均每天至少要修路（

）A．0.6km B．0.8km C．0.9km D．1km【答案】B【分析】設以后幾天內(nèi)平均每天要修路xkm，根據(jù)題意可以列出不等式，1.2+（10-2-2）x≥6，解不等式即可．【詳解】解：設以后幾天內(nèi)平均每天要修路xkm，1.2+（10-2-2）x≥6解得，x≥0.8即以后幾天內(nèi)平均每天至少要修路0.8km.故選B.【點睛】本題考查一元一次不等式的應用—工程問題，解題的關(guān)鍵是明確工程問題的數(shù)量關(guān)系“工作量=工作效率×工作時間”，根據(jù)等量關(guān)系列出不等式．8．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）等腰三角形的周長為16cm且三邊均為整數(shù)，底邊可能的取值有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設底邊為xcm，根據(jù)題意得腰16?x2為整數(shù)，且x【詳解】設底邊為xcm，根據(jù)題意得腰16?x2∵能構(gòu)成三角形，∴x＜16﹣x，x＜8∴x可取2，4，6．故選：C．【點睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，利用不等式解決實際問題，設邊長時很重要，設腰長的話需要討論范圍，故設底邊較好，根據(jù)三邊關(guān)系就可以解答.9．（2023下·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）亮亮準備用自己今年的零花錢買一臺價值300元的英語學習機.現(xiàn)在他已存有45元,如果從現(xiàn)在起每月節(jié)省30元,設x個月后他存夠了所需錢數(shù),則x應滿足的關(guān)系式是（）A．30x?45≥300 B．30x+45≥300 C．30x?45≤300 D．30x+45≤300【答案】B【分析】此題中的不等關(guān)系：現(xiàn)在已存有45元，計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有300元．【詳解】解：x個月可以節(jié)省30x元，根據(jù)題意，得30x+45≥300．故選：B【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，抓住關(guān)鍵詞語，弄清不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學符號表示的不等式．10．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成2160個零件的任務，于是安排15名工人每人每天加工a個零件（a為整數(shù)），開工若干天后，其中3人外出培訓，若剩下的工人每人每天多加工2個零件，則不能按期完成這次任務，由此可知a的值至少為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】根據(jù)15名工人前期的工作量+12名工人后期的工作量<2160，列出不等式進行解答即可.【詳解】設原計劃m天完成，開工x天后3人外出培訓，則有15am=2160，得到am=144，由題意得15ax+12(a+2)(m-x)<2160，即：ax+4am+8m-8x<720，∵am=144，∴將其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144，∴ax+8m-8x<am，∴8(m-x)<a(m-x)，∵m>x，∴m-x>0，∴a>8，∴a至少為9，故選B.【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，有一定的難度，解題的關(guān)鍵在于靈活掌握設而不求的解題技巧.二、填空題11．（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達中學校?？计谀┤?x?y=1，且0<y<1，則x的取值范圍為．【答案】1【分析】先用x表示y，結(jié)合0<y<1，即可得到x的取值范圍；【詳解】解：由3x?y=1得：y=3x?1，又∵0<y<1，∴0<3x?1<1，解得：13故答案為：1【點睛】本題主要考查一元一次不等式的求法，能正確的利用不等式基本性質(zhì)進行變形是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023下·山西長治·七年級長治市第六中學校校考期末）已知△ABC是等腰三角形，它的底邊長為6cm，則它的腰長x的取值范圍是【答案】x>3【分析】根據(jù)等腰三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，△ABC是等腰三角形，它的底邊長為6cm，腰長為x∴x+x>6cm解得：x>3cm故答案為：x>3cm【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·廣東惠州·八年級惠州市惠陽區(qū)第一中學校考階段練習）如果將長度為7、a+5和15的三根線段首尾順次相接可以得到一個三角形，那么a的取值范圍是【答案】3<【分析】根據(jù)三角形邊的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系可得，a+5>15?7、a解得a>3，a∴3<a故答案為：3<a【點睛】本題考查的是三角形邊的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，解決本題的關(guān)鍵是掌握求解一元一次不等式的方法．14．（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級統(tǒng)考期末）不等式5x﹣1＞2x+5的解集為．【答案】x＞2【分析】移項，合并同類項，系數(shù)化為1即可得到答案．【詳解】5x﹣1＞2x+5，移項得：5x﹣2x＞5+1，合并同類項得：3x＞6，系數(shù)化為1得：x＞2，故不等式的解集為：x＞2，故答案為x＞2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的基本步驟．15．（2023·內(nèi)蒙古通遼·七年級校聯(lián)考期末）某超市為了促銷一種定價為3元的商品，采取下列方式優(yōu)惠銷售：若一次性購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分按原價八折付款．如果小明有30元錢，那么他最多可以購件．【答案】11【分析】購買5件需要15元，27元超過15元，則購買件數(shù)超過5件，設可以購買x件這樣的商品，根據(jù)：5件按原價付款數(shù)+超過5件的總錢數(shù)≤30，列出不等式求解即可得．【詳解】設可以購買x（x為整數(shù)）件這樣的商品．3×5+（x-5）×3×0.8≤30，解得x≤11.25，則最多可以購買該商品的件數(shù)是11，故答案是：11．【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用，關(guān)鍵是讀懂題意，找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，注意x只能為整數(shù)．16．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）若不等式(m?6)x>m?6，兩邊同除以(m?6)，得x<1，則m的取值范圍為．【答案】m<6【分析】由不等式的基本性質(zhì)知m-6＜0，據(jù)此可得答案．【詳解】解：若不等式(m?6)x>m?6，兩邊同除以(m?6)，得x<1，則m?6<0，解得m<6，故答案為：m<6．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)．三、解答題17．（2023下·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）解不等式：x4【答案】x≤?4，數(shù)軸見解析【分析】按照解一元一次不等式的步驟求不等式的解集，把解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：x去分母得，3x?4x?2去括號得，3x?4x+8≥12，移項得，3x?4x≥12?8，合并同類項得，?x≥4，系數(shù)化為1得，x≤?4，解集在數(shù)軸上表示出來如下：【點睛】此題考查了一元一次不等式的解法和在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·浙江溫州·八年級?？计谥校┙庀铝胁坏仁剑阉麄兊慕獗硎驹跀?shù)軸上．（1）4x-3≤5(x-1)（2）x?12【答案】（1）x≥2，見解析；（2）x＜1，見解析【分析】（1）先去括號，然后移項，合并同類項，把系數(shù)化1，最后把解集在數(shù)軸上表示出來即可．（2）去分母，去括號，然后移項，合并同類項，把系數(shù)化1，最后把解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：（1）去括號得：4x-3≤5x-5移項：4x-5x≤-5+3整理：-x≤-2把系數(shù)化1得：x≥2在數(shù)軸上表示如下：（2）去分母得：x－1＋2＞2x整理：x＜1在數(shù)軸上表示如下：【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的求解方法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法，熟練掌握是解題關(guān)鍵．19．（2023下·江蘇·七年級階段練習）（1）解方程組（用加減消元法）：2x?5y=?3?4x+y=?3（2）解不等式組3x?x≥21+2x【答案】（1）x=1y=1;（2）【分析】（1）①+②×5，即可消去x，然后將x代入①即可求出y；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．【詳解】解：（1）∵解方程組：2x?5y=?3①①+②×5解得x=1，把x=1代入x=1解得y=1，∴方程的解為x=1（2）3x?x≥2①由①得：x≥1，由②得：x＜4，則不等式組的解集為1≤x＜4.【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集等知識點，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程和能求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．20．（2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）“五月楊梅已滿林，初疑一顆值千金．”每年公歷6月是人們品味楊梅鮮酸的美好季節(jié)，某水果店經(jīng)銷甲乙兩地楊梅，兩次購進楊梅的情況如下表所示：進貨批次甲地楊梅質(zhì)量（單位：千克）乙地楊梅質(zhì)量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次120801520第二次601001360(1)求甲乙兩地的楊梅進價；(2)銷售完前兩次購進的楊梅后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲乙兩地楊梅共200千克，且投入的資金不超過1680元．將其中的m千克甲地楊梅和3m千克乙地楊梅按進價品嘗銷售，剩余的甲地楊梅以每千克8元、乙地楊梅以每千克13元的價格銷售．若第三次購進的200千克楊梅全部售出后，獲得的最大利潤不低于400元，求正整數(shù)m的最大值．【答案】(1)甲乙兩地的楊梅進價分別為6元/千克，10元/千克．(2)10【分析】（1）可設甲乙兩地的楊梅進價分別為x元/千克，y元/千克，根據(jù)總費用的等量關(guān)系，可列關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解即可得到答案．（2）可設第三次購進甲地楊梅x千克，根據(jù)投入的資金不超過1680元，可列關(guān)于x的一元一次不等式，求得x的取值范圍；寫出w利潤關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象特點，x的取值范圍，最大利潤不低于400元，可得關(guān)于m【詳解】（1）設甲乙兩地的楊梅進價分別為x元/千克，y元/千克．根據(jù)題意，得：120x+80y=152060x+100y=1360解得：x=6y=10經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意．答：甲乙兩地的楊梅進價分別為6元/千克，10元/千克．（2）設第三次購進甲地楊梅x千克，則購進乙地楊梅(200?x)千克．根據(jù)題意，得：6x+10(200?x)≤1680．解得：x≥80．根據(jù)題意，得：w利潤化簡，得：w利潤∵w利潤隨x∴當x=80時，w利潤有最大值，即w根據(jù)題意，得：520?11m≥400．解得：m≤120所以，正整數(shù)m的最大值為10．【點睛】本題主要考查列二元一次方程組和一元一次不等式解決實際問題，以及一次函數(shù)的應用．牢記列二元一次方程組和一元一次不等式解決實際問題的方法，以及一次函數(shù)圖象特點是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·七年級課時練習）已知：|2x?8|+5x?（1）當y>0時，求n的取值范圍；（2）當y<0時，求n的取值范圍．【答案】（1）n<20；（2）n>20【分析】根據(jù)任何數(shù)的絕對值與偶次方都是非負數(shù)，兩個非負數(shù)的和是0，則這兩個數(shù)都是0，即可得到關(guān)于x、y的方程組，求解代入即可得到一個關(guān)于n的不等式，從而即可得出答案．【詳解】解：∵|2x?8|+∴解得：x=4（1）當y>0時，即40?2n>0解得：n<20∴n的取值范圍為n<20；（2）當y<0時，即40?2n<0解得：n>20∴n的取值范圍為n>20．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)及解一元一次不等式，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．22．（2023下·江蘇鹽城·七年級階段練習）關(guān)于x，y的方程組x+2y=3k2x+y=?2k+1的解滿足x+y＞3（1）求k的取值范圍；（2）化簡|5k+1|﹣|4﹣5k|．【答案】(1)k>4【分析】（1）方程組兩方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范圍；（2）根據(jù)k的范圍確定出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義，去括號合并即可得到結(jié)果．【詳解】（1）x+2y=3k①2x+y=?2k+1②①+②得：3（x+y）=k+1，即x+y=k+13代入已知不等式得：k+13去分母得：5k+5＞9，即k>4（2）∵k>4∴5k+1＞0，4﹣5k＜0，則原式=5k+1+4﹣5k=5．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．23．（2023上·浙江·七年級期末）野生動物園出售的一次性使用門票，每張180元，為了吸引更多游客，新近推出購買“個人年卡”的售票活動（從購買日起，可供持有者使用一年）．年卡分A,B兩類：A類年卡每張1800元，持卡者每次進入公園無需再購買門票；B類年卡每張900元，持卡者進入公園時需再購買每次80元的門票．（1）某游客中一年進入該公園共有n次，如果不購買年票，則一年