3.3.3 導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造問題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

3.3.3導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造問題高考解讀

高考題中經(jīng)常出現(xiàn)指、對(duì)、冪的大小比較、解不等式等題目,這類題目的

命題形式以選擇題為主.解決這類題目常常結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn),構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),并結(jié)合

構(gòu)造后函數(shù)的各類性質(zhì),如單調(diào)性、奇偶性、周期性等解題,當(dāng)單調(diào)性不能直接得出時(shí),

通常需要利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,從而解決問題.高考溯源(2022新高考Ⅰ,7,5分)設(shè)a=0.1e0.1,b=

,c=-ln0.9,則

(

)A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.a<c<bC解析

因?yàn)閑x≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),有ex=x+1,所以當(dāng)x=-0.1時(shí),e-0.1>1-0.1=

,于是e0.1<

,a=0.1e0.1<

=b.設(shè)函數(shù)f(x)=xex+ln(1-x),則f'(x)=(x+1)ex-

=

.當(dāng)0<x<0.1時(shí),(1-x2)ex-1>(1-x2)(x+1)-1=x(1-x-x2)>0,所以f'(x)>0,f(x)在[0,0.1]上單調(diào)遞增,有f(0.1)>f(0)=0,即0.1e0.1+ln0.9>0,所以a>c.故c<a<b.高考仿真

(2024湖北武漢二模,7)設(shè)a=

,b=2ln

,c=

ln

,則a,b,c的大小關(guān)系是

(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.b<c<a

D.c<a<bB解析

由已知可得b=2ln

=ln

=ln

,c=

ln

=

ln

,若將

視為x,則在比較a,b的大小時(shí),可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-ln(1+sinx),因?yàn)閤≥sinx在R上恒成立,所以

>sin

,所以b=ln

<ln

,設(shè)g(x)=x-ln(x+1),x∈(0,1),則g'(x)=1-

=

>0,所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以g

>g(0)=0,即

>ln

>ln

,所以a>b.比較a,c時(shí)可構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-

ln(x+1),x∈(0,1),則h'(x)=1-

=

,當(dāng)x∈

時(shí),h'(x)<0,當(dāng)x∈

時(shí),h'(x)>0,所以h(x)=x-

ln(x+1)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,所以h

<h(0)=0,即

<

ln

=

ln

,所以a<c,所以b<a<c.故選B.高考變式1.將單純利用單調(diào)性改為綜合利用函數(shù)多種性質(zhì)典例1

(2025屆江蘇徐州睢寧高中階段練,7)已知函數(shù)f(x)=x2,則f

,f

,f

的大小關(guān)系為

(

)A.f

<f

<f

B.f

<f

<f

C.f

<f

<f

D.f

<f

<f

B解析

易證f(x)是偶函數(shù),f(x)在

上單調(diào)遞增,令g(x)=

,x>e,則g'(x)=

<0,故函數(shù)g(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,故g(e)>g(3)>g(4)>g(5),即

>

>

>

>0,而

=

,所以f

>f

>f

,所以f

<f

<f

.故選B.2.變具體函數(shù)為抽象函數(shù)典例2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且(x+1)f(x)+xf'(x)>0對(duì)x∈R恒成立,則下列函數(shù)在實(shí)

數(shù)集內(nèi)一定是增函數(shù)的是

(

)A.y=f(x)

B.y=xf(x)C.y=exf(x)

D.y=xexf(x)D解析

由已知(x+1)f(x)+xf'(x)>0可得,xf(x)+f(x)+xf'(x)>0,即x(f(x)+f'(x))+f(x)>0,由f(x)+f'(x)結(jié)構(gòu)

想到可構(gòu)造y=exf(x),從而想到構(gòu)造函數(shù)F(x)=xexf(x),則F'(x)=(x+1)exf(x)+xexf'(x)=ex[(x+1)f(x)+xf'(x)].(此處導(dǎo)函數(shù)中出現(xiàn)了與已知相同的結(jié)構(gòu))結(jié)合已知可得F'(x)>0,∴F(x)在R上單調(diào)遞增,故選D.歸納總結(jié)

抽象函數(shù)構(gòu)造的常見類型已知的不等式中所含結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)的方向xf'(x)-f(x)F(x)=

,F'(x)=

xf'(x)+f(x)F(x)=xf(x),F'(x)=f(x)+xf'(x)f(x)+f'(x)F(x)=exf(x),F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]f(x)-f'(x)F(x)=

,F'(x)=

xf'(x)+2f(x)F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)xf'(x)-2f(x)F(x)=

,F'(x)=

f(x)cosx+f'(x)sinxF(x)=f(x)sinx,F'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinxf'(x)sinx-f(x)cosxF(x)=

,F'(x)=

3.將普通構(gòu)造變式為指、對(duì)同構(gòu)典例3

(多選)(2024湖南名校第二次聯(lián)考,11)已知m,n∈(0,+∞),且m+lnm=

+

,n2en=-lnn,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.m=en

B.n=em

C.mn<en

D.mn≥enAC解析

由n2en=-lnn,得nen=enlnen=

ln

,(變形后等號(hào)兩側(cè)出現(xiàn)了相同的結(jié)構(gòu),可利用該結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù))因?yàn)?/p>

ln

>0,所以

>1,即0<n<1,則en>1,令f(x)=xlnx且x>1,所以由enlnen=

ln

得f(en)=f

,又因?yàn)閒'(x)=1+lnx>0,即f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以en=

,由m+lnm=

+

,得m+lnm=

+

=

+ln

,(左右結(jié)構(gòu)相同)又

>0,則

>1,令g(x)=x+lnx且x>0,則g'(x)=1+

>0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以m=

,即lnm=

.綜上,可知n是y=ex與y=

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),m是y=lnx與y=

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由于y=lnx與y=ex互為反函數(shù),所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且y=

的圖象也關(guān)于y=x對(duì)稱,如圖,

所以B(n,en),A(m,lnm)兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以m=en>1,且mn=nen=1,故mn<en=m.故選

AC.技巧