4.2 三角恒等變換 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)

4.2三角恒等變換考點(diǎn)三角恒等變換1.兩角和與差的三角函數(shù)公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(Sα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(Cα+β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(Cα-β)tan(α+β)=

;(Tα+β)tan(α-β)=

.(Tα-β)2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α)tan2α=

.(T2α)3.半角公式sin

=±

;cos

=±

;tan

=±

.4.輔助角公式asinα+bcosα=

sin(α+φ),其中cosφ=

,sinφ=

.5.降冪公式sin2α=

;cos2α=

.6.升冪公式1+cosα=2cos2

;1-cosα=2sin2

.7.公式的常用變形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ);tanαtanβ=1-

=

-1;sinαcosα=

sin2α.8.萬(wàn)能公式:sinα=

;cosα=

;tanα=

.9.其他常用變形:tan

=

=

.即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)

=

.

(

)(2)對(duì)任意α,β∈R,tan(α+β)=

都成立.

(

)(3)若sinx-

cosx=2sin(x-φ)且φ>0,則φ的最小值是

.

(

)2.cos15°cos45°-sin15°sin45°=

.3.若cosθ=-

,

<θ<π,則sin

=

.√××題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)原則

2.化簡(jiǎn)方法(1)異名化同名、異次化同次、異角化同角、弦切互化.(2)“1”的代換,三角公式的正用、逆用.典例1

(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2

cos

sinβ,則

(

)A.tan(α-β)=1

B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1

D.tan(α+β)=-1C解析

解法一:因?yàn)閟in(α+β)+cos(α+β)=2

cos

sinβ,所以

sin

=2

cos

sinβ,即sin

=2cos

sinβ,所以sin

cosβ+sinβcos

α+

=2cos

sinβ,所以sin

cosβ=sinβcos

,則tan

=tanβ,所以α+

=β+kπ,k∈Z,則α-β=-

+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=-1.解法二:由題意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.故選C.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問(wèn)條件變式)(2024江蘇南通如皋中學(xué)三模,6)已知0<β<α<

,sin(α-β)=

,tanα-tanβ=2,則sinαsinβ=

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

因?yàn)?<β<α<

,所以0<α-β<

,因?yàn)閟in(α-β)=

,所以cos(α-β)=

=

,又2=tanα-tanβ=

-

=

=

,(切化弦)所以cosαcosβ=

,因?yàn)閏os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

+sinαsinβ=

,所以sinαsinβ=

.故選B.題型二三角函數(shù)的求值角度1給角求值典例2計(jì)算

=

.-解析

(看角的差異,分子用升冪公式,去掉根號(hào),分母中含sin236°的項(xiàng)用降冪公式)=

=

=

=

=

(看函數(shù)名稱,異角化同角)=-

.歸納總結(jié)

給角求值的常用方法(1)化為特殊角的三角函數(shù)值;(2)化為正負(fù)相消的項(xiàng),消去求值;(3)化分子、分母,使其出現(xiàn)公約數(shù),然后約分求值.變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)(2024安徽六安一中三模,3)

的值為

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

=

=

=

.(化為特殊角的三角函數(shù)求值)故選A.角度2給值求值典例3已知cos

=

,sin

=-

,其中α∈

,β∈

,則

=

.-17解析

由α∈

,得

-α∈

,因?yàn)閏os

=

,所以sin

=-

,所以cosα=cos

=cos

cos

+sin

sin

=-

,所以sinα=

,所以tanα=-7.由β∈

,得

+β∈

,因?yàn)閟in

=-

,所以cos

=-

,所以sinβ=sin

=sin

cos

-cos

·sin

=

,所以cosβ=

,所以tanβ=

,所以

=-17.歸納總結(jié)

解給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵在于“變角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把待

求三角函數(shù)值的角用含已知角的式子表示出來(lái),求解時(shí)要注意角的范圍的討論.變式訓(xùn)練2-2

(關(guān)鍵元素變式)(2024浙江Z20名校聯(lián)盟聯(lián)考改編)已知α∈

,β∈

,若sin(α+β)=

,cosβ=

,則cosα=

.-解析

由α∈

,β∈

,得α+β∈

,而sin(α+β)=

,故α+β∈

,∴cos(α+β)=-

=-

,(求角的范圍,定余弦值的正負(fù))由cosβ=

,β∈

,可得sinβ=

,則cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=-

×

+

×

=-

.(運(yùn)用α=(α+β)-β,把待求三角函數(shù)值的角用已知角的式子表示出來(lái))角度3給值求角典例4

(2024安徽池州一中模擬,4)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=

,cosβ=

,則角2α+β=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

∵β∈(0,π),cosβ=

,∴β∈

,sinβ=

,tanβ=

,由tan(α+β)=

=

=

,解得tanα=

,∴α∈

,∴tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=

=

=1,∵2α+β∈(0,π),∴2α+β=

.故選D.歸納總結(jié)

“給值求角”問(wèn)題實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題,先求所求角的某一

三角函數(shù)值,再利用該三角函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍求得角.變式訓(xùn)練2-3

(多解法變式)(2024江蘇鹽城中學(xué)一模,6)已知tan(β-α)=

,tanα=-

,α,β∈(0,π),則2β-α的值是

(

)A.-

B.

C.

D.-

D解析

解法一:因?yàn)閠an(β-α)=

,tanα=-

<0,α,β∈(0,π),所以α∈

,tanβ=tan[(β-α)+α]=

=

∈(0,1),(定正切值的范圍,進(jìn)一步確定β的范圍)可知β∈

,則2β-α∈(-π,0),又因?yàn)閠an2β=

=

=

,所以tan(2β-α)=

=

=1