8.5.1 軌跡問題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

8.5.1軌跡問題高考解讀

軌跡問題在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高,一方面,求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將

“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”,將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”,通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性

質(zhì);另一方面,求軌跡方程培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想以及轉(zhuǎn)化與

化歸的思想.軌跡方程的探求主要有兩種類型,一種是曲線類型已知,需要根據(jù)條件判斷具體是哪類

曲線;另一種是曲線類型未知,該題型常用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參

法等.高考溯源1.常規(guī)曲線類型判斷(多選)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲線C:mx2+ny2=1.

(

)A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為

C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±

xD.若m=0,n>0,則C是兩條直線ACD解析

A.若m>n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為

+

=1,因?yàn)閙>n>0,所以0<

<

,所以此曲線表示橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上(把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,誰對(duì)應(yīng)的分母大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上),

所以A正確.B.若m=n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為x2+y2=

,所以此曲線表示圓,半徑為

,所以B不正確.C.若mn<0,則此曲線應(yīng)為雙曲線,mx2+ny2=0可化為y2=-

,即y=±

x,即雙曲線的漸近線方程為y=±

x,所以C正確.D.若m=0,n>0,則方程mx2+ny2=1可化為y2=

(x∈R),即y=±

,表示兩條直線,所以D正確.故選ACD.高考仿真

(多選)已知曲線C:

+

=1,則下列說法正確的是

(

)A.若C是橢圓,則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

B.若m<0,則C是雙曲線C.C不可能表示一個(gè)圓D.若m=1,則C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為

BC解析

由于m2+1-m=

+

>0,所以m2+1>m.對(duì)于A,當(dāng)m>0時(shí),C:

+

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,當(dāng)m<0時(shí),C是雙曲線,故B正確.對(duì)于C,因?yàn)閙2+1>m,所以C不可能表示一個(gè)圓,故C正確.對(duì)于D,m=1時(shí),C:

+y2=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且a=

,b=1,則c=1,故橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為a-c=

-1,故D錯(cuò)誤,故選BC.2.非常規(guī)曲線軌跡求解和判斷(多選)(2024新課標(biāo)Ⅰ,11,6分,難)設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型

可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定

直線x=a(a<0)的距離之積為4.則

(

)A.a=-2B.點(diǎn)(2

,0)在C上C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)(x0,y0)在C上時(shí),y0≤

ABD解析

對(duì)于A,因?yàn)辄c(diǎn)O在曲線上,所以點(diǎn)O到直線x=a(a<0)的距離為-a,而|OF|=2,所以-a·2=4,即

a=-2,故A正確;對(duì)于B,由題意可知曲線C的方程為(x+2)

=4,把點(diǎn)(2

,0)代入,滿足方程,故B正確;對(duì)于C,y2=

-(x-2)2,令f(x)=

-(x-2)2,x>0,則f'(x)=-

-2(x-2),則f(2)=1,f'(2)=-

<0,所以在x=2的左側(cè)必存在一個(gè)區(qū)間(2-ε,2)滿足f(x)>1,因此y的最大值一定大于1,故C錯(cuò)

誤;對(duì)于D,

=

-(x0-2)2≤

,x0>-2,則y0≤

,故D正確.故選ABD.一題多解

對(duì)于C,f'(x)=

,x>0,令g(x)=x3+4x2-16,x>0,則g'(x)=3x2+8x>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=-11<0,g(2)=8>0,所以存在x1∈(1,2),使g(x1)=0,即f'(x1)=0,所以f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,2)上單調(diào)遞減,故存在f(x)>f(2)=1,所以ymax>1,C錯(cuò)誤.高考仿真

(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C是到定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的距離之積

等于a2(a>0)的點(diǎn)的軌跡.若P(x0,y0)是曲線C上一點(diǎn),則下列說法中正確的有

(

)A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱B.x0的取值范圍是[-a,a]C.曲線C上有且僅有一點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|D.曲線C上所有的點(diǎn)P都在圓x2+y2=2a2上及其內(nèi)部ACD解析

設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則曲線C的方程為

·

=a2.A選項(xiàng),由P(x0,y0)是曲線C上一點(diǎn),知

·

=a2,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M(-x0,-y0),有

·

=

·

=a2,即M(-x0,-y0)在曲線C上,故A正確.B選項(xiàng),由a2=

·

≥

·

=|

-a2|,得0≤

≤2a2,∴-

a≤x0≤

a,故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若|PA|=|PB|,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,∴x0=0,將P(0,y0)代入方程,得

(

)2=a2,解得y0=0,故只有P是原點(diǎn)時(shí)滿足|PA|=|PB|,故C正確;D選項(xiàng),由

·

=a2,得(

+

+a2)2=a4+4a2

,又由

≤2a2得(

+

+a2)2≤9a4,∴

+

≤2a2,故D正確.故選ACD.高考變式1.直接法求軌跡方程典例1

(2024湖北重點(diǎn)高中三模,8)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是BC的

中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界),且tan∠APD=4tan∠EPB,則P的軌跡長(zhǎng)度為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DA⊥平面ABB1A1,CB⊥平面ABB1A1.如圖1,在Rt△PAD和Rt△PBE中,tan∠APD=

,tan∠EPB=

,∵tan∠APD=4tan∠EPB,BE=

BC=

AD,∴PA=

PB.在平面ABB1A1上,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以

,

的方向?yàn)閤,y軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2,則A(0,0),B(4,0),(將空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系,根據(jù)已知條件可用直接法求軌

跡)設(shè)P(x,y),則由|PA|=

|PB|可得

=

,化簡(jiǎn)可得

+y2=

,由于x≥0,y≥0,故P的軌跡是圓心為

,半徑為r=

的圓在第一象限(包括與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))的弧,

由于Q

,故∠QMA=

,因此點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

×

=

.故選D.技巧

直接法求軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系且易于直接表達(dá),那么只需把這些

關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式,就可得到曲線的方程.用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般步驟為

建系,設(shè)點(diǎn),列式,化簡(jiǎn),證明,最后的證明可以省略,但要注意“挖”與“補(bǔ)”.2.定義法求軌跡方程典例2

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn),且|AB|=|BC|=6,☉O'切直線l于點(diǎn)A,又過B、C作

☉O'異于l的兩切線,設(shè)這條兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.解析

設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切☉O'于D、E兩點(diǎn),連接O'D,O'E,由切線的性質(zhì)知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|BA|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由橢圓的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓(不含與x

軸的交點(diǎn)),以直線l為x軸,以線段BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系,如圖,可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

+

=1(y≠0).提醒

利用定義法求軌跡方程應(yīng)熟記各曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程典例3

(2024重慶名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,6)長(zhǎng)為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸

和y軸上滑動(dòng),則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)M的軌跡方程為

(

)A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=1D解析

設(shè)A(x1,0),B(0,y2),M(x,y),則有x+x1=0,y+0=2y2,即x1=-x,y2=

,由題意可得

+

=4,即(-x)2+

=4,即

+

=1.故選D.技巧

相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程有些問題中的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便于直接用等式列出,但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為

相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的,而相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的,這時(shí)可通過將相關(guān)點(diǎn)用未知點(diǎn)的

坐標(biāo)表示出來,通過相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.4.消參法求軌跡方程典例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿

足AO⊥BO.求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程.解析

設(shè)直線OA的斜率為k,則直線OA的方程為y=kx,由

解得A(k,k2).∵OA⊥O