新課改瘦專用2025版高考數(shù)學一輪復(fù)習第七章立體幾何第三節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)講義含解析

PAGEPAGE8第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)突破點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本學問])直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥beq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有多數(shù)條．()(3)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則EF∥平面BCD.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空題1．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是________________．答案：平行、相交或異面2．若直線a∩直線b＝A，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是____________________．解析：因為a∥α，∴a與平面α沒有公共點，若b?α，則A∈α，又A∈a，此種狀況不行能．∴b∥α或b與α相交．答案：b∥α或b與α相交3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．答案：平行eq\a\vs4\al([全析考法])考法一線面平行的判定[例1]如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點．求證：PQ∥平面ABCD.[證明]法一：如圖，取AE的中點G，連接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因為PG∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如圖，連接EQ并延長，與AD的延長線交于點H，連接BH.因為EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ?平面ABCD，BH?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[例2]如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥MO.又MO?平面BMD，AP?平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP?平面PAHG，∴AP∥GH.eq\a\vs4\al([方法技巧])線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、找尋比例式證明兩直線平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時須要經(jīng)過已知直線作協(xié)助平面來確定交線．eq\a\vs4\al([集訓沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點．證明：C1F∥平面ABE.證明：取AC的中點M，連接C1M，F(xiàn)M，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，而FM?平面ABE，AB?平面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中點，∴C1M∥AE，而C1M?平面ABE，AE?平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，又C1F?平面FMC1，故C1F∥平面ABE.2.eq\a\vs4\al([考法二])如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的隨意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.突破點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本學問])平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥beq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)假如一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()(2)若一個平面內(nèi)有多數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．()(3)假如兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()(4)若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、填空題1．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ.其中能推出α∥β的條件是________．(填上全部正確的序號)答案：②2．已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題：①a與β內(nèi)的全部直線平行；②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的隨意一條直線都不垂直．其中真命題的序號是________．解析：由面面平行和線面平行的性質(zhì)可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯誤．答案：②3.如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.解析：∵α∥β，∴CD∥AB，則eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)[典例]如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[證明]法一：應(yīng)用面面平行的判定定理證明因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，因為AF?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE，因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD，因為AB?平面DCE，所以AB∥平面DCE，因為AB∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.法二：利用兩個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.法三：利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC，又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[方法技巧]判定面面平行的4種方法(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)．[針對訓練]1．(2024·南昌模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA.∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).2．(2024·西安調(diào)研)如圖，在多面體ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)A∥DE，且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2.(1)若M為線段EF的中點，求證：CM∥平面ABF；(2)求多面體ABCDEF的體積．解：(1)證明：取AD的中點N，連接CN，MN，∵AD∥BC且AD＝2BC，∴AN∥BC且AN＝BC，∴四邊形ABCN為平行四邊形，∴CN∥AB.∵M是EF的中點，∴MN∥AF.又CN∩