專題1-1平行線三種解題模型（考題猜想考點(diǎn)透視+典例剖析+考點(diǎn)練兵）解析版

專題1-1平行線三種解題模型（考題猜想，考點(diǎn)透視+典例剖析+考點(diǎn)練兵）題型一：豬蹄模型豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個(gè)點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。如圖，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．思路1：過拐點(diǎn)作平行線過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小結(jié)

證明的方法還有很多，同學(xué)們可以多多嘗試。重點(diǎn)在于構(gòu)造平行線的三線八角，就可以得到經(jīng)典結(jié)論：豬蹄模型頂點(diǎn)在同一側(cè)的角之和等于頂點(diǎn)在另一側(cè)的角之和。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）結(jié)論：∠B+∠D=∠E步驟總結(jié)步驟一：過豬蹄（拐點(diǎn)）作平行線步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系【例1】．（2023春?贛縣區(qū)期末）【問題背景】：同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】：（1）如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接、，得到與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【類比遷移】：（2）請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，直線，若，，，求的度數(shù)；【靈活應(yīng)用】：（3）如圖3，直線，若，，則25度．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用豬腳模型即可解答；（2）過點(diǎn)作，利用豬腳模型可得：，，從而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而利用對(duì)頂角相等可得，然后利用豬腳模型可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1），理由：過點(diǎn)作，，，，，，；（2）過點(diǎn)作，由（1）可得：，，，由（1）可得：，，，，，的度數(shù)為；（3）如圖：，，，，，由（1）可得：，，故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．題型二：鉛筆模型一、“鉛筆”模型從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來，如下圖：那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。模型結(jié)論：∠B+∠E+∠D=360°二、模型證明如圖，若AB//CD，求證：∠B+∠E+∠D=360°證明一：如圖，過點(diǎn)E作FG//AB∵

AB//FG，AB//CD

∴

FG//CD∵

AB//FG∴∠BEF+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵FG//CD∴

∠D+∠DEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴

∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°證明二：如圖，連接BD，∵AB//CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴

∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴

∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°證明該模型結(jié)論的還有其他方法，這里就沒有全部寫出來，可以自行證明。從前面學(xué)過的豬蹄模型和這里的鉛筆頭模型我們都能看出，最簡(jiǎn)單的方法就是過點(diǎn)E作平行線，利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。三、豬蹄模型和鉛筆頭模型關(guān)系1、將豬蹄模型轉(zhuǎn)化為鉛筆頭模型ABEDC為豬蹄模型，F(xiàn)BEDG為鉛筆頭模型由豬蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED

∵∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED

∴

∠FBE+∠GDE+∠BED=360°2、將鉛筆頭模型轉(zhuǎn)化為豬蹄模型ABEDC為鉛筆頭模型，F(xiàn)BEDG為豬蹄模型由鉛筆頭模型得，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∵

∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°∴

∠FBE+∠GDE=∠BED【例2】（2023春?巴南區(qū)月考）已知直線，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)在直線和之間．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)在直線上，且，求證：；（3）如圖3，平分，平分，且．若，直接寫出的度數(shù)．【分析】（1）過點(diǎn)作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得即可得證．（2）由得出，結(jié)合即可得證．（3）由平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，如圖：，，，，．（2）證明：．，，，，，．（3）解：．，，，，平分，平分，，，又，，，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．題型三：鋸齒模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【例3】．（2022春?鐵東區(qū)校級(jí)月考）感知與填空：如圖①，直線．來證：．（1）閱讀下面的解答過程，請(qǐng)?zhí)钌线m當(dāng)?shù)睦碛桑C明：過點(diǎn)作直線（已知），（2）應(yīng)用與拓展：如圖②，直線．若，，，求的度數(shù)．（3）方法與實(shí)踐：如圖③，直線．若，，則度．【分析】（1）過點(diǎn)作直線，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行得出，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由，等量代換得出．（2）過點(diǎn)作，則，由感知與填空得，，即可得出結(jié)果．（3）設(shè)交于，，由感知與填空得，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）過點(diǎn)作直線，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（已知），，（兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），，（等量代換），故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；（2）過點(diǎn)作，則，如圖②所示：由（1）得：，，，，，，即的度數(shù)為；（3）設(shè)交于點(diǎn)，如圖③所示：，，，由感知與填空得：，，故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，，=（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后再計(jì)算即可.【詳解】

如圖，過C點(diǎn)作直線，，

，，，，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．如圖，直線，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作直線，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而即可求得．【詳解】解：如圖，作直線，，

∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，若直線，，，則的度數(shù)為．【答案】/150度【分析】如圖，先根據(jù)直線，得出，然后根據(jù)，得出，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在、之間，為，直線，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，，設(shè)，那么x，y，z的關(guān)系式為．

【答案】【分析】過作，延長(zhǎng)交于，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，代入求出即可．【詳解】解：過作，延長(zhǎng)交于，

則，即，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，題目比較好，難度適中．三、解答題6．（2023下·江蘇·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)，，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線及靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)解決問題．7．（2021下·新疆克拉瑪依·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180°【分析】（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，∵l1∥l2，∴A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，故答案是：360°；（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，∵l1∥l2，∴A3C∥A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2=180°+180°+180°=540°，故答案是：540°；（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，故答案是：720°；（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180°，故答案是：（n-1）180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵．8．（2021下·廣西賀州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容．（1）如圖（1）已知//，則．解：過點(diǎn)作直線//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如圖②，如果//，則（）【答案】（1）∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）360°【分析】（1）過點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB=∠B，繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；（2）過點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB+∠B=180°，繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【詳解】解：（1）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB．∴∠FEB=∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB，如圖．∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED+∠D=180°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵．9．（2021下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，定點(diǎn)，分別在直線，上，在平行線，之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)是平行線，之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，易得，，滿足的數(shù)量關(guān)系為；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系_________．（2）如圖3，，分別平分和，且點(diǎn)在左側(cè)．①若，則的度數(shù)為______；②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；③如圖4，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，以此類推，則與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）；（2）①130°；②，見解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）過點(diǎn)P作PHAB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義，平角的定義，運(yùn)用整體思想即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PMAB，則PMCD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案為：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分別平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF+23∠EQ2F＝360°，∠EPF+24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線后能求出各個(gè)角的度數(shù)，利用整體思想解決第（2）問是解此題的關(guān)鍵．10．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，連接A，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)E，則等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在射線上．與的平分線交于點(diǎn)E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)，請(qǐng)直接寫出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用角平分線的定義求出，即可求出答案；（2）過點(diǎn)E作，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義求出，即可得到答案；（3）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴；故答案為：90．（2）如圖2，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴；（3）①如圖3，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖4，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等．11．已知直線，點(diǎn)A，C分別在，上，點(diǎn)B在直線，之間，且．（1）如圖①，求證：．閱讀并將下列推理過程補(bǔ)齊完整：過點(diǎn)B作，因?yàn)?，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如圖②，點(diǎn)D，E在直線上，且，BE平分．求證：；（3）在（2）的條件下，如果的平分線BF與直線平行，試確定與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BG；平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)，可得，所以，，結(jié)合（1）即可進(jìn)行證明；（3）根據(jù)，，可得，根據(jù)平分，可得，結(jié)合（2）可得，中根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】（1）解