2025屆江西省多校聯(lián)考年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省多校聯(lián)考2025屆年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故的虛部為.故選:B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為或，，故.故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，展開得，化簡得，所以，解得，所以，所以.故選：C.4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】解法一：由題意，得恒成立，即恒成立，整理，得恒成立，所以，從而，故當(dāng)，，即時，取得最大值.解法二：由題意，得，解得，所以，故當(dāng)，即時，取得最大值.故選：D.5.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過且垂直于軸的直線與交于兩點，若為等邊三角形，則的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)的半焦距為，則直線的方程為，代入，解得，所以，因為為等邊三角形，所以，由雙曲線的定義知，即，所以，所以的離心率.故選：B.6.在中，角的對邊分別為，若的面積為，則的周長為（）A. B.11 C. D.【答案】A【解析】由及正弦定理，得，因為，且，所以，所以的面積為，解得，所以，由余弦定理，得，所以，所以的周長為.故選：A.7.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：.已知函數(shù)則的值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，，此時，或1；當(dāng)時，，此時0，或1；當(dāng)時，，此時，所以的值域為.故選：A.8.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，若三棱錐的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一（通法）：設(shè)分別為線段的中點，由，知為直角三角形的外接圓圓心；因為四邊形為正方形，所以為正方形外接圓的圓心；過分別作平面，平面的垂線交于點，則為三棱錐外接球的球心，即為外接球的半徑.取的中點，連接，則，可證點四點共面，因為，所以，則，又，所以，則，所以球的表面積為.解法二：如圖，過點作于點，因為平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，因為，所以，取的中點，則球心在平面內(nèi)的射影為，即平面，連接，則，過點作，交直線于點，則，因為，所以1，又，由余弦定理，得，設(shè)，則，故，由勾股定理，得，所以，解得，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過上一點作，垂足為點，若，則（）A. B.直線的斜率為C. D.點到軸的距離為【答案】ABD【解析】因為，所以，故A正確；因為，又，所以為等邊三角形，所以，如圖，若點在第一象限，，直線的傾斜角為；若點在第四象限，可得直線的傾斜角為.綜上，直線的斜率為，故B正確；的方程為，設(shè)與軸的交點為，在中，，所以，故C錯誤；由，得，又，所以點到軸的距離為，故D正確.故選：ABD.10.下列命題為真命題的是（）A.若隨機變量，且，則B.若隨機事件滿足，，則C.若隨機變量的分布列為，則D.若隨機變量，則當(dāng)取得最大值時，【答案】AC【解析】因為，，所以，，故A正確；因為為必然事件，所以，又與互斥，所以，所以，故B錯誤；因為的分布列為，所以，所以，解得，所以，令，則，兩式相減，得，所以，所以，故C正確；因為，所以，當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)取得最大值時，，故D錯誤.故選：AC.11.下面四個圖案中，能用如圖樣式的一組七巧板拼出來的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】給一組七巧板按如圖順序標(biāo)號，其中1與2是全等三角形，4與是全等三角形，再按如圖順序排列可得選項BCD中圖案，而A中最上面的等腰直角三角形尺寸太小，七巧板中沒有如此尺寸的三角形，無法用一組七巧板拼出.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題分，共分.12.的展開式中含項的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】1215【解析】展開式的通項公式，令，得，所以展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：121513.杜老師對本班學(xué)生在一模考試中的數(shù)學(xué)成績與語文成績進行統(tǒng)計，得到如下信息：隨機取一名學(xué)生，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為，語文成績優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)成績和語文成績均未達(dá)到優(yōu)秀的概率為，則該班學(xué)生在數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的條件下，語文成績也優(yōu)秀的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”為事件，“語文成績優(yōu)秀”為事件，則，且，所以，又，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】的定義域為，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.由題意得，所以，即，即，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.小明為了了解不同性別的觀眾對蛇年春晚小品類節(jié)目的喜歡情況，隨機選取了200名觀看蛇年春晚的觀眾，得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男性454590女性110合計80200（1）求；（2）在所有喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾中隨機選1人，記該觀眾是男性觀眾的概率為，求出的估計值；（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián)？附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.635787910828解：（1）由列聯(lián)表可知，.（2）由列聯(lián)表可知，喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾共計120人，其中男性有45人，則該觀眾是男性觀眾的概率的估計值為.（3）補全列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男性454590女性7535110合計12080200零假設(shè)為：性別因素與喜歡與否無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，可推斷不成立，即可以認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián).16.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求的通項公式；（3）已知，求數(shù)列的前項和，并證明：.（1）證明：（1）因為，所以當(dāng)時，，即，所以.當(dāng)時，，兩式相減，得，即，所以，又，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，，所以.（3）解：由（2），得，所以因為，所以，又，所以是遞增數(shù)列，所以，所以.17.已知橢圓的左?右焦點分別為，左頂點為，上頂點為，且是線段上靠近點的三等分點，的面積為.（1）求的方程；（2）過點作斜率不為零的直線交于兩點，證明：直線與直線的斜率之積為定值，并求出該定值.（1）解：由題意，得解得所以的方程為.（2）證明：由（1），得.因為直線的斜率不為0，故設(shè)直線，聯(lián)立消去并整理，得，顯然，該方程的判別式，設(shè)，則，又，所以的斜率分別為，所以所以直線與直線的斜率之積為定值.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的零點個數(shù)；（3）若有兩個極值點，證明：當(dāng)時，.（1）解：當(dāng)時，，所以，所以，所以曲線在點處的切線斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時，，定義域為，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在唯一的，使得.又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的零點個數(shù)為1.（3）證明：的定義域為，因為有兩個極值點，有兩個極值點，意味著有兩個不同正根.設(shè)，其導(dǎo)數(shù).若，，在遞增，不會有兩個正根.當(dāng)，令，得.在，遞增；在，遞減.要使有兩個正根，需，即，解得.所以當(dāng)時，有兩個極值點.所以，且，所以，所以，所以，當(dāng)時，，令，即證當(dāng)時，對恒成立.令，則.因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時，恒成立.19.如圖，四棱柱中，.（1）若四邊形為菱形，.①證明：平面；②若四邊形的面積為，證明：四棱柱的體積；（2）若，求點到平面的距離.（1）證明：①因為四邊形為菱形，所以，因為，所以，所以.又是的中點，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，在中，因為，從而，所以.又，所以，又平面，所以平面.②連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，從而與互相平分，又平面，所以點到平面的距離為，從而四棱錐的體積，因為三棱錐與三棱錐等底等高，所以；又四邊形為平行四邊形，所以，從而，所以，所以四棱柱的體積（2）解：因，所以，因為不共面，以作為一組基底，設(shè)平面的一個法向量為，則即化簡，得令，解得，所以，所以，，設(shè)點到平面的距離為，則.江西省多校聯(lián)考2025屆年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故的虛部為.故選:B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為或，，故.故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，展開得，化簡得，所以，解得，所以，所以.故選：C.4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】解法一：由題意，得恒成立，即恒成立，整理，得恒成立，所以，從而，故當(dāng)，，即時，取得最大值.解法二：由題意，得，解得，所以，故當(dāng)，即時，取得最大值.故選：D.5.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過且垂直于軸的直線與交于兩點，若為等邊三角形，則的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)的半焦距為，則直線的方程為，代入，解得，所以，因為為等邊三角形，所以，由雙曲線的定義知，即，所以，所以的離心率.故選：B.6.在中，角的對邊分別為，若的面積為，則的周長為（）A. B.11 C. D.【答案】A【解析】由及正弦定理，得，因為，且，所以，所以的面積為，解得，所以，由余弦定理，得，所以，所以的周長為.故選：A.7.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：.已知函數(shù)則的值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，，此時，或1；當(dāng)時，，此時0，或1；當(dāng)時，，此時，所以的值域為.故選：A.8.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，若三棱錐的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一（通法）：設(shè)分別為線段的中點，由，知為直角三角形的外接圓圓心；因為四邊形為正方形，所以為正方形外接圓的圓心；過分別作平面，平面的垂線交于點，則為三棱錐外接球的球心，即為外接球的半徑.取的中點，連接，則，可證點四點共面，因為，所以，則，又，所以，則，所以球的表面積為.解法二：如圖，過點作于點，因為平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，因為，所以，取的中點，則球心在平面內(nèi)的射影為，即平面，連接，則，過點作，交直線于點，則，因為，所以1，又，由余弦定理，得，設(shè)，則，故，由勾股定理，得，所以，解得，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過上一點作，垂足為點，若，則（）A. B.直線的斜率為C. D.點到軸的距離為【答案】ABD【解析】因為，所以，故A正確；因為，又，所以為等邊三角形，所以，如圖，若點在第一象限，，直線的傾斜角為；若點在第四象限，可得直線的傾斜角為.綜上，直線的斜率為，故B正確；的方程為，設(shè)與軸的交點為，在中，，所以，故C錯誤；由，得，又，所以點到軸的距離為，故D正確.故選：ABD.10.下列命題為真命題的是（）A.若隨機變量，且，則B.若隨機事件滿足，，則C.若隨機變量的分布列為，則D.若隨機變量，則當(dāng)取得最大值時，【答案】AC【解析】因為，，所以，，故A正確；因為為必然事件，所以，又與互斥，所以，所以，故B錯誤；因為的分布列為，所以，所以，解得，所以，令，則，兩式相減，得，所以，所以，故C正確；因為，所以，當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)取得最大值時，，故D錯誤.故選：AC.11.下面四個圖案中，能用如圖樣式的一組七巧板拼出來的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】給一組七巧板按如圖順序標(biāo)號，其中1與2是全等三角形，4與是全等三角形，再按如圖順序排列可得選項BCD中圖案，而A中最上面的等腰直角三角形尺寸太小，七巧板中沒有如此尺寸的三角形，無法用一組七巧板拼出.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題分，共分.12.的展開式中含項的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】1215【解析】展開式的通項公式，令，得，所以展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：121513.杜老師對本班學(xué)生在一模考試中的數(shù)學(xué)成績與語文成績進行統(tǒng)計，得到如下信息：隨機取一名學(xué)生，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為，語文成績優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)成績和語文成績均未達(dá)到優(yōu)秀的概率為，則該班學(xué)生在數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的條件下，語文成績也優(yōu)秀的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”為事件，“語文成績優(yōu)秀”為事件，則，且，所以，又，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】的定義域為，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.由題意得，所以，即，即，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.小明為了了解不同性別的觀眾對蛇年春晚小品類節(jié)目的喜歡情況，隨機選取了200名觀看蛇年春晚的觀眾，得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男性454590女性110合計80200（1）求；（2）在所有喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾中隨機選1人，記該觀眾是男性觀眾的概率為，求出的估計值；（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián)？附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.635787910828解：（1）由列聯(lián)表可知，.（2）由列聯(lián)表可知，喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾共計120人，其中男性有45人，則該觀眾是男性觀眾的概率的估計值為.（3）補全列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男性454590女性7535110合計12080200零假設(shè)為：性別因素與喜歡與否無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，可推斷不成立，即可以認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián).16.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求的通項公式；（3）已知，求數(shù)列的前項和，并證明：.（1）證明：（1）因為，所以當(dāng)時，，即，所以.當(dāng)時，，兩式相減，得，即，所以，又，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，，所以.（3）解：由（2），得，所以因為，所以，又，所以是遞增數(shù)列，所以，所以.17.已知橢圓的左?右焦點分別為，左頂點為，上頂點為，且是線段上靠近點的三等分點，的面積為.（1）求的方程；（2）過點作斜率不為零的直線交于兩點，證明：直線與直線的斜率之積為定值，并求出該定值.（1）解：由題意，得解得所以的方程為.（2）證明：由（1），得.因為直線的斜率不為0，故