2025屆陜西省商洛市高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省商洛市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.10 C. D.13【答案】A【解析】,所以.故選：A.2.已知為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于拋物線，，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，即，由拋物線的定義可得.故選：B.3.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則或，顯然集合、沒有包含關(guān)系，則A，B錯(cuò)誤；又，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4.某地為促進(jìn)消費(fèi)，向當(dāng)?shù)厥忻耠S機(jī)發(fā)放了面值10元、20元、50元的線下消費(fèi)滿減電子券，每位市民可以領(lǐng)取一張，且每筆消費(fèi)僅能使用一張．某支持使用該消費(fèi)券的大型商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)到某日使用了10元、20元、50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的數(shù)量之比為，若對(duì)這些賬單用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取一個(gè)容量為50的樣本，則樣本中使用了50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的份數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】B【解析】根據(jù)題意，使用50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單占總消費(fèi)賬單的：.所以抽取的樣本中，使用了50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的份數(shù)應(yīng)為：份.故選：B5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，橢圓的焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以該橢圓的離心率.故選：A6.若函數(shù)在上有極值，則的取值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值，所以在上有變號(hào)實(shí)根.因?yàn)椋栽谏嫌凶兲?hào)實(shí)根.因?yàn)?，所以，?故選：B7.已知是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，，且函?shù)在上為增函數(shù)，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，故，且，所以，，故選：D.8.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正三棱錐中，正的邊長(zhǎng)為，如下圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)檎忮F的側(cè)面積為，則，可得，所以，，，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，且，，設(shè)正三棱錐的外接球球心為，則在直線上，設(shè)球的半徑為，則，由勾股定理可得，即，解得，因此，該正三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.的值域?yàn)镃.是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】由，解得，，所以的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤.，，所以的值域?yàn)?，B正確.，所以是奇函數(shù)，C正確.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且.函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD.10.過點(diǎn)向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，則.設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入，整理得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.故選：AC11.數(shù)列滿足，，，…，，依此類推，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】根據(jù)規(guī)律可得，，；當(dāng)m的值每增加1時(shí)，的變化在內(nèi)，所以的值單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，正確.易得，所以，即，所以，錯(cuò)誤.若，則，，，，；記數(shù)列為1，2，3，5，…，則，.記，則；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.，正確.，要使得取最小值；則n為奇數(shù)，此時(shí)，正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______，______．【答案】①.3②.【解析】由，解得，則.故答案為：3；.13.已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】以圓心為原點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線的直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.14.設(shè)計(jì)一個(gè)五位的信息密碼，每位數(shù)字均在中選取，則含有數(shù)字、、，且、、都只出現(xiàn)一次的信息密碼有______個(gè)．【答案】【解析】先從個(gè)數(shù)位選擇個(gè)數(shù)位分別排、、，剩余的個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從、、、、、、中選擇，每個(gè)數(shù)位有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的信息碼的個(gè)數(shù)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，求外接圓的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)椤?，所以，，則有，故.（2）設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，，故，因此，外接圓的面積為.16.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，輸?shù)囊环皆谙乱痪之?dāng)裁判．已知各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第一局丙當(dāng)裁判．（1）若比賽進(jìn)行三局，求第三局甲不當(dāng)裁判的概率；（2）若有人獲勝兩局，則比賽結(jié)束，用表示比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）若比賽進(jìn)行三局，第三局甲不當(dāng)裁判，則第二局甲贏，第一局甲也贏，或者第一局甲輸，則甲第三局必定參加比賽，故所求概率為.（2）由題意可知，的可能取值有、、，若，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以，，若，則第二、三局均為丙贏，所以，，若，則前三局沒有人累計(jì)勝兩局，必須進(jìn)行第四局，第四局后無論勝負(fù)都有人累計(jì)獲勝兩局，所以，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，.17.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與相交于、兩點(diǎn)．①若的斜率為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；②若經(jīng)過點(diǎn)，且，求的方程．解：（1）由題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）①設(shè)點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，可得，則，即點(diǎn)的軌跡方程為；②易知點(diǎn)、，若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點(diǎn)，顯然，不合乎題意；若直線軸，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則；當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，所以，線段的中點(diǎn)為，若，則，，，所以，，解得.綜上所述，直線的方程為或或.18.如圖，在等腰梯形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，連接，．已知，，，為射線上一點(diǎn)．（1）若，證明：平面．（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求PF．（1）證明：在線段上取一點(diǎn)，使得，連接、，因?yàn)?，所以且，又，，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；?）解：在等腰梯形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，所以，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，所以，，平面，所以平面，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，直線的一個(gè)方向向量為，所以，解得或（舍去），所以.19.定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．（1）若函數(shù)和為“契合函數(shù)”，求的取值范圍．（2）已知函數(shù)和為“契合函數(shù)”且有兩個(gè)“契合點(diǎn)”．①求的取值范圍；②若，證明：．解：（1）由題意知：與的公共定義域?yàn)?，令，即，，令，若與為“契合函數(shù)”，則與有交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；大致圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)，即當(dāng)與為“契合函數(shù)”時(shí)，的取值范圍為.（2）①由題意知：與的公共定義域?yàn)椋?，則，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；大致圖象如下圖所示：令，則，由得：，在上單調(diào)遞增，又與為“契合函數(shù)”，與至少有一個(gè)交點(diǎn)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由①得：與的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且，，即，，，令，則由知：，，，整理可得：，，，令，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，，即.陜西省商洛市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.10 C. D.13【答案】A【解析】,所以.故選：A.2.已知為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于拋物線，，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，即，由拋物線的定義可得.故選：B.3.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則或，顯然集合、沒有包含關(guān)系，則A，B錯(cuò)誤；又，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4.某地為促進(jìn)消費(fèi)，向當(dāng)?shù)厥忻耠S機(jī)發(fā)放了面值10元、20元、50元的線下消費(fèi)滿減電子券，每位市民可以領(lǐng)取一張，且每筆消費(fèi)僅能使用一張．某支持使用該消費(fèi)券的大型商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)到某日使用了10元、20元、50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的數(shù)量之比為，若對(duì)這些賬單用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取一個(gè)容量為50的樣本，則樣本中使用了50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的份數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】B【解析】根據(jù)題意，使用50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單占總消費(fèi)賬單的：.所以抽取的樣本中，使用了50元消費(fèi)券的消費(fèi)賬單的份數(shù)應(yīng)為：份.故選：B5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，橢圓的焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以該橢圓的離心率.故選：A6.若函數(shù)在上有極值，則的取值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值，所以在上有變號(hào)實(shí)根.因?yàn)椋栽谏嫌凶兲?hào)實(shí)根.因?yàn)?，所以，?故選：B7.已知是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以，，且函?shù)在上為增函數(shù)，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，故，且，所以，，故選：D.8.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正三棱錐中，正的邊長(zhǎng)為，如下圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)檎忮F的側(cè)面積為，則，可得，所以，，，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，且，，設(shè)正三棱錐的外接球球心為，則在直線上，設(shè)球的半徑為，則，由勾股定理可得，即，解得，因此，該正三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.的值域?yàn)镃.是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】由，解得，，所以的定義域?yàn)椋珹錯(cuò)誤.，，所以的值域?yàn)?，B正確.，所以是奇函數(shù)，C正確.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且.函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD.10.過點(diǎn)向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，則.設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入，整理得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.故選：AC11.數(shù)列滿足，，，…，，依此類推，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】根據(jù)規(guī)律可得，，；當(dāng)m的值每增加1時(shí)，的變化在內(nèi)，所以的值單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，正確.易得，所以，即，所以，錯(cuò)誤.若，則，，，，；記數(shù)列為1，2，3，5，…，則，.記，則；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.，正確.，要使得取最小值；則n為奇數(shù)，此時(shí)，正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______，______．【答案】①.3②.【解析】由，解得，則.故答案為：3；.13.已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】以圓心為原點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線的直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.14.設(shè)計(jì)一個(gè)五位的信息密碼，每位數(shù)字均在中選取，則含有數(shù)字、、，且、、都只出現(xiàn)一次的信息密碼有______個(gè)．【答案】【解析】先從個(gè)數(shù)位選擇個(gè)數(shù)位分別排、、，剩余的個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從、、、、、、中選擇，每個(gè)數(shù)位有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的信息碼的個(gè)數(shù)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，求外接圓的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)?、，所以，，則有，故.（2）設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，，故，因此，外接圓的面積為.16.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，輸?shù)囊环皆谙乱痪之?dāng)裁判．已知各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第一局丙當(dāng)裁判．（1）若比賽進(jìn)行三局，求第三局甲不當(dāng)裁判的概率；（2）若有人獲勝兩局，則比賽結(jié)束，用表示比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）若比賽進(jìn)行三局，第三局甲不當(dāng)裁判，則第二局甲贏，第一局甲也贏，或者第一局甲輸，則甲第三局必定參加比賽，故所求概率為.（2）由題意可知，的可能取值有、、，若，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以，，若，則第二、三局均為丙贏，所以，，若，則前三局沒有人累計(jì)勝兩局，必須進(jìn)行第四局，第四局后無論勝負(fù)都有人累計(jì)獲勝兩局，所以，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，.17.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與相交于、兩點(diǎn)．①若的斜率為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；②若經(jīng)過點(diǎn)，且，求的方程．解：（1）由題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）①設(shè)點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，可得，則，即點(diǎn)的軌跡方程為；②易知點(diǎn)、，若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點(diǎn)，顯然，不合乎題意；若直線軸，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則；當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，所以，線段的中點(diǎn)為，若，則，，，所以，，解得.綜上所述，直線的方程為或或.18.如圖，在等腰梯形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位