2025屆天津市部分區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以或，所以.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以，反之，若，則，當(dāng)時，沒有意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.下列說法中，不正確的是（）A.在1，3，6，7，9，10，12，15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為8B.分類變量A與B的統(tǒng)計量越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大C.根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的經(jīng)驗回歸方程為，若，，，則D.兩個模型中，殘差平方和越大的模型擬合的效果越好【答案】D【解析】對A：因為，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為：，故A選項內(nèi)容正確；對B：根據(jù)統(tǒng)計量意義可知，B選項內(nèi)容正確；對C：根據(jù)線性回歸方程必過得：，故C選項內(nèi)容正確；對D：因為殘差平方和越小，模型擬合的效果越好，故D選項內(nèi)容錯誤.故選：D4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，即，又，，所以.故選：B5.已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對A：平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯誤；對B：若，，則或，故B錯誤；對C：根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；對D：若，，則直線與平面的位置關(guān)系不確定，故D錯誤.故選：C6.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則的值是（）A. B. C.9 D.16【答案】A【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故選：A7.函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，令，依題意與在上有兩個交點，由，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且；所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C8.已知，，為球的球面上的三個點，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為的面積為，設(shè)的半徑為，則，解得，又，所以等邊三角形，則，所以，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的表面積.故選：C9.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，上一點關(guān)于一條漸近線的對稱點恰為右焦點．若是上的一個動點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與漸近線的交點為，則為的中點，且，又為的中點，所以，即，所以，要使，則點在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，根據(jù)對稱性可知，即的取值范圍是.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.ｉ是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________________.【答案】【解析】故答案為11.在的展開式中，常數(shù)項為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由的展開式的通項為，令，，則，即在的展開式中，常數(shù)項為，故答案為：.12.已知圓的方程為．當(dāng)圓的面積最小時，直線與圓相切，則的值為_______．【答案】【解析】依題意，圓的方程為，所以，所以圓心為，半徑為，所以當(dāng)時，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為，此時圓心到直線的距離為或（舍去）.故答案為：13.某中學(xué)組建了，，，，五個不同的社團(tuán)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須且只能參加一個社團(tuán)．假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團(tuán)的選擇是等可能的，且結(jié)果互不影響．記事件為“甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)”，則_______；若甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率為________．【答案】①.②.【解析】依題意甲、乙、丙三名學(xué)生選擇社團(tuán)的可能結(jié)果有個，若甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)，則有種選擇，所以；甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)，則有種選擇，所以甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率.故答案為：；14.在邊長為的菱形中，，且，，則_______；若為線段上的動點，則的最小值為_______．【答案】①.②.【解析】因為，所以，所以，又且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，由，所以，所以，因為為線段上的動點，設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)時取得最小值，且最小值為.故答案為：；15.已知，函數(shù)若關(guān)于的方程，恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，fx可得當(dāng)時，即，所以；當(dāng)時，，所以，令，，則m'x=2-所以在上單調(diào)遞增，所以mx>m1所以，所以a=x+1,x≤1令gx=x+1,x≤12①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且；②當(dāng)時，則，令，則，所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，因為，所以g12=且當(dāng)時，，所以；所以，即的取值范圍是.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.（2）由正弦定理，所以；（3）由余弦定理，所以，，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點P到平面的距離．（1）證明：因為底面，底面，所以，又因為平面，所以平面，即為平面的一個法向量，如圖以點為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由為棱的中點，得，向量，，故，又平面，所以平面；（2）解：因為，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）因為，所以點P到平面的距離，即點P到平面的距離為.18.已知橢圓的左焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓相交于M，N兩點，若直線：上存在點Q，使得是以為底邊的等腰直角三角形，求直線的方程．解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，橢圓的左焦點為，即，橢圓的短軸長為，，即，，橢圓的方程為；（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率不存在時，：，此時M，N分別為橢圓的上、下頂點，不妨設(shè)，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，不合題意；當(dāng)直線的斜率為時，：，此時M，N分別為橢圓的左、右頂點，不妨設(shè)，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)：，由，得，，，，設(shè)的垂直平分線方程為，由，得，是以為底邊的等腰直角三角形，，，化簡得，，或(舍)，：，綜上，直線的方程為或.19.已知為等差數(shù)列，其前項和為，滿足，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）記，．證明：是等差數(shù)列；（ii）求．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，所以，解得，所以；（2）（i）由（1）可知，又其中，所以其中，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，所以，則，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（ii）令，而，，所以.20.已知函數(shù)，，其中．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)是函數(shù)的極小值點，且，證明：．（1）解：因為，所以，則，而，則，所以在點處的切線方程是.（2）解：由題意，定義域為，則，因為，所以當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增；若，即時在上單調(diào)遞增，則，不符合題意；若，即時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不符合題意；若，即時，上單調(diào)遞減，則，解得，不符合題意；綜上可得，不存在這樣的正實數(shù)，使得在區(qū)間上的最小值為；（3）證明：依題意，，定義域為，則，因為是函數(shù)的極小值點，所以，所以，又，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時，，則由得，令，則，當(dāng)在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”,即，，所以，所以，，所以，所以，得證.天津市部分區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以或，所以.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以，反之，若，則，當(dāng)時，沒有意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.下列說法中，不正確的是（）A.在1，3，6，7，9，10，12，15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為8B.分類變量A與B的統(tǒng)計量越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大C.根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的經(jīng)驗回歸方程為，若，，，則D.兩個模型中，殘差平方和越大的模型擬合的效果越好【答案】D【解析】對A：因為，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為：，故A選項內(nèi)容正確；對B：根據(jù)統(tǒng)計量意義可知，B選項內(nèi)容正確；對C：根據(jù)線性回歸方程必過得：，故C選項內(nèi)容正確；對D：因為殘差平方和越小，模型擬合的效果越好，故D選項內(nèi)容錯誤.故選：D4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，即，又，，所以.故選：B5.已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對A：平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯誤；對B：若，，則或，故B錯誤；對C：根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；對D：若，，則直線與平面的位置關(guān)系不確定，故D錯誤.故選：C6.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則的值是（）A. B. C.9 D.16【答案】A【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故選：A7.函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，令，依題意與在上有兩個交點，由，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且；所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C8.已知，，為球的球面上的三個點，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為的面積為，設(shè)的半徑為，則，解得，又，所以等邊三角形，則，所以，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的表面積.故選：C9.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，上一點關(guān)于一條漸近線的對稱點恰為右焦點．若是上的一個動點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與漸近線的交點為，則為的中點，且，又為的中點，所以，即，所以，要使，則點在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，根據(jù)對稱性可知，即的取值范圍是.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.ｉ是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________________.【答案】【解析】故答案為11.在的展開式中，常數(shù)項為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由的展開式的通項為，令，，則，即在的展開式中，常數(shù)項為，故答案為：.12.已知圓的方程為．當(dāng)圓的面積最小時，直線與圓相切，則的值為_______．【答案】【解析】依題意，圓的方程為，所以，所以圓心為，半徑為，所以當(dāng)時，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為，此時圓心到直線的距離為或（舍去）.故答案為：13.某中學(xué)組建了，，，，五個不同的社團(tuán)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須且只能參加一個社團(tuán)．假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團(tuán)的選擇是等可能的，且結(jié)果互不影響．記事件為“甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)”，則_______；若甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率為________．【答案】①.②.【解析】依題意甲、乙、丙三名學(xué)生選擇社團(tuán)的可能結(jié)果有個，若甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)，則有種選擇，所以；甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)，則有種選擇，所以甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率.故答案為：；14.在邊長為的菱形中，，且，，則_______；若為線段上的動點，則的最小值為_______．【答案】①.②.【解析】因為，所以，所以，又且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，由，所以，所以，因為為線段上的動點，設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)時取得最小值，且最小值為.故答案為：；15.已知，函數(shù)若關(guān)于的方程，恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，fx可得當(dāng)時，即，所以；當(dāng)時，，所以，令，，則m'x=2-所以在上單調(diào)遞增，所以mx>m1所以，所以a=x+1,x≤1令gx=x+1,x≤12①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且；②當(dāng)時，則，令，則，所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，因為，所以g12=且當(dāng)時，，所以；所以，即的取值范圍是.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.（2）由正弦定理，所以；（3）由余弦定理，所以，，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點P到平面的距離．（1）證明：因為底面，底面，所以，又因為平面，所以平面，即為平面的一個法向量，如圖以點為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由為棱的中點，得，向量，，故，又平面，所以平面；（2）解：因為，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）因為，所以點P到平面的距離，即點P到平面的距離為.18.已知橢圓的左焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓相交于M，N兩點，若直線：上存在點Q，使得是以為底邊的等腰直角三角形，求直線的方程．解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，橢圓的左焦點為，即，橢圓的短軸長為，，即，，橢圓的方程為；（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率不存在時，：，此時M，N分別為橢圓的上、下