2025屆天津市河?xùn)|區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1天津市河?xùn)|區(qū)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】且所以，故選：C2.已知為正數(shù)，則“”是“”的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B,D.由題得，所以排除選項(xiàng)C.故選A4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，又，因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，且，又因?yàn)椋?，所以，即，所以，，即．故選：C．5.下列說法中，正確的有（）①回歸直線恒過點(diǎn)，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)；②根據(jù)列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，而，則有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即有的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；③是用來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)可以推斷兩類變量不相關(guān)；④某項(xiàng)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】回歸直線的性質(zhì)是恒過樣本點(diǎn)的中心，但不一定會(huì)經(jīng)過任何一個(gè)具體的樣本點(diǎn).所以說法①錯(cuò)誤.

在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，我們先提出一個(gè)假設(shè).當(dāng)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，且時(shí)，這意味著在假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)這樣的值是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，但現(xiàn)在卻發(fā)生了，所以我們有理由拒絕假設(shè)，從而有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，同時(shí)也就意味著有的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以說法②正確.

是用于判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量.當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)，只能說明我們有較小的把握認(rèn)為兩類變量相關(guān)，但不能就此推斷兩類變量不相關(guān).因?yàn)榧词怪敌?，也有可能是由于樣本量等因素的影響，不能絕對地得出兩類變量無關(guān)的結(jié)論，所以說法③錯(cuò)誤.

已知某項(xiàng)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，正態(tài)分布具有對稱性，其對稱軸為.又因?yàn)椋@表明與關(guān)于對稱軸對稱.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，與之和為，已知，那么，所以說法④正確.

故選：B.6.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，令，得，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，當(dāng)時(shí)，，即，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，若的周長為，則（）A.2 B. C.8 D.4【答案】A【解析】由題知，雙曲線的漸近線為，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由得兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，因?yàn)榈闹荛L為，所以，解得.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.9.已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程，有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的圖像如下圖所示：根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；且時(shí)取最大值2，在時(shí)取最小值0，是部分圖像的漸近線.令，則關(guān)于的方程即可寫成此時(shí)關(guān)于的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（其他情況不合題意），設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二?填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上.10.已知復(fù)數(shù)，則___________.【答案】【解析】因，所以，所以；故答案為：11.在的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.12.若直線：被圓：截得線段的長為6，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】24【解析】把圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：，所以圓心，半徑，又直線：，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€：被圓：截得線段的長為6，根據(jù)勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案為：24.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為:.14.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則當(dāng)已知該家庭個(gè)小孩中有女孩的條件下，個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩的概率為_____.【答案】【解析】記事件該家庭個(gè)小孩中有女孩，事件該家庭中個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩，則，，由條件概率公式可得.故答案為：.15.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，則______________；若的面積為，則的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】∵，又，∴，∴，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即，，的面積為，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：,.三?解答題：本題共5個(gè)小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在鈍角中，角，，所對各邊分別為，，，已知，，．（1）求邊長和角的大?。唬?）求的值．解：（1）在中，由余弦定理得：，解得，，由正弦定理得：，由得，又是鈍角三角形，則A為鈍角，于是得，所以，.（2）由（1）知，，，所以.17.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的大?。唬?）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置.（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由，則，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，且，因?yàn)樵谡叫沃?，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：由，則，在正方形中，，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的所成角為，則，由，則.（3）解：由題意作圖如下：設(shè)，則，可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，整理可得，解得，即，由，則，即，故點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn).18.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限.與延長線交于點(diǎn)，若的面積是面積的倍，求的值.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得解得，，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且，如圖所示：由的面積是面積的3倍，可得，所以，從而，所以，即.易知直線的方程為：，即.由消去，可得.由方程組消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.所以，.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求；（3）若對于數(shù)列，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）在等差數(shù)列中，，而，解得，公差，則；設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由，得，即，解得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，則，兩式相減得，因此，所以.（3）依題意，數(shù)列：項(xiàng)為前的總項(xiàng)數(shù)為，數(shù)列是遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的前項(xiàng)中，有數(shù)列的前項(xiàng)，有個(gè)，所以.20.已知函數(shù)，其中，（1）若，（i）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．（2）證明：當(dāng)時(shí)，存在直線，使直線是曲線切線，也是曲線的切線．解：（1）（i）由時(shí)，且，則，令，即，令，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（ii），兩側(cè)同時(shí)取對數(shù)，有，設(shè)函數(shù)，則，令，有，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以，又，且時(shí)，所以與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件為，即，所以的取值范圍為．（2）曲線在處的切線．曲線在處的切線．要證當(dāng)時(shí)，存在直線是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時(shí)，存在，使得和重合．只需證明當(dāng)時(shí)，①，②兩式有解，由①得：，代入②得：③，因此，只需證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程③存在實(shí)數(shù)解．設(shè)，即證明當(dāng)時(shí)存在零點(diǎn)．對于：時(shí)，且時(shí)單調(diào)遞減，又，故存唯一，使．由此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值．因?yàn)椋?，下面證明存在實(shí)數(shù)，使得．令且，則，所以在上遞增，故，即，當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，存在實(shí)數(shù)使得，因此當(dāng)時(shí)，存在使得．所以當(dāng)時(shí)，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．天津市河?xùn)|區(qū)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】且所以，故選：C2.已知為正數(shù)，則“”是“”的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B,D.由題得，所以排除選項(xiàng)C.故選A4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，又，因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，且，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以，，即．故選：C．5.下列說法中，正確的有（）①回歸直線恒過點(diǎn)，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)；②根據(jù)列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，而，則有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即有的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；③是用來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)可以推斷兩類變量不相關(guān)；④某項(xiàng)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】回歸直線的性質(zhì)是恒過樣本點(diǎn)的中心，但不一定會(huì)經(jīng)過任何一個(gè)具體的樣本點(diǎn).所以說法①錯(cuò)誤.

在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，我們先提出一個(gè)假設(shè).當(dāng)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，且時(shí)，這意味著在假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)這樣的值是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，但現(xiàn)在卻發(fā)生了，所以我們有理由拒絕假設(shè)，從而有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，同時(shí)也就意味著有的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以說法②正確.

是用于判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量.當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)，只能說明我們有較小的把握認(rèn)為兩類變量相關(guān)，但不能就此推斷兩類變量不相關(guān).因?yàn)榧词怪敌。灿锌赡苁怯捎跇颖玖康纫蛩氐挠绊?，不能絕對地得出兩類變量無關(guān)的結(jié)論，所以說法③錯(cuò)誤.

已知某項(xiàng)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，正態(tài)分布具有對稱性，其對稱軸為.又因?yàn)?，這表明與關(guān)于對稱軸對稱.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，與之和為，已知，那么，所以說法④正確.

故選：B.6.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，令，得，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，當(dāng)時(shí)，，即，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，若的周長為，則（）A.2 B. C.8 D.4【答案】A【解析】由題知，雙曲線的漸近線為，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由得兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，因?yàn)榈闹荛L為，所以，解得.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.9.已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程，有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的圖像如下圖所示：根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；且時(shí)取最大值2，在時(shí)取最小值0，是部分圖像的漸近線.令，則關(guān)于的方程即可寫成此時(shí)關(guān)于的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（其他情況不合題意），設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二?填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上.10.已知復(fù)數(shù)，則___________.【答案】【解析】因，所以，所以；故答案為：11.在的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.12.若直線：被圓：截得線段的長為6，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】24【解析】把圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：，所以圓心，半徑，又直線：，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€：被圓：截得線段的長為6，根據(jù)勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案為：24.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為:.14.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則當(dāng)已知該家庭個(gè)小孩中有女孩的條件下，個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩的概率為_____.【答案】【解析】記事件該家庭個(gè)小孩中有女孩，事件該家庭中個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩，則，，由條件概率公式可得.故答案為：.15.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，則______________；若的面積為，則的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】∵，又，∴，∴，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即，，的面積為，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：,.三?解答題：本題共5個(gè)小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在鈍角中，角，，所對各邊分別為，，，已知，，．（1）求邊長和角的大小；（2）求的值．解：（1）在中，由余弦定理得：，解得，，由正弦定理得：，由得，又是鈍角三角形，則A為鈍角，于是得，所以，.（2）由（1）知，，，所以.17.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的大?。唬?）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置.（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由，則，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，且，因?yàn)樵谡叫沃?，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：由，則，在正方形中，，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的所成角為，則，由，則.（3）解：由題意作圖如下：設(shè)，則，可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，整理可得，解得，即，由，則，即，故點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn).18.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限.與延長線交于點(diǎn)，若的面積是面積的倍，求的值.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得解得，，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且，如圖所示：由的面積是面積的3倍，可得，所以，從而，所以，即.