海南省三亞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題（含解析）

海南省三亞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．高二某班4名同學(xué)分別從3處不同風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．1 B．2 C． D．33．已知函數(shù)滿足，則的值為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．一個(gè)口袋里裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中取3個(gè)球，則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有（

）A．35種 B．32種 C．16種 D．14種6．某市的5個(gè)區(qū)縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種7．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，極小值為.則（

）A．B．C．有3個(gè)零點(diǎn)D．直線與的圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn)10．下列說法正確的是（

）A．可表示為B．若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C．10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，一共握手45次D．學(xué)校有5個(gè)“市三好學(xué)生”名額，現(xiàn)分給3個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)名額，則有6種分法11．已知函數(shù)（

）A．若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．當(dāng)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若的單調(diào)遞減區(qū)間為，則.三、填空題（本大題共3小題）12．求的值為.13．用“實(shí)”?“驗(yàn)”?“中”?“學(xué)”?“頂”?“呱”?“呱”這七個(gè)字可以組成種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）14．過原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．16．求下列問題的排列數(shù)：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.17．由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？18．設(shè)函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．19．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意知每位同學(xué)都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學(xué)選擇，故共有種選擇方法.故選D.2．【答案】C【詳解】由依題意，知，則.故選C.3．【答案】A【詳解】由已知可得，，則，所以，.故選A.4．【答案】D【詳解】依題意，，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，即，故選D.5．【答案】C【詳解】從裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋里取3個(gè)球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有種.故選C.6．【答案】D【詳解】當(dāng)B，E同色時(shí)，共有種不同的染色方案，當(dāng)B，E不同色時(shí)，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案.故選D7．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，于是?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.又為上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以的解集為.故選A.8．【答案】D【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時(shí)，的圖象如圖，得到有3個(gè)解.

故選D.9．【答案】ACD【詳解】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯(cuò)誤.，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；直線與的圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選ACD.10．【答案】BCD【分析】利用排列數(shù)公式判斷A；利用排除法列式計(jì)算判斷B；利用組合計(jì)數(shù)判斷C；分類計(jì)算判斷D.【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，四個(gè)字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有種，B正確；對于C，10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，共有次，C正確；對于D，5個(gè)名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.故選BCD.11．【答案】AD【詳解】由函數(shù)可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù).對于選項(xiàng)A：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分離出參數(shù)，可得在上恒成立.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B：因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，分離出參數(shù)，可得在上有解.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，.令，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則，解得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D：因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，所以是的一個(gè)根，即，解得：，故選項(xiàng)D正確.故選AD.12．【答案】18【詳解】13．【答案】【詳解】由于這七個(gè)字中有兩個(gè)重復(fù)文字，故第一步優(yōu)先擺放，共有種；第二步擺放剩下五個(gè)文字，共有種；根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.14．【答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，由，則，則，則，即，即，解得，所以，所以原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．15．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，極大值為，極小值為（2）最大值為1，最小值為【詳解】（1），令，得或，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為．（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上的最大值為1，最小值為．16．【答案】（1）720(種)（2）1440(種)（3）1440(種)【詳解】（1）根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個(gè)元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.（2）根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進(jìn)行全排列，再將3名女生插在5個(gè)空位上，共有(種)不同的排列方法.（3）先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個(gè)位置上，共有(種)不同的排列方法.17．【答案】（1）96（2）60（3）65【詳解】（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個(gè)數(shù)位，有種排法，再排四個(gè)非0數(shù)字有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所以能組成96個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；（2）當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2或4時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，即可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；（3）計(jì)算比21034大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)分兩類：萬位比2大的五位數(shù)個(gè)數(shù)是，萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個(gè)，千位是1，百位比0大的有個(gè)，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個(gè).18．【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁?，令，依題意，恒成立，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無解；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，符合題意，所以存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，.19．【答