高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與方法試題及答案

高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略與方法試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(1)$的值為（）

A.1B.2C.3D.0

2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-x^2}{3x^2+x}=1$，則$x^2$的系數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知函數(shù)$f(x)=x^3+3x^2-9x-1$，則$f'(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{n}{n+1}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的極限為（）

A.1B.$\frac{1}{2}$C.0D.無窮大

5.若$a>0$，$b>0$，且$a+b=2$，則$(a+b)^2$的最大值為（）

A.4B.6C.8D.10

6.已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則圓心到直線的距離為（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{\sqrt{5}}{10}$

7.若$y=2^x+3^x$，則$\frac{dy}{dx}$的值為（）

A.$2^x\ln2+3^x\ln3$B.$2^x\ln3+3^x\ln2$C.$2^x\ln2-3^x\ln3$D.$2^x\ln3-3^x\ln2$

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n^2+n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的極限為（）

A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.無窮大

9.若$a>0$，$b>0$，且$a^2+b^2=1$，則$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$的最小值為（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.3

10.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，則$f'(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)$y=x^2$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)等于1。（）

2.若$a>0$，$b>0$，則$a^2+b^2\geq2ab$。（）

3.函數(shù)$y=\sinx$在$x=\frac{\pi}{2}$處取得最大值1。（）

4.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列。（）

5.若$a>0$，$b>0$，則$\sqrt{a^2+b^2}\geqa+b$。（）

6.函數(shù)$y=\lnx$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)等于1。（）

7.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列。（）

8.若$a>0$，$b>0$，則$\frac{a}+\frac{a}\geq2$。（）

9.函數(shù)$y=e^x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)等于1。（）

10.若$a>0$，$b>0$，則$(a+b)^2\geq4ab$。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何求函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的極值。

2.請(qǐng)解釋數(shù)列$\{a_n\}$，其中$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，的通項(xiàng)公式，并求出其前10項(xiàng)和。

3.設(shè)函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。

4.已知函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$g(x)$的導(dǎo)數(shù)$g'(x)$，并解釋其幾何意義。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)$y=\frac{x^2}{1+x}$的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并畫出其函數(shù)圖像。

2.論述數(shù)列$\{a_n\}$，其中$a_n=\frac{2^n}{3^n+n^2}$，的斂散性，并說明理由。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則必有（）

A.$a=0$B.$b=0$C.$a+b=0$D.$a-b=0$

2.若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）

A.$a_n=2^{n-1}$B.$a_n=2^n$C.$a_n=2^{n+1}$D.$a_n=2^{n-2}$

3.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)$f'(1)$的值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n^2+n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的極限為（）

A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.無窮大

5.若$a>0$，$b>0$，且$a+b=2$，則$(a+b)^2$的最大值為（）

A.4B.6C.8D.10

6.已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則圓心到直線的距離為（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{\sqrt{5}}{10}$

7.若$y=2^x+3^x$，則$\frac{dy}{dx}$的值為（）

A.$2^x\ln2+3^x\ln3$B.$2^x\ln3+3^x\ln2$C.$2^x\ln2-3^x\ln3$D.$2^x\ln3-3^x\ln2$

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n^2+n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的極限為（）

A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.無窮大

9.若$a>0$，$b>0$，則$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$的最小值為（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.3

10.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，則$f'(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題

1.B.2

解析思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-3(1+h)+1-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3+3h^2+3h}{h}=\lim_{h\to0}(h^2+3h+3)=3$。

2.B.3

解析思路：由極限的定義，$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-x^2}{3x^2+x}=1$，可得$\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2x}{6x+1}=1$，令$x=0$，解得$x^2$的系數(shù)為3。

3.B.2

解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x-9$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因此$f'(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)。

4.C.0

解析思路：求極限$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(n+1)}=0$。

5.A.4

解析思路：由均值不等式得$a^2+b^2\geq2ab$，當(dāng)$a=b=1$時(shí)取等號(hào)，所以$(a+b)^2=(1+1)^2=4$。

6.C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

解析思路：圓心到直線的距離公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圓心坐標(biāo)$(0,0)$和直線$2x+y-1=0$的系數(shù)，得$d=\frac{|0\cdot2+0\cdot1-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

7.A.$2^x\ln2+3^x\ln3$

解析思路：對(duì)$y=2^x+3^x$求導(dǎo)得$\frac{dy}{dx}=2^x\ln2+3^x\ln3$。

8.A.0

解析思路：求極限$\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$。

9.A.1

解析思路：由均值不等式得$a^2+b^2\geq2ab$，所以$(a+b)^2\geq4ab$，當(dāng)$a=b=1$時(shí)取等號(hào)，所以$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq1$。

10.A.1

解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，因此$f'(x)$有一個(gè)零點(diǎn)。

二、判斷題

1.×

解析思路：函數(shù)$y=x^2$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)等于$2x$，代入$x=0$得$f'(0)=0$。

2.√

解析思路：由均值不等式$a^2+b^2\geq2ab$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取等號(hào)。

3.×

解析思路：函數(shù)$y=\sinx$在$x=\frac{\pi}{2}$處取得最小值-1。

4.×

解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n}$，當(dāng)$n$增大時(shí)，$a_n$減小，因此數(shù)列是遞減數(shù)列。

5.×

解析思路：由均值不等式$a^2+b^2\geq2ab$，得$\sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取等號(hào)。

6.√

解析思路：函數(shù)$y=\lnx$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)等于$\frac{1}{x}$，代入$x=1$得$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1}=1$。

7.×

解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2-1$，當(dāng)$n$增大時(shí)，$a_n$增大，因此數(shù)列是遞增數(shù)列。

8.√

解析思路：由均值不等式$a^2+b^2\geq2ab$，得$\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}\geq2ab$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取等號(hào)。

9.√

解析思路：函數(shù)$y=e^x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)等于$e^x$，代入$x=0$得$\frac{dy}{dx}=e^0=1$。

10.√

解析思路：由均值不等式$a^2+b^2\geq2ab$，得$(a+b)^2\geq4ab$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取等號(hào)。

三、簡答題

1.解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，此時(shí)$f''(1)=6>0$，因此$f(x)$在$x=1$處取得極小值。

2.解析思路：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，前10項(xiàng)和$S_{10}=\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{10}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$。

3.解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$