小學(xué)奧數(shù)-抽屜原理

小學(xué)奧數(shù)—抽屜原理(一)

先了解一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問題，討論如何構(gòu)造抽屜。

抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那末至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理2將多于mxn件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那末至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于(m+1)

件。

理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)：

(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或者抽雇數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無(wú)妨。

12)“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每一個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽

屜可以是空的，也不限制每一個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。

[3)抽屜原理只能用來(lái)解決存在性問題，“至少有一個(gè)"的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個(gè)，

但這里只需保證存在一個(gè)達(dá)到要求的抽屜就夠了。

(4)將a件物品放入n個(gè)抽屜中，如果a+n=m……b,其中b是自然數(shù)，那末由抽屜原理2就可得到，至

少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于(m+1)件。

例1五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以

下，其余學(xué)生的成績(jī)均在75~95分之間.問：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？

分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜,既然是問“至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同"，說(shuō)明應(yīng)以成績(jī)?yōu)槌閷?，學(xué)生為

物品。除3名成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績(jī)均在75、95分之間，75、95共有21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這

21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44(個(gè))學(xué)生作為物品。

例2夏令營(yíng)組織2000名營(yíng)員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一

項(xiàng)或者兩項(xiàng)活動(dòng)。那末至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目徹底相同？

分析與解：本題的抽屜不是那末明顯，因?yàn)閱柕氖恰爸辽儆袔酌麪I(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目徹底相同"，所以應(yīng)該把

活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營(yíng)員當(dāng)成物品。營(yíng)員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。

例3把125本書分給五(2)班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那末，這個(gè)班最多有多少人？

分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧纸o學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書是物

品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無(wú)論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有

幾個(gè)油屜。這個(gè)問題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。

例4五（1）班X老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒做得1分，做錯(cuò)得0分。X

老師說(shuō)：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那末，這個(gè)班至少有多少人？

分析與解：由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同"看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。

例3與例4盡管都是求學(xué)生人數(shù)，但因?yàn)閱栴}不同，所以構(gòu)造的油屜也不同，例3中將學(xué)生作為抽屜，例4

中則將學(xué)生作為物品。可見利用抽屜原理解題，應(yīng)根據(jù)問題靈便構(gòu)造抽屜。普通地，當(dāng)問“至少有多少xx"時(shí),

應(yīng)將xx作為物品，如例1,2,4;當(dāng)問“最多有多少XX時(shí)，應(yīng)將XX作為抽屜，如例3o

例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。

分析與解：因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性惟獨(dú)下面四種情況：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），［偶，偶）。

練習(xí)

1.某單位購(gòu)進(jìn)92箱桔子，每箱至少110個(gè)，至多138個(gè)，現(xiàn)將桔子數(shù)相同的作為一組，箱子數(shù)最多的一

組至少有幾箱？

2.幼兒園小朋友分200塊餅干，無(wú)論怎樣分都有人至少分到8塊餅干，這群小朋友至多有多少名？

3.有若干堆分幣，每堆分幣中沒有幣值相同的分幣。任意挑選多少堆分幣，才干保證一定有兩堆分幣的

組成是相同的？

4.圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規(guī)定每一個(gè)同學(xué)最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個(gè)同

學(xué)借書，才干保證有兩個(gè)人所借的圖書類別相同？

5.我國(guó)人口已超過(guò)12億，如果人均壽命不超過(guò)75歲，那末我國(guó)至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不會(huì)超過(guò)

2秒鐘。這個(gè)結(jié)論是否正確？

6.紅光小學(xué)五(2)班選兩名班長(zhǎng)。投票時(shí)，每一個(gè)同學(xué)只能從4名候選人中挑選2名。這個(gè)班至少應(yīng)有

多少個(gè)同學(xué)，才干保證有8個(gè)或者8個(gè)以上的同學(xué)投了相同的2名候選人的票？

7.把135塊餅干分給16個(gè)小朋友，若每一個(gè)小朋友至少要分到一塊餅干，那末不管怎樣分，一定會(huì)有兩

個(gè)小朋友得到的餅干數(shù)目相同。為什么？

小學(xué)奧數(shù)一抽屜原理(二)

專題簡(jiǎn)析:

練習(xí)2：

1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。至少取出多少個(gè)球才干保證其中一定有3個(gè)顏色一樣的球？

2、一個(gè)容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍(lán)木塊，它們的形狀、大小都一樣。當(dāng)你被蒙上

眼睛去容器中取出木塊時(shí),為確俁取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊?

3、一副撲克牌共54X,其中1—13點(diǎn)各有4X,還有兩X王的撲克牌。至少要取出幾X牌，才干保證其

中必有4X牌的點(diǎn)數(shù)相同？

例題3：

某班共有46名學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組?；顒?dòng)內(nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語(yǔ)，每人可參加

1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或者4個(gè)興趣小組。問班級(jí)中至少有幾名學(xué)生參加的項(xiàng)目徹底相同？

參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)小組的有6個(gè)類型，

只參加三個(gè)組的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個(gè)抽屜，把46

個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=3X15+1,所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目徹底相同。

練習(xí)3：

1、某班有37個(gè)學(xué)生，他們都定閱了《小主人報(bào)》、《少年文藝》、《小學(xué)生優(yōu)秀作文》三種報(bào)刊中的一、

二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報(bào)刊相同？

2、學(xué)校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每一個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）.

某班有52名同學(xué)，問至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況徹底相同？

3、庫(kù)房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，問：在31個(gè)搬運(yùn)者中至少有幾人搬

運(yùn)的球徹底相同？

例題4：

從1至30中，3的倍數(shù)有304-3=10個(gè)，不是3的倍數(shù)的數(shù)有30—10=20個(gè)，至少要取出20+1=21個(gè)不

同的數(shù)才干保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。

練習(xí)4：

1、在1,2,3,……49,50中，至少要取出多少個(gè)不同的數(shù)，才干保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除?

2、從1至120中，至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)才干保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)？

3、從1至36中，最多可以取出幾個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？

例題5：

將400X卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過(guò)11X,試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡

片的X數(shù)相同。

這題需要靈便運(yùn)用抽屜原理。將分得1,2,3,……，11X可片看做11個(gè)抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做元素，

如果每一個(gè)抽屜都有一個(gè)元素，則需1+2+3+……+10+11=66(X)卡片。而400+66=6……4(X：,即每一個(gè)

周體都有6個(gè)元素，還余下4X卡片沒分掉。而這4X卡片無(wú)論怎么分，都會(huì)使得某一個(gè)抽屜至少有7個(gè)元

素，所以至少有7名同學(xué)得到的卡片的X數(shù)相同。

練習(xí)5：

1、把280個(gè)桃分給若干只猴子，每只猴子不超過(guò)10個(gè)。證明：無(wú)論怎樣分，至少有6只猴子得到的

桃一樣多。

2、把61顆棋子放在若干個(gè)格子里，每一個(gè)格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個(gè)格子中的棋

子數(shù)目相同。

3、汽車8小時(shí)行了310千米，已知汽車第一小時(shí)行了25千米，最后一小時(shí)行了45千米。證明：一定

存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)汽車至少行了80千米。

習(xí)題

1.木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏

色相同，則至少要取出多少個(gè)球？

2.一幅撲克牌有54X,至少要抽取幾X牌，方能保證其中至少有3X牌有相同的點(diǎn)數(shù)？

3.有11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同

類的書，至少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同

4.有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)

員枳分相問。

5.體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，規(guī)定每一個(gè)人至少拿1個(gè)球,

至多拿2個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？

6.某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知

參賽者中任何10人