2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題19 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理（原卷版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題19計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理（原卷版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.在一個(gè)排列問題中，從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素進(jìn)行排列，不考慮順序，有多少種不同的組合方式？A.10B.20C.30D.602.若一個(gè)事件的概率為p，則該事件不發(fā)生的概率為？A.pB.1pC.2pD.1/2p3.在二項(xiàng)式展開式(x+y)^n中，x的指數(shù)和y的指數(shù)之和總是等于？A.nB.2nC.n+1D.n14.在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素，不考慮順序，組合數(shù)的計(jì)算公式是？A.n^rB.n!/(r!(nr)!)C.n!/r!D.(n+r)!5.若一個(gè)班級(jí)有30名學(xué)生，其中有18名女生，要選出5名學(xué)生參加比賽，至少有一名女生的選法有多少種？A.142506B.150000C.180000D.200000二、判斷題（每題1分，共5分）1.在排列問題中，元素的順序是重要的。()2.在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素，不考慮順序，組合數(shù)總是小于或等于排列數(shù)。()3.在二項(xiàng)式展開式中，每一項(xiàng)的系數(shù)都相等。()4.若一個(gè)事件的概率為0，則該事件一定不會(huì)發(fā)生。()5.在概率問題中，兩個(gè)互斥事件的概率之和總是等于1。()三、填空題（每題1分，共5分）1.在一個(gè)排列問題中，從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素進(jìn)行排列，共有______種不同的排列方式。2.在組合問題中，從10個(gè)不同元素中取出5個(gè)元素，不考慮順序，共有______種不同的組合方式。3.在二項(xiàng)式展開式(a+b)^6中，a^3b^3的系數(shù)是______。4.若一個(gè)事件的概率為0.3，則該事件不發(fā)生的概率是______。5.在一個(gè)班級(jí)中有40名學(xué)生，其中有18名女生，要選出5名學(xué)生參加比賽，至少有一名女生的選法有______種。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述排列與組合的區(qū)別。2.解釋什么是二項(xiàng)式定理。3.如何計(jì)算一個(gè)事件的概率？4.簡述概率的加法規(guī)則。5.解釋什么是互斥事件。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）1.一個(gè)籃子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的兩個(gè)球顏色相同的概率。2.在一個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，共有10道題目，每道題目有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)正確答案。如果一個(gè)學(xué)生隨機(jī)選擇答案，求他恰好答對(duì)5道題目的概率。3.一個(gè)班級(jí)有50名學(xué)生，其中有20名男生和30名女生。要選出5名學(xué)生參加比賽，求至少有3名女生的選法有多少種？4.在二項(xiàng)式展開式(x2y)^5中，求x^3y^2的系數(shù)。5.一個(gè)袋子里有6個(gè)紅球，4個(gè)綠球和5個(gè)藍(lán)球。隨機(jī)取出3個(gè)球，求取出的球中至少有一個(gè)紅球和一個(gè)綠球的概率。六、分析題（每題5分，共10分）1.一個(gè)密碼鎖由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)。求密碼鎖的總可能性，并計(jì)算至少包含一個(gè)數(shù)字“7”的密碼所占的比例。2.一個(gè)班級(jí)有60名學(xué)生，其中有30名男生和30名女生。要選出10名學(xué)生參加比賽，求選出的學(xué)生中男生和女生人數(shù)相等的概率。七、實(shí)踐操作題（每題5分，共10分）1.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證二項(xiàng)式定理。要求詳細(xì)描述實(shí)驗(yàn)步驟和所需材料。2.制作一個(gè)概率模型，用于計(jì)算從一個(gè)裝有紅球、綠球和藍(lán)球的袋子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，取出的球顏色相同的概率。要求詳細(xì)描述模型的制作過程和所需材料。八、專業(yè)設(shè)計(jì)題（每題2分，共10分）1.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案來驗(yàn)證組合數(shù)的計(jì)算公式，并解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。2.創(chuàng)建一個(gè)概率模型，用于計(jì)算從一個(gè)裝有紅球、綠球和藍(lán)球的袋子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，取出的球顏色相同的概率。3.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，用于計(jì)算二項(xiàng)式展開式中的任意一項(xiàng)的系數(shù)。4.設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查問卷，用于收集數(shù)據(jù)并計(jì)算某項(xiàng)技能在人群中的普及率。5.創(chuàng)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用于預(yù)測(cè)某種疾病的傳播趨勢(shì)，并解釋模型的意義。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋什么是排列，并給出一個(gè)排列的例子。2.解釋什么是組合，并給出一個(gè)組合的例子。3.解釋什么是二項(xiàng)式定理，并給出一個(gè)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例子。4.解釋什么是概率，并給出一個(gè)概率的例子。5.解釋什么是事件，并給出一個(gè)事件的例子。十、思考題（每題2分，共10分）1.在一個(gè)排列問題中，從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素進(jìn)行排列，不考慮順序，有多少種不同的組合方式？2.若一個(gè)事件的概率為p，則該事件不發(fā)生的概率為多少？3.在二項(xiàng)式展開式(xy)n中，x的指數(shù)和y的指數(shù)之和總是等于多少？4.在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素，不考慮順序，組合數(shù)的計(jì)算公式是什么？5.若一個(gè)班級(jí)有30名學(xué)生，其中有18名女生，要選出5名學(xué)生參加比賽，至少有一名女生的選法有多少種？十一、社會(huì)擴(kuò)展題（每題3分，共15分）1.設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查問卷，用于收集數(shù)據(jù)并分析某項(xiàng)政策在人群中的接受程度。2.創(chuàng)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用于預(yù)測(cè)某種商品在未來一段時(shí)間的銷售趨勢(shì)，并解釋模型的意義。3.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案，用于驗(yàn)證某種藥物對(duì)某種疾病的療效，并解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。4.創(chuàng)建一個(gè)概率模型，用于計(jì)算某項(xiàng)體育比賽中，一支隊(duì)伍贏得比賽的概率。5.設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查問卷，用于收集數(shù)據(jù)并分析某項(xiàng)技能在人群中的普及率，并根據(jù)結(jié)果提出相應(yīng)的建議。一、選擇題答案1.B2.B3.A4.C5.D二、判斷題答案1.對(duì)2.錯(cuò)3.對(duì)4.錯(cuò)5.對(duì)三、填空題答案1.102.1p3.n4.C(n,r)5.90四、簡答題答案1.排列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排列起來，不同的排列方式稱為排列。例如，從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素進(jìn)行排列，有P(5,3)種不同的排列方式。2.組合是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，不考慮順序，不同的組合方式稱為組合。例如，從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素進(jìn)行組合，有C(5,3)種不同的組合方式。3.二項(xiàng)式定理是關(guān)于二項(xiàng)式展開式的定理，它描述了二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的系數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系。例如，二項(xiàng)式展開式(xy)n的展開式中，x的指數(shù)和y的指數(shù)之和總是等于n。4.概率是描述事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，0表示事件不可能發(fā)生，1表示事件必然發(fā)生。5.事件是概率論中基本的概念，它描述了某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果。例如，拋擲一枚硬幣，正面朝上和反面朝上就是兩個(gè)不同的事件。五、應(yīng)用題答案1.解：根據(jù)題意，密碼鎖由6位數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)。所以，總的可能性為10^6。至少包含一個(gè)數(shù)字7的密碼，可以先計(jì)算出所有不包含數(shù)字7的密碼數(shù)量，然后用總數(shù)量減去這個(gè)數(shù)量。不包含數(shù)字7的密碼，每位數(shù)字有9種選擇（0到9中除去7），所以總共有9^6種。因此，至少包含一個(gè)數(shù)字7的密碼所占的比例為(10^69^6)/10^6。2.解：根據(jù)題意，班級(jí)有60名學(xué)生，其中30名男生和30名女生。要選出10名學(xué)生參加比賽，選出的學(xué)生中男生和女生人數(shù)相等的概率，可以先計(jì)算出所有可能的選法，然后計(jì)算出男生和女生人數(shù)相等的選法，用相等的選法除以總選法。所有可能的選法為C(60,10)，男生和女生人數(shù)相等的選法為C(30,5)C(30,5)。所以，男生和女生人數(shù)相等的概率為(C(30,5)C(30,5))/C(60,10)。六、分析題答案1.解：根據(jù)題意，要計(jì)算至少包含一個(gè)數(shù)字7的密碼所占的比例。可以先計(jì)算出所有不包含數(shù)字7的密碼數(shù)量，然后用總數(shù)量減去這個(gè)數(shù)量。不包含數(shù)字7的密碼，每位數(shù)字有9種選擇（0到9中除去7），所以總共有9^6種。因此，至少包含一個(gè)數(shù)字7的密碼所占的比例為(10^69^6)/10^6。2.解：根據(jù)題意，要計(jì)算選出的學(xué)生中男生和女生人數(shù)相等的概率?？梢韵扔?jì)算出所有可能的選法，然后計(jì)算出男生和女生人數(shù)相等的選法，用相等的選法除以總選法。所有可能的選法為C(60,10)，男生和女生人數(shù)相等的選法為C(30,5)C(30,5)。所以，男生和女生人數(shù)相等的概率為(C(30,5)C(30,5))/C(60,10)。七、實(shí)踐操作題答案1.解：設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證二項(xiàng)式定理。實(shí)驗(yàn)步驟如下：a.準(zhǔn)備一個(gè)裝有紅球和藍(lán)球的袋子，紅球和藍(lán)球的數(shù)量分別為n1和n2。b.從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)球，記錄球的顏色，然后放回袋子。c.重復(fù)步驟b共n次，記錄每次取出的球的顏色。d.計(jì)算在n次實(shí)驗(yàn)中，取出紅球的次數(shù)為r次的概率，即C(n,r)(n1/n)^r(n2/n)^(nr)。e.比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算的概率，驗(yàn)證二項(xiàng)式定理。2.解：制作一個(gè)概率模型，用于計(jì)算從一個(gè)裝有紅球、綠球和藍(lán)球的袋子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，取出的球顏色相同的概率。模型制作過程如下：a.準(zhǔn)備一個(gè)裝有紅球、綠球和藍(lán)球的袋子，紅球、綠球和藍(lán)球的數(shù)量分別為n1、n2和n3。b.從袋子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記錄球的顏色。c.計(jì)算取出的兩個(gè)球顏色相同的概率，即(n1^2+n2^2+n3^2)/(n1+n2+n3)^2。d.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的結(jié)果。1.排列與組合：排列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排列起來，不同的排列方式稱為排列。組合是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，不考慮順序，不同的組合方式稱為組合。2.二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理是關(guān)于二項(xiàng)式展開式的定理，它描述了二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的系數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系。3.概率：概率是描述事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，0表示事件不可能發(fā)生，1表示事件必然發(fā)生。4.事件：事件是概率論中基本的概念，它描述了某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果。5.概率模型：概率模型是用來描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助我們理解和預(yù)測(cè)隨機(jī)事件的規(guī)律和可能性。各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)排列與組合、二項(xiàng)式定理、概率、事件等基本概念的理解和應(yīng)用能力。2.判斷題：考察學(xué)生對(duì)排列與組合、二項(xiàng)式定理、概率、事件等基本概念的理解和應(yīng)用能力。3