2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（概率與統(tǒng)計(jì)綜合）-概率密度函數(shù)與分布函數(shù)

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（概率與統(tǒng)計(jì)綜合）——概率密度函數(shù)與分布函數(shù)一、選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=kx^2，其中k為常數(shù)。若X的期望值為2，則k的值為（）A.1/6B.1/3C.1/2D.12.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={x^2，x≤1；2-x，x>1}，則X的概率密度函數(shù)f(x)為（）A.2x，x≤1B.2x，x>1C.2x，x∈[0,1]D.2x，x∈[1,2]3.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ^2)，若μ=0，σ=1，則X的概率密度函數(shù)f(x)為（）A.f(x)=1/(√2π)e^(-x^2/2)B.f(x)=(1/σ)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))C.f(x)=(1/σ)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))D.f(x)=(1/σ)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))4.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，則X的概率密度函數(shù)f(x)為（）A.f(x)=1，x∈[0,1]B.f(x)=0，x∈[0,1]C.f(x)=1/x，x∈[0,1]D.f(x)=1/x，x∈[0,1]5.設(shè)隨機(jī)變量X～Exp(λ)，則X的概率密度函數(shù)f(x)為（）A.f(x)=λe^(-λx)，x≥0B.f(x)=λe^(-λx)，x≤0C.f(x)=λe^(λx)，x≥0D.f(x)=λe^(λx)，x≤0二、填空題6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=kx^2，其中k為常數(shù)。若X的期望值為2，則k的值為______。7.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={x^2，x≤1；2-x，x>1}，則X的概率密度函數(shù)f(x)為______。8.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ^2)，若μ=0，σ=1，則X的概率密度函數(shù)f(x)為______。9.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，則X的概率密度函數(shù)f(x)為______。10.設(shè)隨機(jī)變量X～Exp(λ)，則X的概率密度函數(shù)f(x)為______。三、解答題11.已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=kx^2，其中k為常數(shù)。若X的期望值為2，求k的值。12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={x^2，x≤1；2-x，x>1}，求X的概率密度函數(shù)f(x)。13.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ^2)，若μ=0，σ=1，求X的概率密度函數(shù)f(x)。14.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，求X的概率密度函數(shù)f(x)。15.設(shè)隨機(jī)變量X～Exp(λ)，求X的概率密度函數(shù)f(x)。四、計(jì)算題要求：計(jì)算以下隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。16.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[0,2]上服從均勻分布，求X的概率密度函數(shù)f(x)。17.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求X的概率密度函數(shù)f(x)。18.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ^2的正態(tài)分布，求X的概率密度函數(shù)f(x)。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)給定的概率密度函數(shù)，計(jì)算以下概率。19.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={2x，0≤x≤1；0，其他}，求P{X≤0.5}。20.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={λe^(-λx)，x≥0；0，x<0}，求P{X>1}。21.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={1/(πσ√2)*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，x∈(-∞,∞)；0，其他}，求P{μ-σ≤X≤μ+σ}。六、證明題要求：證明以下關(guān)于概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的性質(zhì)。22.證明：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則X的分布函數(shù)F(x)存在，且滿足以下性質(zhì)：（1）0≤F(x)≤1，對(duì)任意x∈(-∞,∞)；（2）F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；（3）F(-∞)=0，F(xiàn)(∞)=1。23.證明：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則X的分布函數(shù)F(x)滿足以下性質(zhì)：（1）F(x)是連續(xù)函數(shù)；（2）F'(x)=f(x)，對(duì)任意x∈(-∞,∞)。24.證明：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則X的分布函數(shù)F(x)滿足以下性質(zhì)：（1）對(duì)任意x1<x2，有F(x2)-F(x1)=∫[x1,x2]f(t)dt；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有F(x)=P{X≤x}。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：期望值E(X)=∫(x*f(x))dx=∫(kx^3)dx=k[1/4x^4]=k/4，由E(X)=2，得k/4=2，解得k=8。因此，k的值為1/3。2.C解析：由分布函數(shù)F(x)的定義可知，當(dāng)x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=x^2；當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=2-x。因此，概率密度函數(shù)f(x)=F'(x)={2x，x≤1；-1，x>1}。由于概率密度函數(shù)的值應(yīng)為非負(fù)，因此f(x)=2x，x∈[0,1]。3.A解析：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=(1/(√2π)σ)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，代入μ=0，σ=1，得f(x)=1/(√2π)e^(-x^2/2)。4.A解析：均勻分布的概率密度函數(shù)為f(x)={1/(b-a)，a≤x≤b；0，其他}，代入a=0，b=1，得f(x)=1。5.A解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，x≥0，滿足題目要求。二、填空題6.k=1/3解析：同選擇題第1題解析。7.f(x)=2x，x∈[0,1]解析：同選擇題第2題解析。8.f(x)=1/(√2π)e^(-x^2/2)解析：同選擇題第3題解析。9.f(x)=1解析：同選擇題第4題解析。10.f(x)=λe^(-λx)，x≥0解析：同選擇題第5題解析。三、解答題11.k=1/3解析：同選擇題第1題解析。12.f(x)=2x，x∈[0,1]解析：同選擇題第2題解析。13.f(x)=1/(√2π)e^(-x^2/2)解析：同選擇題第3題解析。14.f(x)=1解析：同選擇題第4題解析。15.f(x)=λe^(-λx)，x≥0解析：同選擇題第5題解析。四、計(jì)算題16.f(x)={1，0≤x≤2；0，其他}解析：均勻分布的概率密度函數(shù)為f(x)={1/(b-a)，a≤x≤b；0，其他}，代入a=0，b=2，得f(x)=1。17.f(x)=λe^(-λx)，x≥0解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，x≥0。18.f(x)=(1/(πσ√2))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))解析：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=(1/(πσ√2))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))。五、應(yīng)用題19.P{X≤0.5}=1/2解析：由于f(x)=2x，0≤x≤1，所以P{X≤0.5}=∫[0,0.5]2xdx=[x^2]0^0.5=1/4。20.P{X>1}=e^(-λ)解析：由于f(x)=λe^(-λx)，x≥0，所以P{X>1}=∫[1,∞]λe^(-λx)dx=[-e^(-λx)/λ]1^∞=e^(-λ)。21.P{μ-σ≤X≤μ+σ}=1/2解析：由于f(x)=(1/(πσ√2))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，所以P{μ-σ≤X≤μ+σ}=∫[μ-σ,μ+σ](1/(πσ√2))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))dx=1/2。六、證明題22.證明：（1）由概率密度函數(shù)f(x)的定義可知，f(x)≥0，因此F(x)=∫[0,x]f(t)dt≥0。又因?yàn)镕(x)是單調(diào)不減函數(shù)，所以0≤F(x)≤1。（2）由于F(x)是單調(diào)不減函數(shù)，所以F(x)在任意區(qū)間[a,b]上連續(xù)。（3）當(dāng)x→-∞時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[0,x]f(t)dt→0；當(dāng)x→∞時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[0,x]f(t)dt→1。因此，