自動控制理論第四版課后習(xí)題詳細解答答案解析(夏德鈐翁貽方版)

《自動控制理論(夏德鈴)》習(xí)題答案詳解

第二章

2-1試求圖2TT所示RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

(a)z,=-----C^=----!--,z2=%,則傳遞圖數(shù)為:

_Lg+1--

,Cs

4,(5)Z2

Ui(.?)Z[+z2R]R2cs+A〕+&

(b)設(shè)流過G、C2的電流分別為人、/2,根據(jù)電路圖列出電壓方程:

q(s)=(s)+RJ/|(s)+1、(s)]

C15

U〃(s)=；/2(S)

C2s

并且有

聯(lián)立三式可消去，(s)與A(s),則傳遞函數(shù)為:

SG)1

RR2cle研~+(KG+R[C2+R2c2)s+1

2-2假設(shè)圖2-T-2的運算放大器均為理想放大器，試寫出以應(yīng)為輸入，應(yīng)為輸出的傳遞函

數(shù)。

(a)由運算放大器虛短、虛斷特性可知：5=-C以

Rdt"限"一〃。

對上式進行拉氏變換得到

卷器=-sUj(5)+sUo(s)

故傳遞函數(shù)為

U°(s)_RCs+1

U,G)-RCs

(b)由運放虛短、虛斷特，怛有：。幺一生二殳十二”=0,生+包=0

dt/?2R/2R/2R

聯(lián)立兩式消去《.得到

CRdu22

-------(-)1—u；+=%=°

2adtR'

對該式進行拉氏變換得

「R22

國sU°(s)+天，(s)+及U°($)=°

故此傳遞函數(shù)為

u°(s)二的

4⑸-R(RCs+4)

⑹c等晨肛且a—氤聯(lián)立兩式可消去《.得到

c"d%12劭?2%_0

2RdtRR

對該式進行拉氏變換得到

宏?，q(s)+"UoG)+^%G)=°

故此傳遞函數(shù)為

U0(s)=N(NCs+4)

5(s)-4R~

2-3試求圖2-T-3中以電樞電壓露為輸入量，以電動機的轉(zhuǎn)角＜9為輸出量的微分方程式和

傳遞函數(shù)。

解：設(shè)激磁磁通。=K//恒定

?(s)=_________________CJ________________

6($)權(quán)］+伍"凡仆+尺"翁心"

2-4一位置隨動系統(tǒng)的原理圖如圖2-T-4所示。電動機通過傳動鏈帶動負載及電位器的滑

動觸點一起移動，用電位器檢測負載運動的位移，圖中以c表示電位器滑動觸點的位置。

另一電位器用來給定負載運動的住移，此電位器的滑動觸點的住置(困中以r表示)即為

該隨動系統(tǒng)的參考輸入。兩電位器滑動觸點間的電壓差與，即是無慣性放大器(放大系數(shù)為

K,)的輸入，放大器向直流電動機M供電，電樞電壓為“，電流為L電動機的角位移為夕。

解：曳=_________________________KCC

硝“3+MJ++建

RJy+/Rf+KACJ

I2乃J

2-5圖2-T-5所示電路中，二極管是一個非線性元件，其電流。與％間的關(guān)系為

/%、

=10-6*6。。26一1。假設(shè)電路中的R=1（）3Q,翳態(tài)工作點“0=2.3",

-3

z0=2.19xlOAo試求在工作點（〃o"o）附近"=/（%）的線性化方程。

3

解：z（/-2.19X10-=0.084^-0.2）

2-6試寫出圖2-T-6所示系統(tǒng)的微分方程，并根據(jù)力一電壓的相似量畫出相似電路。

解:分別對物塊犯、加2受力分析可列出如下方程：

乃李=尸⑺1&（%y）fk\y\

at

機2二二%2（乃一y）

at

代人％吟、“去得

1=F(t)+^(y-y)-f-ky

dr221ll

d2yz//、

〃72-^=攵2(,’2—州)

2-7圖2-T-7為插了一個溫度計的槽。槽內(nèi)溫度為4,溫度計顯示溫度為。。試求傳遞函

數(shù)型1（考慮溫度計有貯存熱的熱容C和限制熱流的熱阻R）。

解：根據(jù)能量守恒定律可列出如下方程：

d00-0

crlh=~T

對上式進行拉氏變換得到

C50（5）=-----------

R

則傳遞函數(shù)為

0(5)_1

0,(5)RCs+\

R⑸G(G+G?)C(s)

14-G3(G]+"])

傳遞函數(shù)為

C(5)=G3(Q+G2)

1+G3(G1+77I)

(b)化簡過程如下

傳遞函數(shù)為

CG)__________GOG+GJ_________

―1+GGM+(G2G3+Gj)(H?+G03)

2-9試簡化國2-T-9所示系統(tǒng)的框國，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一」。

RG)

解：化簡過程如下

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

C(.y)________________0.7s+0.42______________

南一i+(0§+0.7k)s?+(1.18+0.42郎+0.52

2-10繪出圖2-T-10所示系統(tǒng)的信號流程圖，并根據(jù)梅遜公式求出傳遞函數(shù)CW。

R(s)

圖2-T-10

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

C(s)_________GQ2G3____________G

雨-1+G?H「GG%+G2G3H?4

2-11試繪出圖2-T-11所示系統(tǒng)的信號流程圖，并求傳遞函數(shù)C3和邑應(yīng)(設(shè)

R,G)&G)

&(s)=0)。

圖2-T-11

解：系統(tǒng)信號流程圖如圖所示。

題271系統(tǒng)信號流程圖

C（s）=___________CGG___________

R（s）-I+-G2+G4-<G2G4G5dH2

G（s）二GC2

R（s）1+G.G,+G4-G.G.Gfi.H.H.

2-12求圖2-T-12所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C?。

R(s)

解：(a)系統(tǒng)只有一個回環(huán)：工k=cdh,

在節(jié)點R(s)和C(s)之間有四條前向通道，分別為：片=abcdef,P2=abcdi,

6=agdef,P4=agdi,相應(yīng)的，有：△]=△?=A?=△4=1

則

C(s)_1(_abcdef+abcdi+agdef+agdi

而j=W2人X\-cdh

ji1

(b)系統(tǒng)共有三個回環(huán)，因此,EL=

R?aR2GsR[Gs

兩個互不接觸的回環(huán)只有一組，因此，ZL,=------------------------=------------------

■RCR(R2c2s)RR"2s

11,11

在節(jié)點R(s)和C(s)之間僅有一條前向通道：”1?---------?1-------=-----------Y并且有

sC[/?!sC2R}C}C2S~

△i=1,則

C(s)=1px=______________R2

^?一]_"+1-2

n'/?,/?；,C,C25+(/?,C,+R2C}+R2C2)S+1

2-13確定圖2-T-13中系統(tǒng)的輸出C(s)。

圖2-T-13

G(S)二_______Gg_____

解：采用登加原理，當(dāng)僅有R(s)作用時,

R(s)~l+

GG)=______Qi______

當(dāng)僅有〃(s)作用時,

D\s)~]+G2H2+Gfi2H}

G,

當(dāng)僅有4G）作用時,

-D2(S)I+G2//2+GQ2"

Q（5）G。儲

當(dāng)僅有。3（$）作用時,

4(s)1+G2H2+G,G2H,

根據(jù)疊加原理得出

CQC⑶+

1+G2H2+CJ]CJ2H]

第三章

3-1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

。⑸a

R(s)s2+2血戶+"

求此系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。

解：當(dāng)輸入為單位斜坡響應(yīng)時，有

R)=，,R(s)=[

所以有

C(s)二——

s~+2。/+(D~s~

分三種情況討論

(1)當(dāng)<>1時，

1(

c(r)=r---+e

例27?^,,匕+尸了

(2)當(dāng)()<S<1時，

/

iWnt

c(r)-t--+/1—e~sinJ]一4%/+2arcian

?Jl-二0I

(3)當(dāng)7=IB寸,

%2=一0

/、22

c(r)=t-----+—

①〃4

設(shè)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，有

s(s+2血)

耳(s)=Ms)-心)=R(s)/+2血+*

系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為

,，1心+2勿“)2<

%=￡Ims--——^------,=―2-

sf°s2s~+2@“s+(y,J%

3-2試求下列單位反饋控制系統(tǒng)的位置、速度、加速度誤差系數(shù)。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

50

(1)G(s)=(2)G(s)=

(1+0.15)(1+25)5(1+0.15)(1+0.55)

K(l+2s)(l+4s)K

(3)G(s)(4)G(5)=

52(52+25+10)5(52+45+200)

2

解：(1)Kn=limG(s)=5(),Kv=limsG(s)=0,Ktt=limsG(s)=0：

f5->05->0V->0

(2)Kn=limG{s)=8,K=limsG(s)=K,Ka=lims2G(s)=0：

1.v->0sfO10

(3)K=limG(s)=co,Kv=limsG(s)=oo,K=lims2G(s)=—；

,V-?0ST。3To10

2

(4)Kn=limG⑸=oo,Kv=limsG(s)=---,Kti=limsG(s)=0

1.v->0STO200s-*o

3-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

10

G(s)=

5(0.15+1)

若輸入信號如下，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)。

(1)rQ)=R0,(2)r(t)=/?()+R1t,(3)r?)=0)++

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

豆(,)=—=皿"1)

八，R(s)1+G(s)O.l.Y+s+lO

誤差系數(shù)可求得如下

c..t/\v5(0.15+1)八

Cn=hm①(s)=hm----；---------=0

io八/…。().1/+$+]()

廠r〃小/\r10(0.2$+1)

C,=lim—①=lim-------------J=0.1

ds'1。(0.1s,+s+10)-

2(0.152+5+10)-20(0.2s+1)2

C,=lim①(s)=lim=0

~$T0d$2(0.152+5+10)3

(1)，?)=%,此時有4?)=4,W)=q⑺=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)為

(2)*t)=R0+R/,此時有.(f)=&+凡八]⑴=凡,r(0=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差

級數(shù)為

^(0=Cor(r)+CIr(r)=O.l/?1,r>()

(3)r(0=/??+/?,/+-/?J2,此時有4?)=/+寵/+工氏2/，W)=&+Rj,

22

r(0=/?2,于是穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)為

eir(t)=C,r⑺+C上⑺+毛彳⑺=0.1(/?,+RJ),t>0

3-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=---

5(0.15+1)

若輸入為r(f)=sin5f,求此系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)。

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

E(s)5(0.15+1)

①6)=R(s)1+G(s)0.1s24-5+500

誤差系數(shù)可求得如下

〃i.f\r5(0.15+1)?

C<\—lim①,,(5)=lim----；-----------0

°I。八/I)().1/+$+5()()

C.=lim且中,,(5)=lim500(0.25+1)

J。ds—1。(0.152+5+500)2500

>210(X0.152+5+500)-1000(0.25+1)298

C2=lim—Oj?=lim

17(0.k2+5+500)35OO2

I。ds八ST。

以及

z;(r)=sin5t

/;(r)=5cos5r

/?(z)=-25sin5r

則穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)為

Q

uv,(f)=C0一于x25+…sin5f+[Cx5----]cos5r

=[4.9xl(r4+...]sin5r+[lxl()2-.]cos5r

3-6系統(tǒng)的框圖如圖3-T-1a所示，試計算在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的終值。如在輸入

端加入一比例微分環(huán)節(jié)(參見圖3-T-1b),試證明當(dāng)適當(dāng)選取a值后，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的

穩(wěn)態(tài)誤差可以消除。

R(s)C(s)

s($+2*“)

a)

R（s）C（s）

\_______A

--------------------A1+as廠f?

s（5+2血）

b）

圖3-T-l

解：系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：加入比例一微分環(huán)節(jié)后

C（5）=[R（$X1+C（S）]G（S）

C（S）=沖喏

2

1+G（s）s+2^（ofls+（t）n

E（s）=R（$）-C（s）=邙多聞軍R（5）

5-+2血5-0〃

R（s）=I

S

e“=limsE（s）=、‘一"""

$->0co

可見取a=—,可使esr=0

g

3-7單位反饋二階系統(tǒng)，已知其開環(huán)傳遞函數(shù)為

G（s）=

s（s+2血）

從實驗方法求得其零初始狀態(tài)下的階躍響應(yīng)如圖3-T-2所示。經(jīng)測量知，歷,=0.096,

試確定傳遞函數(shù)中的參量，及口.。

/p=0.25Od〃

解：由圖可以判斷出0<4<1,因此有

=exp()x100%

71

J—

代入0.096,。=0.2可求出

7=0.598

[q=19.588

3-8反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-3所示，要求

(1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。

整個系統(tǒng)的特征方程為/+，

(2)4/+6+4=()圖3-T-3

求三階開環(huán)傳遞函數(shù)G(s),使得同時滿足上述要求。

解：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

C(s)K

R(s)s3+K$2+k2s+ky

153+k$+k2s+k

根據(jù)條件(1)=lim3=0可知:%=0;

5s->01+G(5)i+k、s~+k2s+&+K

根據(jù)條件(2)O(s)=/+4s2+6s+4=0可知：K=4,k2=6fK=40

所以有

4

G(s)=

s(T+4s+6)

3-9一單位反饋控制的三階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G[s),如要求

(1)由單位斜坡函數(shù)榆入引起的穩(wěn)態(tài)誤差等于2.0。

(2)三階系統(tǒng)的一對主導(dǎo)極點為。，邑二-1土yl0

求同時滿足上述條件的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s).

解：按照條件(2)可寫出系統(tǒng)的特征方程

(5+1-j)(s+1+/Xs+。)=(s?+2s+2)(5+a)=s?+(2+a)s2+(2+2a)s+2。=0

將上式與l+G(s)=0比較，可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)=

卜+(2+a)s+(2+2a)]

根據(jù)條件(1),可得

2a

K=—=0.5=

2+2。

解得。=1,于是由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

2

G(s)=s\s2+35+4]

3-10已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K

G(s)=

$S+1)

試求在下列條件下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)之超調(diào)量和調(diào)整時間。

(1)K=4.5/=ls(2)K=l,r=ls(3)K=0.16/=ls

解：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為

0(6)=R(s)G(s)=

1)

(1)將K=4.5,T=1S代入式中可求出/”=2.12wd/s,，=0.24,為欠阻尼系統(tǒng),

因此得出

%=46%,4=7.86s(2%),5.905(5%)

(2)將K=l,r=ls代入式中可求出q=Lad/s,<=0.5,,為欠阻尼系統(tǒng)，因此

得出

例〃=16.3%,ts=8.v(2%)s,65(5%)

(3)將K=0.16,r=ls代入式中可求出0“=O.4/%//s,<=1.25,過阻尼，無最

大超調(diào)量。因此只有/,=15s。

3-11系統(tǒng)的框圖如圖3-14所示，試求當(dāng)a=0時，系統(tǒng)的之值。如要求，是確定a的值。

O

(1)當(dāng)a=0時，則系統(tǒng)傳垮遞函數(shù)為G")=--------，其中=2j2,2，)“=2,

s+2s+8

所以有7=0.354。

(2)以不變時，系統(tǒng)傳函數(shù)為G(s)==-------------,要求，=0.7,則有

Y+(8a+2)s+8

24y“=2(4。+1),所以可求得求得。=0.25。

3-12已知兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果兩者的參量均相等，試分析z=1的零點對系統(tǒng)單位

脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的影響。

1.單位脈沖響應(yīng)

（a）無零點時

c?)="、e"'sin&/①/,(/>0)

（b）有零點z=-l時

（）_《1-23〃+①:(D

sin(Dnt+arctg母人。）

比較上述兩種情況，可見有零點Z=-1B寸，單位脈沖響應(yīng)的振幅較無零點時小，而且產(chǎn)生

相移，相移角為arctg——'""o

1一血

2.單位階躍響應(yīng)

（a）無零點時

](I_____

c(t)=l—==e-^sin斤？t+arctg（玲。）

(b)有零點z=-1時

出-2乳十①;2

c(/)=1+siny]\-^cort-arctg

加了z=-l的零點之后，超調(diào)量用〃和超調(diào)時間都小于沒有零點的情況。

3-13單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號時，系統(tǒng)處于零初

始狀態(tài)。如果不考慮擾動，當(dāng)參考輸入為階躍函數(shù)形式的速度信號時，試解釋其響應(yīng)為何

必然存在超調(diào)現(xiàn)象？

單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號時，系統(tǒng)中存在比例-

積分環(huán)節(jié)K|（GS+D,當(dāng)誤差信號4/）=0時，由于積分作用，該環(huán)節(jié)的揄出保持不變，故

系統(tǒng)輸出繼續(xù)增長，知道出現(xiàn)e（/）＜0時，比例-積分環(huán)節(jié)的輸出才出現(xiàn)減小的趨勢。因此，

系統(tǒng)的響應(yīng)必然存在超調(diào)現(xiàn)象。

3-14上述系統(tǒng)，如在廠（“為常量時，加于系統(tǒng)的擾動，?）為階躍函數(shù)形式，是從環(huán)節(jié)及物

理作用上解釋，為何系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差等于零？如擾動，7。）為斜坡函數(shù)形式，為何擾動

穩(wěn)態(tài)誤差是與時間無關(guān)的常量？

在「（，）為常量的情況下，考慮擾動〃（。對系統(tǒng)的影響，可將框圖重畫如下

NG)

圖A-3-2題374系統(tǒng)框圖等效變換

c($)=E贏"臚)

根據(jù)終值定理，可求得“(f)為單位階躍函數(shù)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0,為單位斜坡函數(shù)

時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為O

從系統(tǒng)的物理作用上看，因為在反饋回路中有一個積分環(huán)節(jié)，所以系統(tǒng)對階躍函數(shù)的擾

動穩(wěn)態(tài)誤差為零。在反饋回路中的積分環(huán)節(jié)，當(dāng)輸出為常量時，可以在反饋端產(chǎn)生一個與時

問成正比的信號以和擾動信號乎衡，就使斜坡圖數(shù)的擾動愉入時，系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差與時間

無關(guān)。

3-15已知系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)檢驗其穩(wěn)定性。

4183

N240

(1)勞斯表有52630則系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定。

5130

5°3

112

/240

(2)勞斯表有s'-12勞斯陣列第一列符號改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù),

518

s')2

系統(tǒng)有兩個極點具有正實部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

551316

541910

d-66

(3)勞斯表有，勞斯陣列第一列符號改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù),

/1010

5112

S。1()

系統(tǒng)系統(tǒng)有兩個極點具有正實部,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

61584

396

264

(4)勞斯表有812系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，由輔助方程

34

4

3

s°4

A(s)=254+6s2+4可求得系統(tǒng)的兩對共拘虛數(shù)極點S12=土力§3.4=土/。

3-16根據(jù)下列單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。

(1)K>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)K>0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)0<K<3時，系統(tǒng)穩(wěn)定。

3-17已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=-K(5+1)—請在以K為橫坐

s(.+l)(2s+l)

標，7為縱坐標的平面上，確定系統(tǒng)為穩(wěn)定的區(qū)域。

系統(tǒng)的特征方程為D(s)=2玷3+(r+2)s2+(K+l)s+K=0

k+1

S7+2k

列寫勞斯表??+2)僅+1)—2",得出系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足的條件

s--

r+2

5°k

?+2)(K+l)-2水二0

r+2

由此得到和應(yīng)滿足的不等式和條件

0Vd(K+DK>]

K-\

K234591530100

T643.332.52.282.132.04

根據(jù)列表數(shù)據(jù)可繪制K為橫坐標、z■為縱坐標的曲線，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域為圖

A-3-3中的陰影部分。

1$<

圖A-3-3閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域

3-18已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=、K(S+5)(.S+4O)試求系統(tǒng)的

?(5+200)(5+1000)

臨界增益K,之值及無阻尼振蕩頻率值。

根據(jù)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得到特征方程

/+1200./+200000/+底+45ks+200k=0

列寫勞斯表

?120000045A

541200k2000

2.4x10—54xl0〃-200Z

0

12001200

1.7544-10味-公

$2200我

2.4x10-

7.787X1CP產(chǎn)一4553—096>1。以

sl

1.7544x10”-公

5°200k

根據(jù)勞斯判據(jù)可得

2Ax\^-k八

------------>0

1200

1.7544xl0U"

-----------：------->0

'2.4x108—2

7.787x10*_45/_().96x10。

--------------------?-----;--------->0

1.7544x10乜-公

2004>0

系統(tǒng)穩(wěn)定的K值花國為

1.22x106〈K<1.7535x1()8

當(dāng)&=1.22x106、K2=1.7535x1()8時，系統(tǒng)有一對共蜒虛數(shù)極點，此時產(chǎn)生等幅振蕩,

6

因此臨界增益K,=1.22x10以及Kc=1.7535x10"

根據(jù)勞斯表列寫=1.22x1。6時的輔助方程

1.7544x10"于O-吁xO)Z+200xL22xl()6=0

2.4X)08-1.22X106

解得系統(tǒng)的一對共板虛數(shù)極點為M2=6,系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率即為1Bradls。

8

Kc=1.7535x10時的輔助方程

1.7544xl08x1.7535xlO8-(1.7535xlO8)2

52+2(X)x1.7535x1()8=()

2.4x10s-1.7535xlO8

解得系統(tǒng)的一對共桅虛數(shù)極點為$.4=土/338,系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率為338md/s。

第四章

4-2設(shè)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求繪出當(dāng)開環(huán)增益所變化時系統(tǒng)的根軌

跡圖，并加簡要說明。

（D=~r

s（s++3）

系統(tǒng)開環(huán)極點為0,—1,—3,無開環(huán)零點。實軸與［-8,3］上有根枕跡，漸近線

相角牝=±60。,±180°,漸近線與實軸交點％二—1.33,由空?二（）可得出分離點為

dS

（-0.45J0）,與虛軸交點±jJ5（K1=12）。常規(guī)根軌跡如圖A-4-2所示。

G爪行高4不。）

方法步臊同上，實軸（-4,0］上有根軌跡，Q=±45°,±135°,%=-2,分離點

（一2,川）與（一2±J2.5）,與虛軸交點土jM（K［=260）o常規(guī)根軌跡如圖A-4-3所示。

圖A-4-3題4-2系統(tǒng)（2）常規(guī)根軌跡

4-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）=）勺一（1）試繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形,

5-（5+1）

并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。（2）若增加一個零點Z二-l,試問根軌跡圖有何變化，對系

統(tǒng)穩(wěn)定性有何影響？

⑴G（5）=^-

,V（54-2）

實軸［一8,-2］上有根故跡，0,=±6O°,b,=-O.67,由生=0可得出分離點為

dS

（0J0）,與虛軸交點為加（％=0）常規(guī)根軌跡如圖A-4-4（a）所示。從根擾跡圖可見，當(dāng)

K>0便有二個閉環(huán)極點位于右半s平面。所以無論K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

圖A4,題43系統(tǒng)（1）根航跡圖A4.5建43系統(tǒng)（2）根蛻及

圖A-4-4題4-3系統(tǒng)常規(guī)根就跡

⑵G(小船

實軸［—2,—1］上有根軌跡，e〃=±9(y,b〃=-0.5,分離點為(o,/o)；常規(guī)根軌跡如圖

A-4-4(b)所示。從根跳跡圖看，加了零點z=-l后，無論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

4-4設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)"(s)=J(s+2)試繪制下列條件下系統(tǒng)的常規(guī)

s(s+2s+a)

根軌跡(1)a=1(2)a=1.185(3)a=3

(1)a=1時，實軸(一2,0］上有根枕跡，心=為(T,a=0,分離點為(—0.38,0),常

規(guī)根航跡如圖圖A-4-5(1)

AMiAit

圖A-4-5(1)

(2)a=1.185時，實軸(-2,0］上有根軌跡，@,=±90」，CT=0,根軌跡與虛軸的交點為

(0,±j),常規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(2)

￡

2

^

2

?

-

圖A-4-5(2)

(3)a=3時，實軸(-2,0］上有根軌跡，/=±90°,b〃=0,根軌跡與虛軸的交點為(0,工力,

常規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(3)

RxtLocus

i-E

&

S

I

L

-

?18-1.8-1.4-1.2-1-0?-06-0.492

FWrtlA4U

圖A-4-5(3)

4-5求開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)"(s)=冬匕D的系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡(1)a=10(2)

s(s+a)

a=9(3)a=8(4)a=3

(D實軸［-io,-1］上有根航跡，0“=±9(y，a=-4.5,分離點為(o,川)，與虛軸交點為

川(&=0)。常規(guī)根枕跡大致圖形如圖A-4-6(1)

MlLOCO(

10

圖A-4-6(1)

(2)實軸［—9,—1］上有根軌跡，已=±90°,?！?-4,分離點為(0,JO),與虛軸交點為

川(％=0)。常規(guī)根軟跡大致圖形如圖A-4-6(2)

的UXU5

圖A-4-6(2)

(3)實軸上有根軌跡，0,=±90°,a=—3.5,分離點為(0,,/0),與虛軸交點為

/0(%=0)。常規(guī)根胱跡大致圖形如圖A-4-6(3)

s

a

x

y

A

J

C

U

a

n

E

-

RM