湖南省湘一名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案或解析

高一數(shù)學(xué)考生注意：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.2.已知圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，則該圓柱的體積為（）A.B.C.D.3已知集合，，則（）A.B.C.D.4.如圖，是平行四邊形的邊為（）A.B.C.D.5.已知，則（）第1頁(yè)/共5頁(yè)A.B.C.D.6.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)在平面外，是線段的中點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)中兩條直線不是異面直線的為（）A.與B.與C.與D.與7.如圖的方斗杯古時(shí)候常作為盛酒的容器，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)為面邊長(zhǎng)為.則該方斗杯的容積為（）A.B.C.D.8.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為.點(diǎn)是的圖象上一點(diǎn)，其中，點(diǎn)滿足，其中為原點(diǎn)，我們把的最大值稱為的“峰值”.若函數(shù)的峰值為，則（）A.1B.2C.3D.4二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量滿足，與的夾角為，則（）AB.C.與共線D.第2頁(yè)/共5頁(yè)10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定等邊三角形如圖，在直三棱柱中，，，，且，P為的中點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為4B.三棱錐的體積為C.四棱錐的體積為8D.三棱錐的表面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)且的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.13.已知向量滿足，則__________.14.在三棱錐中，底面是等腰直角三角形，，且與的面積之比為，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求的值及的最小正周期；（2）求使成立的的取值集合.16.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn).第3頁(yè)/共5頁(yè)（1）證明：平面；（2）若，且，求三棱錐的高.17.如圖，中，點(diǎn)C，D分別在線段OA和AB上，.（1）若，求的坐標(biāo)和模；（2）若AE與OD的交點(diǎn)為，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.18.已知復(fù)數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求.（2）若關(guān)于方程有兩個(gè)不同的根，且兩個(gè)根都能寫(xiě)成題中的形式，分別求下面兩種情況下的值：（i）兩個(gè)根都是實(shí)數(shù)；（ii）兩個(gè)根都是虛數(shù).19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，且.（1）求；（2）若為內(nèi)一點(diǎn)且，求長(zhǎng)度的最大值；（3）若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍.第4頁(yè)/共5頁(yè)高一數(shù)學(xué)考生注意：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2.已知圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，則該圓柱的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)側(cè)面積求出圓柱的高，利用體積公式可得答案.【詳解】設(shè)高為，因?yàn)閳A柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，所以，即.圓柱的體積為.故選：C3.已知集合，，則（）AB.C.D.第1頁(yè)/共16頁(yè)【答案】C【解析】【分析】先求解集合，然后根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：.4.如圖，是平行四邊形的邊為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量三角形法則,用向量分別表示，然后即可得解.【詳解】因?yàn)樗砸字?，又為的中點(diǎn)，所以，所以,，因此故選：A5.已知，則（）第2頁(yè)/共16頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)齊次式可得，進(jìn)而根據(jù)正切差角公式求解.【詳解】由得，故，因此，故選：D6.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)在平面外，是線段的中點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)中兩條直線不是異面直線的為（）A.與B.與C.與D.與【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】在正方形中，，所以在平面內(nèi)，不在直線上，又不在平面內(nèi)，所以與異面；因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，不在直線上，又不在平面內(nèi)，所以與異面；因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，不在直線上，又不在平面內(nèi)，所以與異面；第3頁(yè)/共16頁(yè)連接，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形的中心，又是線段的中點(diǎn)，所以，所以在平面內(nèi)，所以與不是異面直線.故選：.7.如圖的方斗杯古時(shí)候常作為盛酒的容器，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)為面邊長(zhǎng)為.則該方斗杯的容積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】、、、的中點(diǎn)分別為、、、臺(tái)與棱臺(tái)的體積之比，即可得該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e.【詳解】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，則，第4頁(yè)/共16頁(yè)設(shè)棱臺(tái)的高為，體積為，則棱臺(tái)的高為，設(shè)其體積為，則，則，所以，，所以，該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為.故選：B.8.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為.點(diǎn)是的圖象上一點(diǎn)，其中，點(diǎn)滿足，其中為原點(diǎn)，我們把的最大值稱為的“峰值”.若函數(shù)的峰值為，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先求解的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出最大值可得答案.【詳解】由題意，，，；，，令，則，令，，第5頁(yè)/共16頁(yè)由于，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.因?yàn)榈姆逯禐?，即的最大值為，所以，解得或（舍?故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量滿足，與的夾角為，則（）A.B.C.與共線D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得和，根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷；由向量共線定理可判斷；由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故正確；因?yàn)?，所以與不垂直，故不正確；因?yàn)?，所以，所以與共線，故正確；因?yàn)椋?，故，故正確.故選：.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則一定是等腰三角形第6頁(yè)/共16頁(yè)D.若，則一定等邊三角形【答案】BCD【解析】AB的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷C;利用正弦定理化邊為角即可判斷D；【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，滿足，而此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故時(shí)，有，又因?yàn)榇筮厡?duì)大角，小邊對(duì)小角即可得到，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所?即，故，又因?yàn)?故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，即，故，所?則一定是等邊三角形,故選項(xiàng)D正確；故選：BCD如圖，在直三棱柱中，，，，且，P為的中點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為4B.三棱錐的體積為C.四棱錐的體積為8D.三棱錐的表面積為【答案】ACD【解析】第7頁(yè)/共16頁(yè)【分析】借助幾何體的表面積和體積公式逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，而三棱錐與三棱錐有共同的高，∵P為的中點(diǎn)，∴，∴，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：由題可知，，，，∴，∴是直角三角形，，∴三棱錐的表面積為：，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)且的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，所以函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：13.已知向量滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律與求解.【詳解】由，則，即，則，即，第8頁(yè)/共16頁(yè)故，即.故答案為：.14.在三棱錐中，底面是等腰直角三角形，，且與的面積之比為，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，根據(jù)兩三角形面積之比求出，因?yàn)閮蓛纱怪?，故三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體外接球，從而得到外接球半徑，得到外接球表面積.【詳解】三角形是等腰直角三角形，，故⊥，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，平面，故⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，設(shè)，則，，故⊥，，與的面積之比為，故，解得，故，點(diǎn)都在球的球面上，因?yàn)閮蓛纱怪?，故三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體外接球，故外接球半徑為，第9頁(yè)/共16頁(yè)球的表面積為故答案為：四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求的值及的最小正周期；（2）求使成立的的取值集合.【答案】（1），最小正周期為（2）【解析】1）先化簡(jiǎn)函數(shù)利用最值求，利用周期公式求周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可.小問(wèn)1詳解】，因?yàn)樽畲笾禐?，所以；周期.【小問(wèn)2詳解】由可得，所以，解得，故使成立的的取值集合為.第10頁(yè)/共16頁(yè)16.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，且，求三棱錐的高.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出線線平行，再結(jié)合線面平行的判定證明即可；（2）利用等體積法可求答案.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.第11頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且，所以?所以面積為，設(shè)三棱錐的高為，則,，解得，即三棱錐的高為.17.如圖，在中，點(diǎn)C，D分別在線段OA和AB上，.（1）若，求的坐標(biāo)和模；（2）若AE與OD的交點(diǎn)為，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】1分別是即可求得坐標(biāo)，由模的坐標(biāo)公式即可求得的模；（2）由三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線且可知是邊中點(diǎn)，可建立一個(gè)分解后的向量恒等式，第12頁(yè)/共16頁(yè)從而建立關(guān)于的二元一次方程組，由此即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑥亩Y(jié)合圖形可知，這表明是的中位線，即分別是的中點(diǎn)，又，所以，.【小問(wèn)2詳解】由三點(diǎn)共線可知，存在使得，，同理由三點(diǎn)共線可知，且由（1）可知是邊中點(diǎn)，，而，所以，而顯然不共線，所以只能，解得.18.已知復(fù)數(shù).（1）若為純虛數(shù)，求.（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，且兩個(gè)根都能寫(xiě)成題中的形式，分別求下面兩種情況下的值：（i）兩個(gè)根都是實(shí)數(shù)；（ii）兩個(gè)根都是虛數(shù).【答案】（1）（2i）ii）【解析】1）根據(jù)純虛數(shù)定義即可求解；第13頁(yè)/共16頁(yè)（2i）由已知虛部為0，得到ii）由已知兩根為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)出兩根列方程組求出兩根，利用韋達(dá)定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)閮蓚€(gè)根都是實(shí)數(shù)，所以的虛部為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以方程的兩個(gè)根為和，所以，；（ii）因?yàn)閮蓚€(gè)根都是虛數(shù)，所以兩根為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)兩根分別為，，且，所以，解得或，所以，或，，所以，.19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，且.（1）求；（2）若為內(nèi)一點(diǎn)且，求長(zhǎng)度的最大值；（3）若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）第14頁(yè)/共16頁(yè)【解析】1）由正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊可得，再根據(jù)余弦定理即