江蘇省鹽城市五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試題卷面滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算的值是（）A.41 B.61 C.62 D.822.五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)同學(xué)計(jì)劃在本地一日游，若每人計(jì)劃只去“新四軍紀(jì)念館、大豐麋鹿自然保護(hù)區(qū)、西溪旅游文化景區(qū)”這三個(gè)景點(diǎn)中的一個(gè)景點(diǎn)，則不同的游覽方法共有（）A.40種 B.60種 C.125種 D.243種3.在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用r表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則（）A. B.1 C. D.24.已知，則（）A. B. C. D.25.若平面過點(diǎn)且該平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.6.現(xiàn)將7個(gè)不同的小球全部放入3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放2個(gè)小球，則不同的放法共有（）A210種 B.630種 C.1260種 D.1890種7.用數(shù)字4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，在這個(gè)數(shù)能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.1二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則下列選項(xiàng)中一定正確是（）A B.C.若，則 D.10.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中，正確的有（）A.第行中，從左到右看第個(gè)數(shù)最大 B.第行的所有數(shù)的和為C. D.11.已知球O是棱長為2的正方體的外接球，為球O的直徑，點(diǎn)P為該正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)P軌跡的長度為2C.最小值為D.的最大值為三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，滿分15分.12.已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則________.13.某電影院要在一天的A、B、C、D、E五個(gè)不同的時(shí)段分別安排《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》、《誤殺3》、《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》、《射雕英雄傳：俠之大者》、《長空之王》等6部電影中的一部，每部電影在當(dāng)天的五個(gè)時(shí)段中至多只安排一次，若A時(shí)段不安排《哪吒之魔童鬧?！?，E時(shí)段不安排《長空之王》，那么共有________種安排方式.（答案用數(shù)字表示）14.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率.某射擊運(yùn)動(dòng)愛好者進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止射擊.設(shè)表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，則________，________.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有8只不同的試驗(yàn)產(chǎn)品，其中有3只不合格品、5只合格品.現(xiàn)每次取1只測試，直到3只不合格品全部測出為止.（1）求最后1只不合格品正好在第3次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？（2）求最后1只不合格品正好在第4次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？16.如圖，長方體底面是邊長為2的正方形，高為6，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.已知的展開式的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求n的值；（2）展開式中的整式項(xiàng)共有幾項(xiàng)？（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)分別是第幾項(xiàng)？18.2025年4月24日我國成功發(fā)射了神舟二十號載人飛船，我校航天社團(tuán)于次日對本校學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，其中關(guān)于是否收看了現(xiàn)場直播的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人），已知從被訪談的同學(xué)中隨機(jī)抽取1人，抽到看現(xiàn)場直播的女同學(xué)的概率為.看現(xiàn)場直播未看現(xiàn)場直播男同學(xué)x女同學(xué)150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握認(rèn)為，觀看現(xiàn)場直播與學(xué)生性別有關(guān)？（3）為進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從看現(xiàn)場直播的同學(xué)中按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取2人，記這2人中女同學(xué)的人數(shù)為，求的分布列以及.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：010.010.001k2.7066.63510.82819.函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，解方程；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.

2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試題卷面滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算的值是（）A.41 B.61 C.62 D.82【答案】B【解析】分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：B2.五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)同學(xué)計(jì)劃在本地一日游，若每人計(jì)劃只去“新四軍紀(jì)念館、大豐麋鹿自然保護(hù)區(qū)、西溪旅游文化景區(qū)”這三個(gè)景點(diǎn)中的一個(gè)景點(diǎn)，則不同的游覽方法共有（）A.40種 B.60種 C.125種 D.243種【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理求不同的游覽方法數(shù).【詳解】由題設(shè)，每人都有3種選擇，故5個(gè)人不同的游覽方法有種.故選：D3.在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用r表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義直接得解.【詳解】由已知樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，則，又，所以滿足負(fù)相關(guān)，即.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，即可求解.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，，故選：D5.若平面過點(diǎn)且該平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間中點(diǎn)到平面距離公式求解.【詳解】，點(diǎn)到平面的距離，故選：A.6.現(xiàn)將7個(gè)不同的小球全部放入3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放2個(gè)小球，則不同的放法共有（）A.210種 B.630種 C.1260種 D.1890種【答案】B【解析】【分析】將7個(gè)小球按分成3組，再放到3個(gè)不同盒子里即可.【詳解】將7個(gè)小球按分成3組，有種分法，再將每種分法的3組小球放到3個(gè)不同盒子里有種方法，所以不同的放法種數(shù)是.故選：B7.用數(shù)字4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，在這個(gè)數(shù)能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記事件從中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被整除，記事件從中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被整除，利用排列計(jì)數(shù)原理求出的值，利用列舉法求出的值，再利用條件概率公式可求出的值.【詳解】記事件從中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被整除，記事件從中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被整除，4、5、6、7、8中能被整除的為，被除余數(shù)為的有：、，被除余數(shù)為的有：、，現(xiàn)考慮無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被整除，則所選的三個(gè)數(shù)應(yīng)從、選擇一個(gè)，從、中選擇一個(gè)，必選，4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)能被整除，則個(gè)位數(shù)必然為，所以，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)既能被整除，又能被整除的有：、、、，即，由條件概率公式可得.故選：C8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】通過分析與的符號情況，結(jié)合臨界值，進(jìn)行、、三類討論，即可得出恒成立，等價(jià)于，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】要使得在上恒成立，則，且無變號零點(diǎn)，分析與的符號情況如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，即，①當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；綜上，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.所以，令，g'a=當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則下列選項(xiàng)中一定正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】AC【解析】【分析】由期望的性質(zhì)求判斷A；由已知及正態(tài)分布的對稱性有判斷B；利用正態(tài)分布的對稱性得P(X>10)=P(X<8)=0.3，即可求判斷C；令判斷D.【詳解】由題設(shè)，則，A對；由及正態(tài)分布的對稱性，有，可得，B錯(cuò)；由，結(jié)合對稱性，則，所以，C對；當(dāng)，有，D錯(cuò).故選：AC10.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中，正確的有（）A.第行中，從左到右看第個(gè)數(shù)最大 B.第行的所有數(shù)的和為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的增減性可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷B選項(xiàng)；利用組合數(shù)的性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性可知，第行中共有個(gè)數(shù)，從左到右看第個(gè)數(shù)最大，A對；對于B選項(xiàng)，第行的所有數(shù)的和為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，C對；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：ACD.11.已知球O是棱長為2的正方體的外接球，為球O的直徑，點(diǎn)P為該正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)P軌跡的長度為2C.的最小值為D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A取線段的中點(diǎn)，在中利用余弦定理求即可；B先利用體積得出三棱錐的高，再證明平面，再結(jié)合點(diǎn)到平面的距離均為，即可找出點(diǎn)P軌跡；C利用向量的加法運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律得出，再求的最小值即可；D利用數(shù)量積的定義即可.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫€段中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，，且，則四邊形為平行四邊形，則，則直線與所成角的為或其補(bǔ)角，容易得，則在中利用余弦定理可得，，則直線與所成角的余弦值為，故A正確；連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，容易得的面積為，由題意可得，得，由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面，則，又，，平面，則平面，因，則點(diǎn)到平面的距離均為，因，平面，平面，則平面，同理可得平面，因點(diǎn)P為該正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為線段，軌跡長度為，故B錯(cuò)誤；依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：，又因?yàn)闉榍虻闹睆?，所以，即可得，又易知?dāng)點(diǎn)為正方體側(cè)面的中心時(shí)，最小，最小值為，則的最小值為，故C正確；因，則當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，滿分15分.12.已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量運(yùn)算法則可求.【詳解】∵，∴，即，解得.故答案為：.13.某電影院要在一天的A、B、C、D、E五個(gè)不同的時(shí)段分別安排《哪吒之魔童鬧?！?、《唐探1900》、《誤殺3》、《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》、《射雕英雄傳：俠之大者》、《長空之王》等6部電影中的一部，每部電影在當(dāng)天的五個(gè)時(shí)段中至多只安排一次，若A時(shí)段不安排《哪吒之魔童鬧?！?，E時(shí)段不安排《長空之王》，那么共有________種安排方式.（答案用數(shù)字表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)正難則反的思想，先求出不受限制條件下所有安排種數(shù)，然后排除三類不滿足條件的所有安排種數(shù)即可得解.【詳解】在排片不受時(shí)段限制的條件下，總共有種安排方式，不滿足題意的安排方式：第一類，A時(shí)段安排《哪吒之魔童鬧?！非褽時(shí)段不安排《長空之王》：若五個(gè)時(shí)段都不安排《長空之王》，則有種安排方式；若安排《長空之王》，則有種安排方式；則該類共有種安排方式；第二類，A時(shí)段不安排《哪吒之魔童鬧海》且E時(shí)段安排《長空之王》：若五個(gè)時(shí)段都不安排《哪吒之魔童鬧?！?，則有種安排方式；若安排《哪吒之魔童鬧?！?，則有種安排方式；則該類共有種安排方式；第三類，A時(shí)段安排《哪吒之魔童鬧?！非褽時(shí)段安排《長空之王》：共有種安排方式，綜上，滿足條件的安排方式共有：種，故答案為：14.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率.某射擊運(yùn)動(dòng)愛好者進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止射擊.設(shè)表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，則________，________.【答案】①.##②.【解析】【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式求，根據(jù)有，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式求出對應(yīng)概率，并由全概率公式求得，結(jié)合已知定義求.【詳解】由題意，，當(dāng)，則，而，所以，由題設(shè)，.故答案為：，四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有8只不同的試驗(yàn)產(chǎn)品，其中有3只不合格品、5只合格品.現(xiàn)每次取1只測試，直到3只不合格品全部測出為止.（1）求最后1只不合格品正好在第3次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？（2）求最后1只不合格品正好在第4次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？【答案】（1）6種；（2）90種.【解析】【分析】（1）由題意3次都取到不合格產(chǎn)品，應(yīng)用排列數(shù)求不同情形數(shù)；（2）由題意前3次取得2個(gè)不合格產(chǎn)品，1個(gè)合格產(chǎn)品，應(yīng)用排列組合數(shù)求不同情形數(shù)；【小問1詳解】最后1只不合格品正好在第3次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)，即3次都取到不合格產(chǎn)品，所以不同情形有種；【小問2詳解】最后1只不合格品正好在第4次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)，即前3次取得2個(gè)不合格產(chǎn)品，1個(gè)合格產(chǎn)品，所以不同情形有種.16.如圖，長方體底面是邊長為2的正方形，高為6，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，與必交于，連接，易得，再由線面平行的判定證明結(jié)論；（2）由（1）知直線與平面所成角，即為直線與平面所成角，再證平面平面，得到直線與平面所成角為或其補(bǔ)角，根據(jù)已知及二倍角正弦公式求夾角正弦值.【小問1詳解】連接，與必交于，且也是的中點(diǎn)，連接，在中，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由（1），則直線與平面所成角，即為直線與平面所成角，由平面，平面，故平面平面，且平面，又平面平面，所以直線在平面上的投影為直線，所以直線與直線所成角，即為直線與平面所成角，如圖或其補(bǔ)角，在矩形中，且，而，，所以.17.已知的展開式的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求n的值；（2）展開式中的整式項(xiàng)共有幾項(xiàng)？（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)分別是第幾項(xiàng)？【答案】（1）；（2）7；（3）系數(shù)最大項(xiàng)為第6項(xiàng)，系數(shù)最小項(xiàng)為第21項(xiàng).【解析】【分析】（1）由題設(shè)，應(yīng)用組合數(shù)公式得到組合數(shù)方程，求解即可；（2）寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，根據(jù)整式項(xiàng)的定義確定其項(xiàng)數(shù)；（3）由在上單調(diào)遞減，結(jié)合的大小判斷系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【小問1詳解】由題設(shè)，則，整理得，故（負(fù)值舍）.【小問2詳解】由（1）知二項(xiàng)式為，展開式通項(xiàng)為，，所以時(shí)，均為整式項(xiàng)，共有7項(xiàng)；【小問3詳解】由在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，故在上先增后減，且，故系數(shù)最大項(xiàng)為第6項(xiàng)，系數(shù)最小項(xiàng)為第21項(xiàng).18.2025年4月24日我國成功發(fā)射了神舟二十號載人飛船，我校航天社團(tuán)于次日對本校學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，其中關(guān)于是否收看了現(xiàn)場直播的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人），已知從被訪談的同學(xué)中隨機(jī)抽取1人，抽到看現(xiàn)場直播的女同學(xué)的概率為.看現(xiàn)場直播未看現(xiàn)場直播男同學(xué)x女同學(xué)150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握認(rèn)為，觀看現(xiàn)場直播與學(xué)生性別有關(guān)？（3）為進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從看現(xiàn)場直播的同學(xué)中按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取2人，記這2人中女同學(xué)的人數(shù)為，求的分布列以及.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.10.010.001k2.7066.63510.828【答案】（1）；（2）有99.9%以上的把