2025年考研信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換真題試卷解析

2025年考研信號(hào)與系統(tǒng)傅里葉變換真題試卷解析一、選擇題（共10題，每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)？A.f(t)=e^(-t)B.f(t)=sin(2πt)C.f(t)=t^2D.f(t)=|t|2.下列哪個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|3.下列哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|4.下列哪個(gè)函數(shù)是實(shí)函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|5.下列哪個(gè)函數(shù)是復(fù)函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|6.下列哪個(gè)函數(shù)是時(shí)域連續(xù)函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|7.下列哪個(gè)函數(shù)是時(shí)域離散函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|8.下列哪個(gè)函數(shù)是周期離散函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|9.下列哪個(gè)函數(shù)是實(shí)頻域函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|10.下列哪個(gè)函數(shù)是復(fù)頻域函數(shù)？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|二、填空題（共10題，每題2分，共20分）1.信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念包括：時(shí)域、頻域、線性、時(shí)不變、因果等。2.傅里葉變換的基本公式為：F{f(t)}=∫f(t)e^(-jωt)dt。3.傅里葉變換的逆變換公式為：f(t)=(1/2π)∫F{f(t)}e^(jωt)dω。4.傅里葉變換的性質(zhì)包括：時(shí)域卷積定理、頻域卷積定理、時(shí)域平移定理、頻域平移定理等。5.傅里葉變換的時(shí)域微分定理為：f'(t)?jωF{f(t)}。6.傅里葉變換的頻域微分定理為：dωF{f(t)}?-jtf(t)。7.傅里葉變換的時(shí)域積分定理為：∫f(t)dt?(1/2π)F{f(t)}。8.傅里葉變換的頻域積分定理為：∫F{f(t)}dω?(1/2π)f(t)。9.傅里葉變換的時(shí)域反轉(zhuǎn)定理為：f(-t)?F{f(t)}。10.傅里葉變換的頻域反轉(zhuǎn)定理為：F{f(t)}?F{f(-t)}。三、計(jì)算題（共10題，每題5分，共50分）1.已知函數(shù)f(t)=e^(-at)u(t)，其中a>0，求其傅里葉變換F{f(t)}。2.已知函數(shù)f(t)=t^2u(t)，求其傅里葉變換F{f(t)}。3.已知函數(shù)f(t)=cos(2πt)u(t)，求其傅里葉變換F{f(t)}。4.已知函數(shù)f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里葉變換F{f(t)}。5.已知函數(shù)f(t)=t^3u(t)，求其傅里葉變換F{f(t)}。6.已知函數(shù)f(t)=cos(3πt)sin(2πt)u(t)，求其傅里葉變換F{f(t)}。7.已知函數(shù)f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里葉逆變換f(t)。8.已知函數(shù)f(t)=t^2u(t)，求其傅里葉逆變換f(t)。9.已知函數(shù)f(t)=cos(2πt)u(t)，求其傅里葉逆變換f(t)。10.已知函數(shù)f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里葉逆變換f(t)。四、證明題（共1題，共10分）4.證明傅里葉變換的時(shí)域卷積定理：若f(t)和g(t)是兩個(gè)實(shí)函數(shù)，則它們的時(shí)域卷積等于它們頻域乘積的逆變換，即(f*g)(t)=(1/2π)∫F{f(τ)}F{g(t-τ)}dτ。五、應(yīng)用題（共1題，共10分）5.已知信號(hào)f(t)=e^(-at)u(t)，其中a>0，求其頻域函數(shù)F{f(t)}，并分析其頻譜特性。六、綜合題（共1題，共20分）6.設(shè)信號(hào)f(t)=t^2u(t)，其中u(t)為單位階躍函數(shù)，求其傅里葉變換F{f(t)}，并畫(huà)出其頻譜圖。接著，對(duì)f(t)進(jìn)行頻域卷積操作，設(shè)卷積函數(shù)為g(t)=e^(-t)u(t)，求卷積結(jié)果f(t)*g(t)的時(shí)域表達(dá)式，并分析其特性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：周期函數(shù)滿足f(t+T)=f(t)，其中T為周期。sin(2πt)是周期函數(shù)，周期為T(mén)=2π。2.B解析：偶函數(shù)滿足f(-t)=f(t)。cos(2πt)是偶函數(shù)，因?yàn)閏os(-2πt)=cos(2πt)。3.A解析：奇函數(shù)滿足f(-t)=-f(t)。sin(2πt)是奇函數(shù)，因?yàn)閟in(-2πt)=-sin(2πt)。4.A解析：實(shí)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)。sin(2πt)是實(shí)函數(shù)。5.D解析：復(fù)函數(shù)是定義在復(fù)數(shù)域上的函數(shù)。|t|是復(fù)函數(shù)，因?yàn)榭梢匀?fù)數(shù)值。6.B解析：時(shí)域連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)沒(méi)有間斷點(diǎn)。sin(2πt)是時(shí)域連續(xù)函數(shù)。7.A解析：時(shí)域離散函數(shù)是在離散時(shí)間點(diǎn)上有定義的函數(shù)。sin(2πt)在離散時(shí)間點(diǎn)上有定義。8.A解析：周期離散函數(shù)滿足f(nT+k)=f(nT+k-T)，其中n和k是整數(shù)。sin(2πt)滿足此性質(zhì)。9.A解析：實(shí)頻域函數(shù)的頻譜是實(shí)數(shù)。sin(2πt)的頻譜是實(shí)數(shù)。10.B解析：復(fù)頻域函數(shù)的頻譜是復(fù)數(shù)。cos(2πt)的頻譜是復(fù)數(shù)。二、填空題1.信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念包括：時(shí)域、頻域、線性、時(shí)不變、因果等。2.傅里葉變換的基本公式為：F{f(t)}=∫f(t)e^(-jωt)dt。3.傅里葉變換的逆變換公式為：f(t)=(1/2π)∫F{f(t)}e^(jωt)dω。4.傅里葉變換的性質(zhì)包括：時(shí)域卷積定理、頻域卷積定理、時(shí)域平移定理、頻域平移定理等。5.傅里葉變換的時(shí)域微分定理為：f'(t)?jωF{f(t)}。6.傅里葉變換的頻域微分定理為：dωF{f(t)}?-jtf(t)。7.傅里葉變換的時(shí)域積分定理為：∫f(t)dt?(1/2π)F{f(t)}。8.傅里葉變換的頻域積分定理為：∫F{f(t)}dω?(1/2π)f(t)。9.傅里葉變換的時(shí)域反轉(zhuǎn)定理為：f(-t)?F{f(t)}。10.傅里葉變換的頻域反轉(zhuǎn)定理為：F{f(t)}?F{f(-t)}。三、計(jì)算題1.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)解析：使用傅里葉變換的定義，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。2.解：F{f(t)}=(2jω/ω^3)u(-jω)解析：使用傅里葉變換的定義，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。3.解：F{f(t)}=πδ(ω-1)+πδ(ω+1)解析：使用傅里葉變換的性質(zhì)和狄拉克δ函數(shù)，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。4.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)解析：使用傅里葉變換的性質(zhì)，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。5.解：F{f(t)}=(2jω/ω^3)u(-jω)解析：使用傅里葉變換的性質(zhì)，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。6.解：F{f(t)}=πδ(ω-3)+πδ(ω+1)解析：使用傅里葉變換的性質(zhì)和狄拉克δ函數(shù)，將f(t)代入公式計(jì)算得到結(jié)果。7.解：f(t)=(1/a+jω)e^(jωa)u(jω)解析：使用傅里葉逆變換的定義，將F{f(t)}代入公式計(jì)算得到結(jié)果。8.解：f(t)=(1/2)τ^2u(τ)解析：使用傅里葉逆變換的性質(zhì)，將F{f(t)}代入公式計(jì)算得到結(jié)果。9.解：f(t)=cos(2πt)u(t)解析：使用傅里葉逆變換的性質(zhì)，將F{f(t)}代入公式計(jì)算得到結(jié)果。10.解：f(t)=(1/a+jω)e^(jωa)u(jω)解析：使用傅里葉逆變換的性質(zhì)，將F{f(t)}代入公式計(jì)算得到結(jié)果。四、證明題4.解：證明：設(shè)F{f(t)}=F1(ω)和F{g(t)}=F2(ω)，則有f(t)*g(t)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。根據(jù)傅里葉變換的定義，對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換得到：F{f(t)*g(t)}=F1(ω)F2(ω)。由于F{f(t)*g(t)}=F{f(t)}*F{g(t)}，所以有F1(ω)F2(ω)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。對(duì)上式兩邊同時(shí)取傅里葉逆變換得到：f(t)*g(t)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。證畢。五、應(yīng)用題5.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)，頻譜特性：當(dāng)ω=0時(shí)，幅度為1/a，隨著ω增加，幅度逐漸減小。解析：使用傅里葉變換的性質(zhì)和單位階躍函數(shù)的