2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)精練學(xué)案必刷小題3 基本初等函數(shù)(2份打包原卷版+含解析)_第1頁
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2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)精練學(xué)案必刷小題3基本初等函數(shù)(2份打包,原卷版+含解析)一、選擇題要求:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定義域?yàn)?(a,b]$,則$a$的取值為:(A)$\frac{1}{3}$(B)$\frac{2}{3}$(C)$1$(D)$2$2.函數(shù)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的圖像為:(A)(B)(C)(D)二、填空題要求:請直接寫出各小題答案。3.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的值域?yàn)開_____。4.已知函數(shù)$y=\sin^2x-\cos^2x$,則$y=\sin2x$的值為______。三、解答題要求:請寫出解答過程。5.(1)若函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定義域?yàn)?[a,b]$,求$a+b$的值。(2)若函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。6.已知函數(shù)$h(x)=2^x-2^x\cos2x$,求證:$h(x)$在$R$上為增函數(shù)。7.已知函數(shù)$F(x)=x^3-3ax^2+3x-a$在$(0,2)$上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。四、解答題要求:請寫出解答過程。8.(1)若函數(shù)$y=\frac{x}{x+1}$的圖像與直線$y=kx+b$相交于點(diǎn)$A$和點(diǎn)$B$,其中點(diǎn)$A$在$x$軸上方,點(diǎn)$B$在$x$軸下方,且$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,0)$,求直線$y=kx+b$的方程。(2)若函數(shù)$y=\sqrt{1-x^2}$的圖像與直線$y=mx$相交于點(diǎn)$C$和點(diǎn)$D$,且$CD$的長度為$\sqrt{3}$,求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。五、解答題要求:請寫出解答過程。9.(1)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$,求$f(x)$的極值。(2)若函數(shù)$g(x)=ax^2+bx+c$在區(qū)間$[-1,2]$上單調(diào)遞增,且$g(0)=3$,$g(1)=2$,求實(shí)數(shù)$a$、$b$、$c$的值。六、解答題要求:請寫出解答過程。10.(1)已知函數(shù)$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$,求$h(x)$的導(dǎo)數(shù)。(2)若函數(shù)$F(x)=e^x-\ln(x+1)$在區(qū)間$[0,2]$上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)$x$的取值范圍。本次試卷答案如下:一、選擇題1.答案:(B)$\frac{2}{3}$解析:函數(shù)$f(x)=2\sqrt{3x-1}$的定義域要求根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式非負(fù),即$3x-1\geq0$,解得$x\geq\frac{1}{3}$。因此,定義域?yàn)?[\frac{1}{3},+\infty)$,所以$a=\frac{1}{3}$。2.答案:(C)解析:函數(shù)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$的底數(shù)小于1,所以函數(shù)是遞減的。當(dāng)$x=0$時(shí),$y=\log_{\frac{1}{2}}(1)=0$,所以圖像過點(diǎn)$(0,0)$。由于底數(shù)小于1,圖像在$x$軸的右側(cè),故選C。二、填空題3.答案:$[0,+\infty)$解析:函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$可以重寫為$f(x)=\sqrt{(x-2)^2-1}$,由于平方根內(nèi)的表達(dá)式非負(fù),所以$x^2-4x+3\geq0$,解得$x\leq1$或$x\geq3$。因此,函數(shù)的值域?yàn)?[0,+\infty)$。4.答案:$-1$解析:由于$\sin^2x-\cos^2x=\sin2x$,所以直接代入$\sin2x$的值即可得到$y=\sin2x$的值為$-1$。三、解答題5.答案:(1)$a+b=2$解析:由$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$的定義域可知,$x-1>0$且$x-2>0$,解得$x>1$且$x>2$,所以$a=2$。又因?yàn)槎x域?yàn)?[a,b]$,所以$b$是定義域的上界,即$b$是$x$的最大值,所以$b=3$,因此$a+b=2+3=5$。(2)$a\leq0$解析:函數(shù)$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$在$(0,1)$上單調(diào)遞增,意味著其導(dǎo)數(shù)$g'(x)$在$(0,1)$上非負(fù)。計(jì)算導(dǎo)數(shù)得$g'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$,由于$x^2$和$(x+1)^2$在$(0,1)$上都是正數(shù),所以$g'(x)>0$,即$a\leq0$。6.答案:$h(x)$在$R$上為增函數(shù)解析:函數(shù)$h(x)=2^x-2^x\cos2x$的導(dǎo)數(shù)為$h'(x)=2^x\ln2-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$2^x$總是正數(shù),而$\ln2$也是正數(shù),因此$h'(x)$的符號(hào)取決于$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$。由于$\cos2x$和$\sin2x$的取值范圍在$[-1,1]$之間,所以$-2^x\cos2x\cdot\ln2-2^x\sin2x$總是非負(fù)的,從而$h'(x)\geq0$,即$h(x)$在$R$上為增函數(shù)。四、解答題8.答案:(1)$y=2x-2$解析:由于$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,0)$,所以$A$和$B$的橫坐標(biāo)之和為$4$。設(shè)$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,則有$x_1+x_2=4$。又因?yàn)?A$和$B$在函數(shù)$y=\frac{x}{x+1}$的圖像上,所以$y_1=\frac{x_1}{x_1+1}$,$y_2=\frac{x_2}{x_2+1}$。由于$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,0)$,所以$y_1+y_2=0$,即$\frac{x_1}{x_1+1}+\frac{x_2}{x_2+1}=0$。解這個(gè)方程組得到$x_1=2$,$x_2=2$,所以$A$和$B$的坐標(biāo)都是$(2,0)$,因此直線$y=kx+b$的方程為$y=2x-2$。(2)$m\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$解析:函數(shù)$y=\sqrt{1-x^2}$的圖像是單位圓的上半部分,直線$y=mx$與單位圓相交于點(diǎn)$C$和點(diǎn)$D$。由于$CD$的長度為$\sqrt{3}$,所以$C$和$D$到原點(diǎn)的距離都是$1$。這意味著$C$和$D$的坐標(biāo)滿足$x^2+y^2=1$和$y=mx$。將$y=mx$代入$x^2+y^2=1$得到$(1+m^2)x^2-mx=0$。由于$C$和$D$是不同的點(diǎn),所以$x$不能為$0$,因此$m^2=1$,解得$m=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。五、解答題9.答案:(1)極大值$f(1)=0$,極小值$f(-1)=-3$解析:函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$得到$x^2=1$,解得$x=1$或$x=-1$。由于$f'(x)$在$x=-1$時(shí)由負(fù)變正,所以$x=-1$是極小值點(diǎn),$f(-1)=-3$;在$x=1$時(shí)由正變負(fù),所以$x=1$是極大值點(diǎn),$f(1)=0$。(2)$a=1$,$b=-2$,$c=3$解析:由于$g(x)=ax^2+bx+c$在區(qū)間$[-1,2]$上單調(diào)遞增,所以$a>0$。又因?yàn)?g(0)=3$,$g(1)=2$,所以$c=3$,$a+b+c=2$。又因?yàn)?g(2)=2a+2b+c$,且$g(x)$在$[-1,2]$上單調(diào)遞增,所以$g(2)>g(1)$,即$2a+2b+c>2$。結(jié)合$a+b+c=2$,解得$a=1$,$b=-2$。六、解答題10.答案:(1)$h'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$解析:函數(shù)$h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$的導(dǎo)數(shù)為$h'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)合并得到$h'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2}{x^2-1}$。(2)$x\in(0,1)\cup(1,2)$解析:函數(shù)$F(x)=e^x-\ln(x+1)$的導(dǎo)數(shù)為$F'(x)=e^x-\frac{1}{x+1}$。由于$e^x$總是正數(shù),而$\frac{

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