廣東省東莞市海德實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析）

東莞市海德實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡上交監(jiān)考老師．4．測試范圍：人教A版2019，選擇性必修第二冊第五章．5．難度系數(shù)：0.5-0.55．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成即可得到.【詳解】因為所以故選：B2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用積的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得.故選：B3.若函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得有兩個不相等的零點，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在等式兩邊求導(dǎo)，令，可求得的值，可得出的表達式，代值計算可得出的值.【詳解】因為，則，所以，，解得，所以，，因此，.故選：A.5.已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（）A.6 B.6或2 C.2 D.4或2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在處有極大值，得出，解出的值，代入檢驗，即可得出答案．【詳解】因為函數(shù)，所以，因為在處有極大值，所以，即，解得或，當(dāng)時，，令，解得或，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，所以時取得極小值，不合題意，舍去；當(dāng)時，，令，解得或當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，所以時取得極大值，符合題意.所以的值為6，故選：A．6.已知函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)圖象的特殊點以及單調(diào)性逐一判斷可得解.【詳解】由圖象可知，故BD不成立；對于A選項：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，不符合圖象，故A不成立；故選：C7.我們熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點”．若函數(shù)，，的“躺平點”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“躺平點”新定義，可解得，，利用零點存在定理可得，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，，又，則，解得；同理，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點，；又，則，解得；所以.故選：C.8.已知函數(shù)，若對任意，有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得出，最后應(yīng)用結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，所以,令,因為，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，因為，所以為偶函數(shù)，因為，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖顯示物體甲、乙在時間到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的是（）A.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度B.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度等于乙的平均速度C.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均速度的公式結(jié)合條件即可判斷.【詳解】在0到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故A錯誤,B正確；在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故C正確，D錯誤．故選：BC．10.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的定義域為，是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助新函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，而的大小不確定．故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有極大值B.有極小值C.無最大值D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的定義域為，且，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可得出合適的選項.【詳解】對于函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，且，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的極小值為，無極大值，當(dāng)時，，故函數(shù)無最大值，函數(shù)在上單調(diào)遞增，BCD都對，A錯.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【解析】【分析】通過求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)小于零的不等式，結(jié)合定義域求解集即可.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)可得，令，因為，所以解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.13.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，

所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．14.已知兩個函數(shù)和.（其中為實數(shù)），若對，，使成立，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)將問題化為在上，并利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上最大值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，則在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，要使對，，使成立，所以，只需在上，則，可得.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：在上為解題的關(guān)鍵.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù)在處取得極大值2．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1），（2）最大值為6，最小值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的極值列方程即可求得的值；（2）由（1）確定函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性即可得最值.【小問1詳解】函數(shù)，解得，所以，得所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)在處取得極大值，符合題意則，【小問2詳解】由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以的最大值為6，最小值為16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求出，然后利用點斜式即可求出切線方程；（2）分類討論，當(dāng)時、當(dāng)時，的正負(fù)情況，再判斷單調(diào)性，從而確定極值.小問1詳解】函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，，，因而，所以曲線在點處的切線方程為，即.小問2詳解】由，①當(dāng)時，，函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)無極值；②當(dāng)時，令，解得，所以時，，在上的單調(diào)遞減，時，，在上的單調(diào)遞增.所以函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，無極大值.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，無極大值.17.設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用極小值點的定義求解即可；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為對任意，恒成立，令，則在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，極小值為.【小問2詳解】因為對任意，恒成立，即對任意，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，令，則，所以在上恒成立，又因為的對稱軸為，所以恒成立只需，解得，所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）若1是函數(shù)的極值點，求的值；（2）若，試問是否存在零點．若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合極值點的定義可得，計算驗證即可求解；（2）利用二次求導(dǎo)和零點的存在性定理討論函數(shù)的單調(diào)性，求出即可下結(jié)論.【小問1詳解】，定義域是，．1是函數(shù)的極值點，，解得，經(jīng)檢驗符合題意，.【小問2詳解】令，即，令，則．令，則，令解得，而，且為增函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨向于0時，趨向于，即，，，故存，使得，即，故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故，因為，所以，且，故，即無零點．【點睛】方法點睛：對于函數(shù)極值點問題，通常先對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為的性質(zhì)列方程求解，最后要進行檢驗，確保該點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號.研究函數(shù)零點問題，可通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值情況，結(jié)合零點存在性定理進行判斷.當(dāng)無法直接求出零點時，分析函數(shù)的最小值與的大小關(guān)系是常用方法.19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，結(jié)合單調(diào)遞增只需證，再根據(jù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】，則，令，得，若函數(shù)有兩個零點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．設(shè)，則．當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單