廣東省東莞市翰林實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁數(shù)學(xué)學(xué)科高一年級期中考試試題卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.下列關(guān)于向量，說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則與夾角為鈍角 D.【答案】D【解析】【分析】對于，當(dāng)時與不一定共線；對于，當(dāng)時不一定等于；對于，當(dāng)時，滿足；對于，根據(jù)向量的運算性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于，當(dāng)時，滿足，但與不一定共線，故錯誤；對于，當(dāng)時，，但不一定等于，故錯誤；對于，當(dāng)時，滿足，此時與夾角不是鈍角，故錯誤；對于，根據(jù)向量的運算性質(zhì)可知，故正確.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.i B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算即得結(jié)果.【詳解】由已知，所以.故選：D.3.如圖，測量河對岸的塔高AB時，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求答案.【詳解】因為，，所以，由正弦定理可得，即，因為點C測得塔頂A的仰角為，所以.故選：C4.如圖是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法，把直觀圖還原出原平面圖形，再求出原平面圖形的面積，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，因為直觀圖中，軸，軸，所以四邊形是一個上底為，下底為，高為的直角梯形，則原四邊形的面積．故選：C．5.如圖，伊麗莎白圈是小動物戴在頸子上防止他們自己抓撓傷口和患處或咬傷他人的一種保護器具，其形狀可看作上下均無底蓋的圓臺形物體.某個伊麗莎白圈的上底面直徑為4分米，下底面直徑為2分米，母線長為3分米，若要在伊麗莎白圈與寵物接觸的一面進行涂層，每平方分米需要消耗5克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處，則制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】A【解析】【分析】求出圓臺的側(cè)面積，計算得解.【詳解】將伊麗莎白圈看作上下均無底蓋的圓臺，則制作該伊麗莎白圈需要涂層的面積等價于圓臺的側(cè)面積，圓臺的側(cè)面積，因為每平方分米需要消耗5克涂層材料，所以制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料克．故選：A．6.如圖，在正方體中，分別是棱，，，，，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線和平行，和相交B.直線和平行，和相交C.直線和相交，和異面D.直線和面，和異面【答案】B【解析】【分析】利用異面直線的定義，結(jié)合正方體的特點判斷即可.【詳解】由正方體的特點易證：∥，又分別為所在棱的中點，且面，平面，由一面直線的定義可知與異面；連接，則易證：∥，則與共面，且和相交故選：B.【點睛】本題考查空間幾何體中平行關(guān)系的判斷及異面直線的判斷問題，較易.7.如圖，在矩形中，均為邊長2的等邊三角形，為六邊形邊上的動點（含端點），則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，求出在方向上投影的數(shù)量，再利用數(shù)量積的定義求出范圍.【詳解】令在方向上投影的數(shù)量為，當(dāng)點在線段上時，；當(dāng)點在線段上（不含點）時，；當(dāng)點在線段上（不含點）時，，則當(dāng)點在折線上時，，同理當(dāng)點在折線上時，，因此點為六邊形邊上運動時，，于是，所以的取值范圍為.故選：B8.如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P.以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個球和一個圓臺.給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）①圓臺的母線長為4；②球的直徑為；③將圓臺的母線延長交DA的延長線于點H，則得到的圓錐的高為；④點P的軌跡的長度是．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由球體、圓臺的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及已知條件確定圓臺的母線長、高和球的半徑，再根據(jù)圓錐與圓臺的相關(guān)線段相似比求得圓錐的高，進而求得點的軌跡，由此得出結(jié)論是否正確，得到答案.【詳解】對于①中，由題意知，圓臺的上下底面半徑分別為，設(shè)圓臺的母線長為，高為，則球的直徑為，因為與半圓相切于點，則，所以，所以①不正確；對于②中，過點作于點，則，所以，所以球的直徑為，所以②不正確；對于③中，因為，可得，則，所以，所以③正確；對于④中，過點作于點，延長與交于，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，作與點，可得，則，即，解得，所以點P的軌跡的長度是，所以④錯誤.故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)滿足，，其中是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，則下列正確的是（）A.的虛部為B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限C.是純虛數(shù)D.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，則【答案】BCD【解析】【分析】由已知，解得，，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及運算性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，，解得，，所以的虛部為，故A錯誤；又，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，故B正確；又，故C正確；若是方程的一個根，則方程的另一根為，根據(jù)韋達定理有，，解得，，所以，故D正確.故選：BCD.10.在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則為直角三角形C.若為銳角三角形，的最小值為1D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.【詳解】對于中，由正弦定理得，由，得，即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即，A正確；對于B，若，結(jié)合和正弦定理知，又，所以可得，B正確；對于，在銳角中，，即.故，C錯誤；對于，在銳角中，由，，令，則，易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為6，P是AB的中點，是正方體的表面及其內(nèi)部一動點，則下列說法正確的是（）A.正方體內(nèi)切球的表面積為B.若，則動點的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為C.若點是的外心，則D.若動點滿足，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由球的體積以及表面積公式即可判斷AB，由，結(jié)合數(shù)量積的運算律代入計算，即可判斷C，由題意可得三點共線，然后將正方體展開，結(jié)合勾股定理代入計算，即可判斷D【詳解】對于A，因為正方體的棱長為，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的表面積為，故A正確；對于B，由條件可知，點的軌跡是以為球心，為半徑的球的，則的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為，故B錯誤；對于C，因為是以為邊長的等邊三角形，若點是的外心，即是的重心，由重心定理可得，則，故C正確；對于D，若動點滿足，由三點共線定理可知，三點共線，即點在線段上，將平展在一個平面中，如圖所示：則，故，故的最小值為，故D正確.故選：ACD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合為圖形，則圖形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因為，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是以點為圓心，5為半徑的圓，圖形的面積為.故答案為：13.由于四邊形不具有穩(wěn)定性，所以求四邊形面積公式需要有限制條件.我們將四個點在圓上的四邊形稱為圓內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形具有對角互補的性質(zhì).印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多發(fā)現(xiàn)了圓內(nèi)接四邊形的面積公式為，其中、、、分別為圓內(nèi)接四邊形的4條邊，，與海倫公式有類似之處.已知在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為__________．【答案】【解析】【分析】連接，利用余弦定理得到的長，再利用圓內(nèi)接四邊形的面積公式即可得到答案.【詳解】連接，因為在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，所以，在中，由余弦定理得，在中，，，即，解得或（舍去），則，所以圓內(nèi)接四邊形的面積.故答案為：.14.在中，是邊上靠近的四等分點，過點的直線分別交直線于不同的兩點，設(shè)，其中，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，再利用共線向量定理的推論及基本不等式求出最大值.【詳解】在中，由是邊上靠近的四等分點，得，則，而，則，由共線，得，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，，所以當(dāng)時，取得最大值.故答案為：四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知，復(fù)數(shù)．（1）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求的取值范圍；（2）若z滿足，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，進而列出不等式組求解.（2）利用給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出，再利用復(fù)數(shù)除法及模的意義求解.【小問1詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，得，解得，所以的取值范圍是.【小問2詳解】依題意，，又，則，解得，，所以.16.已知單位向量，，夾角為，，，且與的夾角為．（1）若與所成的角為銳角，求實數(shù)的取值范圍；（2）若向量為在上的投影向量，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，先求出m，根據(jù)向量夾角是銳角列不等式，由此求得實數(shù)m的取值范圍；（2）求出，則可求出，即可求得．【小問1詳解】因為單位向量，，夾角為，，，則，又，，所以，解得，所以，，則由題可知，解得．所以實數(shù)的取值范圍為．【小問2詳解】由（1）知，，向量為在上的投影向量，則，且，則，所以．17.如圖，長方體的長、寬、高分別為x，y，2，且，．（1）當(dāng)?shù)酌鏋檎叫螘r，求長方體的表面積和體積；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）記三棱錐外接球的表面積為，底面ABCD的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）表面積為10，體積為2（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知，利用長方體表面積和體積計算方法計算即可；（2）由圖和已知可知三棱錐的體積為長方體的體積減去四個全等的三棱錐的體積，由表示出后，利用基本不等式即可求出最大值；（3）由題可知，三棱錐的外接球即長方體的外接球，則由表示出后代入并化簡，利用基本不等式即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為底面為正方形，所以，則長方體的表面積為，體積為.【小問2詳解】由圖和已知，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為.【小問3詳解】由題可知，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)該外接球的半徑為則，所以，則，令，則，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的取值范圍為.18.已知a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．（1）判斷的形狀；（2）若D為AC的中點，且，求面積的最大值及此時的三邊長．【答案】（1）等腰三角形．（2）最大值為6，【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理、余弦定理，從邊的角度判斷三角形的形狀.方法二：利用正弦定理實現(xiàn)邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和公式與兩角和的余弦公式，從角的角度判斷三角形的形狀.（2）方法一：在和中，利用余弦定理表示，列式可得的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值及對應(yīng)的邊長.方法二：建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法探索的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值及對應(yīng)的邊長.【小問1詳解】法一：，由正弦定理得，由余弦定理得，化簡得，即，故為等腰三角形．法二：，由正弦定理得，整理得，即，，即，，整理得，即，故等腰三角形．【小問2詳解】法一：由為的中點，且，可得，由余弦定理得，，整理得，如圖1，過點向作垂線，垂足為點，由（1）易知，在中，由勾股定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時面積的最大值為6，由解得，綜上，面積的最大值為6，此時．法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖2，由（1）可得，由為的中點可得，因為，由兩點間距離公式可得，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時面積的最大值為6，由，可得，則，綜上，面積的最大值為6，此時.19.設(shè)是平面內(nèi)相交成的兩條射線，分別是與同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.（1）在仿射坐標(biāo)系中①若，求；②若且與的夾角為，求；（2）如圖所