河南省駐馬店市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(北師大版)（解析）

高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第五～七章，選擇性必修第二冊(cè)第一章～第二章第6節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）A.第4次投籃命中 B.第4次投籃未命中C.前3次投籃均未命中 D.投籃命中4次【答案】C【解析】【分析】根據(jù)變量的意義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)變量的意義可知：表示前3次投籃均未命中，可以進(jìn)行第四次投籃，則投籃次數(shù)為4次.故選：C2.在等比數(shù)列中，，，則的公比為（）A B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式計(jì)算.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以且，，，所以.故選：B3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后令即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，從而，解?故選：C.4.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為240，且只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可求出n，再出寫(xiě)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為偶數(shù)，且解得，的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為令，解得，常數(shù)項(xiàng)為，解得，故選：．5.現(xiàn)有兩位游客去四川旅游，他們分別從成都、九寨溝、黃龍、峨眉山、樂(lè)山大佛、熊貓基地、都江堰這7個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件“兩位游客中至少有一人選擇九寨溝”，事件“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求和，再利用條件概率公式求值.【詳解】事件的對(duì)立事件為：“兩位游客無(wú)人人選擇九寨溝”，所以，又，所以.故選：D6.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)切線斜率得出切點(diǎn)，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)到直線距離計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)切點(diǎn)滿足時(shí)，曲線上的點(diǎn)到直線的距離是最短距離，所以，所以切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離是，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是.故選：A.7.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是可導(dǎo)函數(shù)，．若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再比較自變量的大小，即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，且，，所以是偶函數(shù)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，，所以，即.故選：C8.用藍(lán)色和紅色給一排10個(gè)方格染色，則藍(lán)色使用次數(shù)不少于紅色且至多兩個(gè)藍(lán)色相鄰的方法種數(shù)為（）A.71 B.126 C.171 D.175【答案】D【解析】【分析】根據(jù)藍(lán)色、紅色的使用次數(shù)分類討論，逐一求解.【詳解】第一類：藍(lán)色5個(gè)，紅色5個(gè)的情況：先排5個(gè)紅色，出現(xiàn)6個(gè)空，若藍(lán)色互不相鄰，有種方法；若藍(lán)色為，則先從6個(gè)空中選1個(gè)空，排雙藍(lán)，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)空總共選3個(gè)，排單藍(lán)，共有種方法；若藍(lán)色為，則先從6個(gè)空中選1個(gè)空，排單藍(lán)，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)空中選2空，排雙藍(lán)，共有種方法.這種情況下總方法種數(shù)為：種.第二類：藍(lán)色6個(gè)，紅色4個(gè)的情況：先排4個(gè)紅色，出現(xiàn)5個(gè)空，若藍(lán)色為，則先從5個(gè)空中選1個(gè)，排雙藍(lán)，再把4個(gè)單藍(lán)排到剩余4個(gè)空中，有種排法；若藍(lán)色為，則先從5個(gè)空中選2個(gè)，排雙藍(lán)，再?gòu)氖Ｓ?空中選2個(gè)，排單藍(lán)，有種排法；若藍(lán)色為，則先從5個(gè)空中選3個(gè)，排雙藍(lán)，有.這種情況下總方法種數(shù)為：種.第三類：藍(lán)色7個(gè)，紅色3個(gè)：先排3個(gè)紅色，出現(xiàn)4個(gè)空，藍(lán)色必為形式，先從4個(gè)空中選1個(gè)，排單藍(lán)，再把3個(gè)雙藍(lán)排到剩余3空中，有種排法.藍(lán)色再多就不能有滿足條件的排法了.故滿足條件的排法共有：.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在研究某個(gè)特殊的路口闖紅燈與發(fā)生交通事故的關(guān)系時(shí)，同學(xué)甲向有關(guān)部門(mén)申請(qǐng)并分別調(diào)取了2024年7月份至2024年12月份該路口行人是否闖紅燈以及經(jīng)過(guò)的汽車是否發(fā)生交通事故的有關(guān)數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取了經(jīng)過(guò)該路口的1000個(gè)行人是否闖紅燈以及1000輛汽車是否發(fā)生交通事故的相關(guān)數(shù)據(jù)．同學(xué)甲針對(duì)自己獲得的數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表計(jì)算出卡方的值，經(jīng)查表知．同學(xué)甲同時(shí)發(fā)現(xiàn)每月行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)具有線性相關(guān)的關(guān)系，并分別求出了相關(guān)系數(shù)的值以及線性回歸方程，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為“發(fā)生交通事故與闖紅燈有關(guān)”B.行人如果不闖紅燈，該路口就不會(huì)發(fā)生交通事故C.越大時(shí)，每月行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)相關(guān)程度越高D.每月行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)具有正相關(guān)關(guān)系【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)卡方和臨界值比較判斷A，行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)具有線性相關(guān)的關(guān)系判斷B，C，D.【詳解】因?yàn)榭ǚ降闹?，同學(xué)有95%的把握認(rèn)為“發(fā)生交通事故與闖紅燈有關(guān)”，A選項(xiàng)正確；行人如果不闖紅燈，該路口就不會(huì)發(fā)生交通事故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；越大時(shí)，每月行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)相關(guān)程度越高，C選項(xiàng)正確；每月行人闖紅燈次數(shù)與汽車發(fā)生交通事故次數(shù)具有正相關(guān)關(guān)系，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，且對(duì)于任意正整數(shù)都有，則（）A.B.是公差為的等差數(shù)列C.D.，【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、性質(zhì)逐一判斷故選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，由得數(shù)列的前項(xiàng)的和最小，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，，.對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以，所以是公差為的等差?shù)列，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋蔆正確；對(duì)D：若，則，，則不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)C.無(wú)論為何實(shí)數(shù)，都存在正數(shù)使得D.當(dāng)時(shí)，與零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，可判斷AB的真假；舉反例，可以說(shuō)明C是錯(cuò)誤的；轉(zhuǎn)化為函數(shù)，的單調(diào)性和極值的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，，則，由；由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，所以，由；由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，因?yàn)椋?，且?dāng)和時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以在上無(wú)零點(diǎn).所以時(shí)，不存在正數(shù)使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，由；由.設(shè)，.因?yàn)?，由；?所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且.因?yàn)?，由；?所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且.作出函數(shù)，的圖形如下：可知：當(dāng)時(shí)，與零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某批產(chǎn)品分別來(lái)自甲，乙，丙三條生產(chǎn)線，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品占，次品率為；乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品占，次品率為；丙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品占，次品率為．現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，則抽到的產(chǎn)品是次品的概率是______．【答案】【解析】分析】利用全概率公式進(jìn)行求值.【詳解】設(shè)抽到的產(chǎn)品來(lái)自甲生產(chǎn)線為事件，來(lái)自乙生產(chǎn)線為事件，來(lái)自丙生產(chǎn)線為事件，抽到的產(chǎn)品為次品時(shí)事件，則，，，，，.所以.故答案為：13.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所?由或.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以或.解得：.故答案為：14.若是公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)都成立，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，討論的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，成立當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，則恒成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則，不滿足條件.所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求時(shí)，的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)，得或（舍），當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，，，所以函數(shù)的值域是.16.天和核心艙是我國(guó)目前研制的最大航天器，是我國(guó)空間站的重要組成部分．為了能順利地完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴(yán)格．經(jīng)調(diào)研，在挑選航天員的過(guò)程中有一項(xiàng)必檢的身體指標(biāo)服從正態(tài)分布），航天員在此項(xiàng)指標(biāo)中的要求為．為了宣傳我國(guó)航天事業(yè)取得的巨大成就，某校特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動(dòng)，共有307名學(xué)生參加了這次模擬選拔活動(dòng)．這些學(xué)生首先要進(jìn)行身體指標(biāo)的篩查，篩查合格的學(xué)生再進(jìn)行另外4個(gè)環(huán)節(jié)選拔．假設(shè)學(xué)生通過(guò)另外4個(gè)環(huán)節(jié)的概率依次為，，，，且每個(gè)環(huán)節(jié)的選拔相互獨(dú)立．（1）估計(jì)這307名學(xué)生中符合“”這個(gè)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)（四舍五入到個(gè)位）；（2）如果符合“”這個(gè)指標(biāo)的學(xué)生，繼續(xù)進(jìn)行另外4個(gè)環(huán)節(jié)的選拔，求最終通過(guò)學(xué)校航天員選拔活動(dòng)的人數(shù)的方差．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)先求，再求人數(shù).（2）利用二項(xiàng)分布的方差公式求方差.【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)?，所以估?jì)這307名學(xué)生中符合“”這個(gè)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為7.【小問(wèn)2詳解】學(xué)生符合“”這個(gè)指標(biāo)，進(jìn)行另外4個(gè)環(huán)節(jié)的選拔且能通過(guò)的概率為：，由題意，，所以.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，用代替得：，兩式相減得：.所以.又時(shí)，，上式也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：【小問(wèn)2詳解】由題意：，所以，因?yàn)?，所以，?所以.18.稀土不是土，而是一種重要的戰(zhàn)略資源和“工業(yè)維生素”，以稀土磁性材料為主的永磁電機(jī)，是新能源車、風(fēng)電、工業(yè)機(jī)器人等領(lǐng)域的核心組成，隨著這些高景氣度領(lǐng)域需求的持續(xù)爆發(fā)，帶動(dòng)了稀土需求的高速增長(zhǎng)．某企業(yè)為了對(duì)其開(kāi)發(fā)的稀土進(jìn)行合理定價(jià)，調(diào)研了本企業(yè)2019年~2024年開(kāi)發(fā)該稀土每千克的成本，得到一組數(shù)據(jù)，如下表所示：年份201920202021202220232024年份代碼123456開(kāi)發(fā)成本（元/千克）9186827370已知是實(shí)數(shù)，，．（1）求的值；（2）經(jīng)探究知，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求開(kāi)發(fā)成本（元/千克）關(guān)于年份代碼的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)2026年開(kāi)發(fā)該稀土每千克的成本是多少?（計(jì)算時(shí)，的值精確到整數(shù)位）（3）表示由（2）中求出的回歸直線方程得到的與對(duì)應(yīng)的每千克稀土開(kāi)發(fā)的成本預(yù)測(cè)值，當(dāng)其對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值小于1時(shí)，則將已知的開(kāi)發(fā)成本的數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“有效數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從已經(jīng)給出的這6組數(shù)據(jù)中任取3組，求“有效數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．【答案】（1）（2），預(yù)測(cè)2026年開(kāi)發(fā)該稀土每千克的成本是元.（3）分布列見(jiàn)解析，期望是2【解析】分析】（1）由均值求；（2）將數(shù)據(jù)代入?yún)⒖脊?，和，求解回歸直線方程，再代入，即可求解；（3）首先求解“有效數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，再代入超幾何分布概率公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由條件可知，，得；【小問(wèn)2詳解】，，，，，所以，2026年是，此時(shí).所以預(yù)測(cè)2026年開(kāi)發(fā)該稀土每千克的成本是元.【小問(wèn)3詳解】，，，，，，這6個(gè)數(shù)據(jù)中，有4個(gè)是“有效數(shù)據(jù)”，，，，，隨機(jī)變量的分布列，123.19.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)于區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)都有，且的值不恒為0，則稱為區(qū)間上的“絕對(duì)正函數(shù)”，區(qū)間稱為的“絕對(duì)正區(qū)間”．（1）若，判斷是否為區(qū)間上的“絕對(duì)正函數(shù)”，并說(shuō)明你的理由；（2）已知（Ⅰ）求時(shí)，的“絕對(duì)正區(qū)間”；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）不是；答案見(jiàn)解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后由二倍角的正弦公式和正弦函數(shù)的值域可得；（2）（i）求導(dǎo)后換元令，結(jié)合函數(shù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得；（ii）根據(jù)函數(shù)的定義域先將問(wèn)題轉(zhuǎn)