江蘇省常州市2021年中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

考試注意事項(xiàng)

1.進(jìn)入考場(chǎng)時(shí)攜帶的物品。

考生進(jìn)入考場(chǎng)，只準(zhǔn)攜帶準(zhǔn)考證、二代居民身份證以及2B鉛筆、0.5毫

米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無(wú)封套橡皮、小刀、空白墊紙板、

透明筆袋等文具。嚴(yán)禁攜帶手機(jī)、無(wú)線發(fā)射和接收設(shè)備、電子存儲(chǔ)記憶錄放

設(shè)備、手表、涂改液、修正帶、助聽(tīng)器、文具盒和其他非考試用品?？紙?chǎng)內(nèi)

不得自行傳遞文具等物品。

由于標(biāo)準(zhǔn)化考點(diǎn)使用金屬探測(cè)儀等輔助考務(wù)設(shè)備，所以提醒考生應(yīng)考時(shí)盡

量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場(chǎng)時(shí)間。

2.準(zhǔn)確填寫、填涂和核對(duì)個(gè)人信息。

考生在領(lǐng)到答題卡和試卷后，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)、規(guī)定位置處填寫姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)。填寫錯(cuò)誤責(zé)任自負(fù)；漏填、錯(cuò)填或字跡不清的答題卡為無(wú)效卡；故意

錯(cuò)填涉嫌違規(guī)的，查實(shí)后按照有關(guān)規(guī)定嚴(yán)肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考

生必須核對(duì)所貼條形碼與自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否一致,如發(fā)現(xiàn)不一致，

立即報(bào)告監(jiān)考員要求更正。

3.考場(chǎng)面向考生正前方的墻壁上方懸掛時(shí)鐘，為考生提供時(shí)間參考,

考場(chǎng)時(shí)鐘的時(shí)間指示不作為考試時(shí)間信號(hào)，考試時(shí)間一律以考點(diǎn)統(tǒng)一發(fā)出

的鈴聲信號(hào)為準(zhǔn)。

常州市二。二。年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè).全卷滿分120分.考試時(shí)間為120分鐘.考生應(yīng)將答案全部填寫在答題卡

相應(yīng)位置上,寫在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)不允許使

用計(jì)算器.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)填寫在試卷上，并填寫好答題卡上的考生信息.

3.作圖必須用2B鉛筆作答,并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共8小題,每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是正確的）

1.2的相反數(shù)是（）

11

A.——B.—C.2D.-2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

【詳解】2的相反數(shù)是-2,

故選D.

2.計(jì)算〃產(chǎn)+浮結(jié)果是（）

A.B.fn4C.〃/D.加2

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用同底數(shù)轅除法的運(yùn)算法則解答即可.

【詳解】解：“+加2=/2=“.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕除法，掌握公式〃尸+〃/=是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（)

A.圓柱B.三棱柱C.四棱柱D.四棱錐

【答案】C

【解析】

【分析】

通過(guò)俯視圖為圓得到幾何體為柱體，然后通過(guò)主視圖和左視圖可判斷幾何體為四棱柱.

【詳解】解：由圖可知：

該幾何體是四棱柱.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，苜先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和

左視圖想象幾何體的前面；上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀.熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三

視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助.

4.8的立方根是（）

A.25/2B.±2C.±272D.2

【答案】D

【解析】

【詳解】解：根據(jù)立方根的定義，由23=8,可得8的立方根是2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查立方根.

5.如果x<y,那么下列不等式正確的是（）

A.2x<2yB,-2x<-2yC,x-1>y-lD.x+\>y+\

【答案】A

【解

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、由xVy可得：2,tv2y,故選項(xiàng)成立：

B、由xVy可得：-2x>-2y,故選項(xiàng)不成立；

C、由x<y可得：工一1<丁-1,故選項(xiàng)不成立；

D、由xVy可得：故選項(xiàng)不成立；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考杳了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.（2）

不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)

的方向改變.

6.如圖，直線〃、〃被直線c所截,4%,N1=140。,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)鄰補(bǔ)角相等求得N3,然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答.

【詳解】解：???N1+N3=18O°,Z1=14O。

???Z3=180°-Zl=l80°-140°=40°

allb

:.Z2=Z3=40°.

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等“是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖,AB是的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（C不與A、3重合），C"JLA8,垂足為“，點(diǎn)M是8。的

中點(diǎn).若O。的半徑是3,則長(zhǎng)的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半可知MH=《BC,當(dāng)BC為直徑時(shí)長(zhǎng)度最大，即可

求解.

【詳解】解：???C”_LA8

,ZBHC=90°

??,在RSBHC中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)

.\MH=—BC

2

?；BC為。0的弦

當(dāng)BC為直徑時(shí),MH最大

???0。的半徑是3

AMH最大為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考行了直角三角形斜邊中線定理，數(shù)形結(jié)合是結(jié)題關(guān)鍵.

8.如圖點(diǎn)D是nOABC內(nèi)一點(diǎn),。。與K軸平行,B力與），軸平行,BD=0,ZADB=135°,S^BD=2.若

反比例函數(shù)），=與"0）的圖像經(jīng)過(guò)A、。兩點(diǎn)，則攵的值是（）

X

A.2^2B.4C.3&D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

作交BD的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)E,作A/_1_人軸丁點(diǎn)F,il算出AE長(zhǎng)度，證明△68三△AO/，得出AF

長(zhǎng)度,設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，使用%%=%）/可計(jì)算出上值.

（詳解】作AE_L交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作_Lx軸于點(diǎn)F

???"03=135°

???ZADE=45°

???為等腰直角二角形

??,BD=yfi,S\ABD=2

???S4ABD=；B。.4E=2,即A￡=20

ADE=AE=2>/2

,:BC=A0,且BC//AO,CD//OF

:.乙BCD=NAOF

???2BCD三4AOF

???AF=BD=y/2

J%=30

設(shè)點(diǎn)A(w,V2),D(m-2V2,3V2)

???"〃=(〃?-20)?3&

解得：m=3&

:?k=3叵x(chóng)叵=6

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，利用點(diǎn)A和點(diǎn)D表示出k的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題,每小題2分，共20分.不需寫出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直接填寫在

答題卡相應(yīng)位置上）

9.計(jì)算：|一2|+（兀-1）。=一?

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值和0次基的性質(zhì)求解即可.

【詳解】原式=2+1=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和0次累的性質(zhì).

10.若代數(shù)式」二有意義，則實(shí)數(shù)J的取值范圍是.

X-1

【答案】X#1

【解析】

【分析】

分式有意義時(shí)，分母X-1和，據(jù)此求得X的取值范圍.

【詳解】解：依題意得:X-1M,

解得x#l,

故答案為：x#l.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件.（1）分式有意義的條件是分母不等于零.（2）分式元意義的條件

是分母等于零.

11.地球半徑大約是6400km,將6400用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】6.4xlO3

【解析】

【分析】

刈F一個(gè)絕刈值較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法寫成ax10"的形式，其中1S同<10.〃是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).

【詳解】6400=6.4x1O'.

故答案為：6.4xlO3.

【點(diǎn)睛】此題考杳了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中岸間V10,〃為整數(shù),

表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及/?的值.

12.分解因式：?-x=.

【答案】x（x+1）（x-1）

【解析】

解：原式=暖7-劣=魂￡#怎覿一取

13.若一次函數(shù)），二依+2的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】k>0

【解析】

分析】

直角利用?次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：???一次函數(shù)），=丘+2的函數(shù)值），隨自變量x增大而增大

Ak>0.

故答案為k>0.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了一次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系,當(dāng)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于零時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)

值隨著自變量x的增大而增大.

14.若關(guān)于x的方程f2=0有一個(gè)根是1,則a=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義，把X=1代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可.

【詳解】解:把x=l代入方程￡+辦_2=0得l+a-2=0,

解得a=l.

故答案是：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

15.如圖，在△A3C中,8。的垂直平分線分別交8C、AB于點(diǎn)、E、F.若是等邊三角形，則

N8=°.

【答案】30

【解析】

【分析】

根據(jù)垂在平分線的性質(zhì)得到NB=/BCF,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到NAFC=60。,從而可得NB.

【詳解】解：二正卜垂直平分BC,

.\BF=CF,

AZB=ZBCE

???△ACF為等邊三角形，

ZAFC=60°,

/.ZB=ZBCF=30°.

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)

得到NB=NBCF.

16.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書(shū)中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短.在

菱形A3CO中,AB=2,/DAB=120°.如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使得邊A8在x軸正半軸上，點(diǎn)。

在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

【答案】(2,、回)

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AD=AB=CD=2,NOAD=60。,由三角函數(shù)即可求出線段0D的長(zhǎng)度，即可得到答案.

【詳解】解：:四邊形A8CO為菱形,A8=2

AD=AB=CD=2,AB//CD

??,ZZMB=120°

:.ZDAO=60°

在RtADOA中,sin60°=—=—

AD2

/.OD=V3

???點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,6).

故答案為:故G

【點(diǎn)睛】本題考查了平面宜.接坐標(biāo)系中直角三角形的計(jì)算問(wèn)題，以及菱形的性質(zhì),熟練掌握特殊三角函數(shù)值是

解題關(guān)鍵.

17.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且4c=2BC.分別以AC、BC為邊在線段的同側(cè)作正方形ACDE、

8C尸G,連接EC、EG,則tanNCEG=.

【解析】

【分析】

設(shè)BOa,則AC=2a,然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、NGCD=ECD=45。,進(jìn)而說(shuō)明^ECG為直角三

角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答.

【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a

???正方形4COE

；?EG｛（24+（26=，/ECD二；ZACD=45

向理：CG二或Q,/GCD=T/5Cr）=45

MEG工阜」

CE2yl2a2

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說(shuō)明△ECG是直角三角形是解答本題的

關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中,NB=45°,AB=6拒,。、￡分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接。。在直線DE和直線BC

上分別取點(diǎn)F、G,連接8尸、DG.若BF=3DG,且直線B尸與直線OG互相垂直，則BG的長(zhǎng)為.

【答案】4或2

【解析】

【分析】

分當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，兩種情況，分別畫(huà)出圖形,結(jié)合三角函數(shù)，包股定理以及平行四邊

形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)F作FM〃DG交直線BC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BNJ_DE,交直線DE于點(diǎn)N,

VD,E分別是AB和AC中點(diǎn),AB=6夜,

，DE〃BC,BD=AD=3VLNFBM=NBFD,

???西邊形DGMF為平行四邊形，

則DG=FM,

VDG1BF,BF=3DG,

???ZBFM=90°,

FM1

tanZFBM=------=-=tanZBFT>.

BF3

,BN1

??-----=—,

FN3

VZABC-450-ZBDN,

???△BDN為等腰直角三角形，

BDr

/.BN=DN=-^=3,

FN=3BN=9,DF=GM=6,

:BF=dBN?+NF?=3>/i0,

FM=—BF=y/]()t

3

???BM=NBF'FM?=10，

.".BG=10-6=4；

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BN_LDE,交直線DE于N,過(guò)點(diǎn)B作BM〃DG交直線DE于M,延長(zhǎng)FB和

DG交點(diǎn)為H,

可知：NH二NFBM=90。,四邊形BMDG為平行四邊形,

，BG=MD,BM=DG,

VBF=3DG,

BMDHBN\

lanZBFD=---

BF~FH~~FN~3

同理可得：△BDN為等腰直角三角形,BN=DN=3,

AFN=3BN=9,

；?BF=j92+32=3斤,

設(shè)MN=x，則MD=3-x,FM=9+x,

在RIABFM和RIABMN中，

FM2-BF2=MN2+BN?,

即（9+司2-卜炯=/2+32,

解得:x-l,即MN-l,

/.BG=MD=ND-MN=2.

綜上：BG的值為4或2.

故答案為：4或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分消情況.

三、解答題（本大題共10小題，共84分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫

出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）

19.先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1）?-x（x+1）,其中％=2.

【答案】x+1；3

【解析】

【分析】

先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，再代入求值即可.

【詳解】解：(X+1)2-MX+D

=X2+1+2X-X2-X

=x+l

將x=2代入，

原式二3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是正確的化簡(jiǎn).

20.解方程和不等式組:

r2

(1)—+—=2；

X-11-x

2x-6<0,

(2)/

一3芭，6.

【答案】(1)x=0；(2)-2<x<3

【解析】

【分析】

(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；

(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的方法部分即可.

x2

【詳解】解：(1)—十—=2

x—\1-x

去分母得：X—2=2x—2

解得x=0,

經(jīng)檢驗(yàn)x=0是分式方程的解；

2x-6<0,①

(2)-

[-3兀,6,②

由①得：x<3

由②得：x>-2

則不等式組的解集為-2&XV3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程與解不等式組，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想''，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程求解.解一元一次不等式組要注意不等號(hào)的變化.

21.為了解某校學(xué)生對(duì)?球類運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，調(diào)查小組就打排球、打乒乓球、打籃球、踢足球四項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)對(duì)

該校學(xué)生進(jìn)行了“你最喜愛(ài)的球類運(yùn)動(dòng)''的抽樣調(diào)杳，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是:

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)“打籃球”的學(xué)生人數(shù).

【答案】（1）100：（2）見(jiàn)解析；（3）300人.

【解析】

【分析】

（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中最喜愛(ài)打排球的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中最喜愛(ài)打排球的人數(shù)所占百分比即可求出本次

抽樣調(diào)查的樣本容量；

（2）用總?cè)藬?shù)乘以最喜愛(ài)打乒乓球的人數(shù)所占百分比即可求出最喜愛(ài)打乒乓球的人數(shù),用總?cè)藬?shù)減去最喜愛(ài)

其它三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)即得最喜愛(ài)踢足球的人數(shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）用最喜愛(ài)打籃球的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以2000即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是25?25%=100；

故答案為：100;

（2）打乒乓球的人數(shù)為KX）x35%=35人，踢足球的人數(shù)為100-25-35-15=25人；

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

人數(shù)

100

答：估計(jì)該校最喜愛(ài)“打籃球”的學(xué)生有30。人.

【點(diǎn)睛】木題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、樣本容量以及利用樣本估計(jì)總體等知識(shí),屬于基本題型，熟練

學(xué)握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵.

22在3張相同的小紙條上分別標(biāo)上I、2、3這3個(gè)號(hào)碼，做成3支簽,放在一個(gè)不透明的盒子中.

（1）攪勻后從中隨機(jī)抽出1支簽，抽到1號(hào)簽的概率是；

（2）攪勻后先從中隨機(jī)抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中隨機(jī)抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽

號(hào)的和為奇數(shù)的概率.

【答案】（1）—;（2）—

33

【解析】

【分析】

（1）由概率公式即可得出答案；

（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，得到所有等可能的情況,再利用概率公式求解即可.

【詳解】解?：（I）???共有3個(gè)號(hào)碼，

???抽到1號(hào)簽的概率是

3

故答案為：—；

3

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

所有等可能的情況有6種，其中抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的有4種，

???抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的概率為：-=

63

【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.己知：如圖點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上,EA//FB,EA=FB,AB=CD.

（I）求證：ZE=ZF；

（2）若44=40。,/。=80。,求/￡的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°

【解析】

【分析】

（I）根據(jù)已知條件證明△ACE^^BDF,即可得到結(jié)論：

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ND=/ACE=80。,再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）VAE/7BF,

.'.ZA=ZDBF,

VAB=CD,

，AB+BC=CD+BC,即AC=BD,

又；AE=BF,

.?.△ACE^ABDF（SAS）,

/.ZE=ZF；

（2）VAACE^ABDF,

ZD=ZACE=80°,

NA=40。，

???ZE=1800-ZA-ZACE=60°.

【點(diǎn)睛】本題考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.

24.某水果店銷售蘋果和梨，購(gòu)買I千克蘋果和3千克梨共需26元，購(gòu)買2千克蘋果和1千克梨共需22元.

（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價(jià)：

（2）如果購(gòu)買蘋果和梨共15千克,且總價(jià)不超過(guò)100元，那么最多購(gòu)買多少千克蘋果？

【答案】（1）每千克蘋果售價(jià)8元，每千克梨6千克；（2）最多購(gòu)買5千克蘋果

【解析】

【分析】

（1）設(shè)每千克蘋果售價(jià)x元，每千克梨y千克，由題意列出x、y的方程組，解之即可；

（2）設(shè)購(gòu)買蘋果a千克廁購(gòu)買梨（15-a）千克，由題意列出a的不等式，解之即可解答.

【詳解】（1）設(shè)每千克蘋果售價(jià)x元，每千克梨y千克，由題意，

,（x+3y=26

得：__?

I2x+y=22

x=S

解得：,，

y=6

答：每千克蘋果售價(jià)8元，每千克梨6千克，

（2）設(shè)購(gòu)買蘋果a千克廁購(gòu)買梨（15-a）千克，由題意，

得:8a+6（15-a）＜100,

解得：aW5,

二a最大值為5,

答：最多購(gòu)買5千克蘋果.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析相關(guān)信息,

正確列出方程組和不等式.

Q

25.如圖，正比例函數(shù)），=心的圖像與反比例函數(shù)），=一（＜＞0）的圖像交于點(diǎn)A（a,4）.點(diǎn)6為了軸正半軸上

X

一點(diǎn)，過(guò)8作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C,交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)。.

(1)求。的值及正比例函數(shù)y=h的表達(dá)式；

(2)若80=10,求/XAC。的面積.

【答案】(1)a=2；y=2x；(2)—

5

【解析】

【分析】

(1)已知反比例函數(shù)解析式，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，故a可求；求出點(diǎn)A的坐標(biāo)后，點(diǎn)A同時(shí)在正比例函

數(shù)圖象上，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中，故正比例函數(shù)的解析式可求.

(2)根據(jù)題意以及第一問(wèn)的求解結(jié)果，我們可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(b,0)、則D點(diǎn)坐標(biāo)為(b,2b),根據(jù)BD=10,可求b值,

然后確認(rèn)三角形的底和高，最后根據(jù)三角形面枳公式即可求解.

Q

【詳解】(I)已知反比例函數(shù)解析式為y=—,點(diǎn)A(a,4)在反比例為數(shù)圖象上，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，解得a=2,故A

x

點(diǎn)坐標(biāo)為(2.4),又???A點(diǎn)也在正比例函數(shù)圖象上,設(shè)正比例函數(shù)解析為y=kx,將點(diǎn)A(2.4)代入正比例函數(shù)解析

式中，解得k=2,則正比例函數(shù)解析式為y=2x.

故a=2；y=2x.

Q

(2)根據(jù)第一問(wèn)的求解結(jié)果，以及BD垂直x軸，我們可以設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(b,0),則C點(diǎn)坐標(biāo)為(b,：)、D點(diǎn)坐標(biāo)

b

8

為(b,2b),根據(jù)BD=IO,則2b=10,解得b=5,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,10),C點(diǎn)坐標(biāo)為(5,二),則在△ACD

,?8)0、63

^^c△ACD=-x10-三x(5-2)=『

故AACD的面積為區(qū).

5

【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查求解正比例函數(shù)及反比例函數(shù)解析式,掌握求解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式

的方法是解答本題的關(guān)鍵.

(2)本題根據(jù)第一問(wèn)求解的結(jié)果以及BD垂直x軸,利用待定系數(shù)法，設(shè)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，求出B、C、D

三點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)掌握三角形面積公式，即可求解.

26.如圖1,點(diǎn)8在線段CE上,RsCEF,ZABC=Z.CEF=90°,ZBAC=30°,BC=\.

dai）（m2）

（1）點(diǎn)尸到直線C4的距離是；

（2）固定△48。,將^CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。,使得CF與C4重合,并停止旋轉(zhuǎn).

①請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫(huà)出線段石/經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫(huà)圖痕跡，不要

求寫畫(huà)法）該圖形的面枳為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段CF與AB交于點(diǎn)O,當(dāng)OE=OB時(shí)，求OF的長(zhǎng).

2

【答案】（1）1；（2）二；（3）OF=-

123

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得尸=30。,即CF是NAC3的平分線,然后根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)r到電線C4的距離即為石尸的長(zhǎng)，于是可得答案；

（2）①易知上點(diǎn)和”點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是分別以C”和C七為半徑、圓心角為30。的圓弧，據(jù)此即可畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后

的平面圖形；在圖3中冼解RUkCM求出C尸和CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)5陽(yáng)影=（5=￡戶5創(chuàng)形八CF）一（S△八CG+S出

形CG）即可求出陰影面積；

②作EHLCF于點(diǎn)”，如圖4,先解RtAEFH求出FH和EH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CH的長(zhǎng)屋設(shè)OH=x,則CO和0/

都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在Rs30c中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值,

進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）:NBAC=30°,AABC=90°,:.ZACB=60°,

VR（AABC0RsCEF,

???ZECF=ZBAC=30°,EF=BC=\,

；?ZACF=30°,A/ACF=NECF=30。,

???C/是NAC8的平分線，

???點(diǎn)F到直線CA的距離二；

故答案為：1;

(2)①線段歷經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示:

C

圖3

在RsCEF中，:ZECF=30°,EF=l,

:?CF=2,CE=A

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：。/=C4二2、CE=CG=6，NACG=NECF=3。。,

（SAACG+S型形CEG）=S電影ACF-S歲形CEG=3°乃*2__3。萬(wàn)＞＜（6）=巴

?\S用比=（SACEF+S誼彬ACF）

360360~12

故答案為：;

②作E〃_LCb于點(diǎn)”，如圖4,

在RsEFH中二ZF=60°,EF=1,

???FH=L,EH=2,

22

13

:.CH=2—=一,

22

設(shè)OH=x,則OC=3—x,O七2=fT/?+OH2+x2=-|+x2,

2

3

,：OB=OE,：.OB'=-+X\

4

=OC2,-*--4-x2+1=f--xl,

在RsBOC中：；OB?+BC?

4（2）

解得：x=二，

6

?.,%+渭

圖4

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股

定理和解直角三角形等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用整體思想和方程思想

是解題的關(guān)鍵.

27.如圖1,0/與直線a相離，過(guò)圓心，作直線”的垂線，垂足為",且交。/丁尸、Q兩點(diǎn)（Q在尸、〃之間）.我

們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線a的''遠(yuǎn)點(diǎn)"，把PQ?PH的值稱為。/關(guān)于直線a的“特征數(shù)”.

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系X。），中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（。,4）,半徑為1的。。與兩坐標(biāo)軸交丁點(diǎn)A、B、C、

D.

①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于），軸的直線九則。。關(guān)于直線〃7的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)（填"A”、”肥、”C或，0。

關(guān)干直線m的“特征數(shù)”為;

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為），=JIr+4,求OO關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系X。），中,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（l,4），點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以尸為圓心，血為半徑作

OF.若。*與直線/相離，點(diǎn)N(—1,O)是。/關(guān)于直線I的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且。尸關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4萬(wàn)，求直

線〕的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)①D；10；②。。關(guān)于直線〃的“特征數(shù)''為6；(2)直線/的解析式為y=-3x+7或y=；x+U

【蟀析】

【分析】

(1)①根據(jù)題干中“遠(yuǎn)點(diǎn)”及“特征數(shù)''的定義直接作答即可；②過(guò)圓心o作OH_L直線n,垂足為點(diǎn)H,交。O

于點(diǎn)P、Q.首先判斷直線n也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,4)，在RSEOF中，利用三角函數(shù)求出NEFO=60。,進(jìn)而求出PH的

長(zhǎng),再根據(jù)“特征數(shù)''的定義計(jì)算即可;

4=k+b.①

(2)連接NF并延長(zhǎng)，設(shè)直線/的解析式為y=kx+bi,用待定系數(shù)法得至叫,,再根據(jù)兩條直線互

n=ink+②

相垂直，兩個(gè)一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=-!x+b2,用待定系數(shù)法

0=—+/7,④〃-4二mk-k

k

同理可得＜，消去也和g得到關(guān)于m、n的方程組＜1m：根據(jù)。/關(guān)于直線/

-n=—+—

n=----+0,?kk

k'

k2-4k-\

m=-----；-----

公+1

的“特征數(shù)”是4百，得出NA=V10，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程(m+1)2+d=10,把

4一22

九=二——

公+1

代入，求出k的值,便得到m、n的值即點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線/的函數(shù)表達(dá)式.注意有兩種情

況，不要遺漏.

【詳解】解：(I)①。。關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)D,

。。關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為DBDE=2x5=IO；

②如下圖：過(guò)圓心O作OHJ_直線n,垂足為點(diǎn)H,交。O于點(diǎn)P、Q,

當(dāng)K=0時(shí),y=4；當(dāng)y=0時(shí),x=--J,

3

???直線〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,4)，點(diǎn)F(-型,0),

3

PQn

在RsEOF中,???tanNFEO:一==—，

E0+3

4

???ZFEO=30°,

ZEFO=60°,

qHO

RtAHOF中，?.?sin/HFO=——，

FO

：,H0=sinZHFOFO=2,

???PH=HO+OP=3,

.,.PQPH=2x3=6,

???00關(guān)于直線〃的“特征數(shù)''為6；

(2)如下圖，丁點(diǎn)F是圓心，點(diǎn)N(-l,0)是“遠(yuǎn)點(diǎn)二

???連接NF并延長(zhǎng)，則直線NFJ_直線1,設(shè)NF與直線1的交點(diǎn)為點(diǎn)A(m,n),

設(shè)直線/的解析式為y=kx+bi(20),

將點(diǎn)加(1,4)與A(m,n)代入y=kx+bi中，

依+4①

[n=mk4-by②

②-①得：n-4=mk-k,?

又1?直線NF_L直線/,

，設(shè)直線NF的解析式為y=-5x+b2(MO),

k

將點(diǎn)N(-1,0)與A(m,n)代入y=-1X+b2中,

k

o'+a④

k-

ITl.三

n=——十b,⑤

k-

④-⑤得：-n=7+:,⑥

kK

聯(lián)立方程③與方程⑥，得：

/i—4-mk—k

,1m

-/?=—+一

kk

公-4Z-I

m=----?-----

解得：」k~,4.1，

4-2%

n=—z--

L2_4^_i4-2Z

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(A"

k2+\k~+l

又,；OF關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4石，。尸的半徑為V2，

.\NB-NA=4A/5,

即2立.NA=4不，

解得：NA=VIO,

.,.[m-(-l)]2+(n-0)2=(V10A

即(m+l)2+n2=IO,

k2-4k-\

把，工代入，解得k=-3或k=1

4一2攵3

[k+1

當(dāng)k=-3時(shí),m=2,n=l,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),

把點(diǎn)A(2,1)與點(diǎn)/(1,4)代入y=kx+bi中，解得直線/的解析式為y=-3x+7；

當(dāng)k=，時(shí),m=-2,n=3,

3

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3),

把點(diǎn)A(-2,3)與點(diǎn)M(l,4)代入y=kx+bi中，解得直線/的解析式為y=；x+?.

JJ

，直線/的解析式為y=-3x+7或y=Qx+?.

JJ

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角

形等，理解“遠(yuǎn)點(diǎn)”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式、兩條直線互相垂

直的兩個(gè)一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，二次函數(shù)y=/+歷:+3的圖像與)，軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)用拋物線

過(guò)點(diǎn)。(1,0),且頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、BD、CD.

(I)填空：b=；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線8。于點(diǎn)Q.若NCQD=/ACB,求點(diǎn)、P

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)￡關(guān)于直線3。對(duì)稱的點(diǎn)為￡點(diǎn)r關(guān)于直線4C對(duì)稱的點(diǎn)為G,連接AG.當(dāng)點(diǎn)

廠在x軸上時(shí)，直接寫出AG的長(zhǎng).

58

【答案】(1)-4；(2)(3,0)或(§,§)；(3)M

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可：

(2)分點(diǎn)Q在CD上方和點(diǎn)Q在CD下方時(shí)，兩種情況,結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)求解：

(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為C.BD中點(diǎn)為點(diǎn)R,直線AC與直線BD交于N：設(shè)C(p,q),利用點(diǎn)R到點(diǎn)

C和點(diǎn)C的距離相等以及點(diǎn)N，到點(diǎn)C和點(diǎn)C的距離相等,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到CN，直線的解析式，從而

求出點(diǎn)F坐標(biāo)，再利用點(diǎn)F和點(diǎn)G關(guān)于直線BC對(duì)稱，結(jié)合BC的表達(dá)式可求出點(diǎn)G坐標(biāo)，最后得到AG的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)???拋物線過(guò)點(diǎn)C(1,0),

???將C(1,0)代入y=x2+〃x+3得0=l+b+3,

解得b=-4,

故答案為：-4；

(2)由(1)可得拋物線解析式為：y=r-4x+3,

當(dāng)x=o時(shí),y=3,

???A的坐標(biāo)為(0,3),

當(dāng)y=3時(shí)得3=*2_4X+3.

解得X|=0,X2=4,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),

Vy=x2-4x+3=(x-2)2-h

???頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1),

設(shè)BD與x軸的交點(diǎn)為M,作CH1AB于H,DG_LCM于Q

tanZACH=tanZOAC=—,

3

根據(jù)勾股定理可得BO3后，CD=血、BD=2不，

???BD=Jgc2+a)2,

???ZBCD=90°,

1

tanZCBD=—,

3

???ZACH=ZCBM,

???ZHCB=ZBCM=45°,

???ZACH+ZHCB=ZCBM+ZMCB,

即NACB=NCMD,

Q在CD上方時(shí)：若NC。。=ZAC3,則Q與M點(diǎn)重合，

???'=/一4工+3中,令丫=0,解得：乂=1或3,

???拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

即此時(shí)P的坐標(biāo)為(3,0)；

Q在CD下方時(shí)：過(guò)點(diǎn)Q作QKlx軸，過(guò)點(diǎn)C作CL1QM于點(diǎn)L,過(guò)點(diǎn)A作AN1BC于點(diǎn)N,

可得：AB=4.BC=3>/i.AC=Vni及CN=xMBN=3>/Lx,

在△ABC中,AC2-CN2=AB2-BN2,

即(66『-/=42-(3及一,2,解得：