人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練專題18.30 菱形（知識(shí)講解）（附答案）

/專題18.30菱形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.特別說明：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.特別說明：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.特別說明：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形??性質(zhì)與判定的理解1．菱形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對(duì)角線一定相等 C．對(duì)角線平分對(duì)角 D．是中心對(duì)稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)逐一判斷即可．解：A．菱形的四條邊都相等，故本選項(xiàng)不合題意；B．菱形的對(duì)角線不相等，故本選項(xiàng)符合題意；C．菱形的對(duì)角線平分內(nèi)角，故本選項(xiàng)不合題意；D．菱形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中心對(duì)稱圖形，掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列不屬于菱形性質(zhì)的是（

）A．四條邊都相等 B．兩條對(duì)角線相等C．兩條對(duì)角線互相垂直 D．每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．解：菱形的性質(zhì)：對(duì)邊平行，四條邊相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，∴A，C，D都是菱形的性質(zhì)，B不是，故B符合題意；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，四邊形是平行四邊形，下列說法能判定四邊形是菱形的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．解：能判定四邊形是菱形的是，理由如下：四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．2．順次連接下列四邊形的四邊中點(diǎn)所得圖形一定是菱形的是（

）平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形【答案】C【分析】利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對(duì)角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個(gè)菱形．解：如圖，四邊形,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形四邊的中點(diǎn)，則在中，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得：，，同理可得：，，，，，，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得圖形一定是平行四邊形，即當(dāng)四邊形的對(duì)角線時(shí)，即有：，則所得圖形一定是菱形，平行四邊形、菱形、對(duì)角線相互垂直的四邊形這三種四邊形的對(duì)角線不一定總相等，矩形的對(duì)角線一定相等，即矩形滿足條件，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對(duì)角線互相垂直平分．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于，在上，并且．求證：四邊形是平行四邊形；當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見分析 (2)，見分析【分析】（1）利用中垂線的性質(zhì)和等角的余角相等以及平行線的性質(zhì)，證明，得到，即可得證；（2）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可得解．解：（1）為的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，，又，四邊形為平行四邊形；（2）要使得平行四邊形為菱形，則即可，，，，又，，，又，，，即可，在中，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，四邊形為菱形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定，以及菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握中垂線的性質(zhì)，平行四邊形的判定方法，以及菱形的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接DF，BF．求證：；若∠ADC=110°，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析 (2)∠FDC=75°．【分析】（1）連接BF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=BF，再證△BCF≌△DCF（SAS），得BF=DF，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得∠DCA=∠DAC=35°，由AF=DF以及三角形的外角性質(zhì)，得到∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，據(jù)此求解即可得出答案．解：（1）證明：連接BF，如圖所示：∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AF=BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=DC，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴BF=DF，∴AF=DF；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=110°，∴AD=DC，∠DCA=∠DAC=(180°-∠ADC)=×70°=35°，∵AF=DF，∴∠FDA=∠DAC=35°，∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明△BCF≌△DCF是解題的關(guān)鍵．類型二、菱形??性質(zhì)??求角度??求線段??求面積3．如圖，矩形的頂點(diǎn)E、G分別在菱形的邊、上，頂點(diǎn)F、H在菱形的對(duì)角線上．求證：；若E為的中點(diǎn)．，求菱形的邊長．【答案】(1)見分析 (2)4【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用AAS證明，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連結(jié)，根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．（1）解：證明：在矩形中，，，∴，∵，∴，在菱形中，，∴，在與中，，∴（AAS），∴；（2）如圖，連接，在菱形中，，，為的中點(diǎn)，，由（1）知，，∴，又，四邊形是平行四邊形，，在矩形中，，，即菱形的邊長為4．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用AAS證明．舉一反三：【變式】如圖，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使，連接．求證：四邊形是矩形；若，，求的長度．【答案】(1)見分析；(2)．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得，由勾股定理求出，．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴且，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）解：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，在中，，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，垂直且平分，垂足為點(diǎn)E．求的大?。?，則菱形的面積為．【答案】(1)120° (2)【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得，，再證是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，，則，再由勾股定理得，則，然后由菱形面積公式列式計(jì)算即可．解：（1）∵垂直且平分邊，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．（2）∵四邊形是菱形，∴由（1）可知，，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴菱形的面積，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，，，與交于點(diǎn)F.若，．求證：四邊形是矩形；求菱形的面積．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）先證四邊形為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，從而可得四邊形是矩形；（2）根據(jù)勾股定理和菱形的面積公式解答即可．解：（1）∵，，∴四邊形是平行四邊形.∵四邊形是菱形，∴.∴四邊形是矩形（2）∵，∴∵.∵，∴∴四邊形是矩形∴∴

∴菱形的面積為【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)和判定、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知：如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)F，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)D．求證：四邊形是平行四邊形；給添加一個(gè)條件，使得四邊形是菱形．請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】(1)見分析；(2)；證明見分析．【分析】（1）證明，得到即可得證；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)角平分線的定義，得到，進(jìn)而得到，即可得解．解：（1）證明：∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴（ASA）∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．證明：∵為的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形和菱形的判定．同時(shí)考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法，以及通過平行線的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．在（1）的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)條件使平行四邊形是菱形，并證明．在（1）的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)條件使平行四邊形是矩形，并證明．【答案】(1)見分析 (2)添加AB=BC，證明見分析 (3)添加∠ABC=90°，證明見分析【分析】（1）先證明△AOB≌△COD，可得AB=CD，再根據(jù)平行四邊形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的判定解答即可；（3）根據(jù)矩形的判定解答即可．解：（1）證明：∵，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∵OA=OC，在△AOB和△COD中，∵，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：添加AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形，證明：∵AB=BC，四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是菱形；（3）解：添加∠ABC=90°，平行四邊形ABCD是矩形，證明：∵∠ABC=90°，四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的判定，菱形和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．類型三、菱形??性質(zhì)與判定??證明??添加條件??證明6．如圖．四邊形ABCD是平行四邊形．尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出的角平分線DE，交BC于點(diǎn)E；在線段AD上截取，連接EF；(2)在（1）所作圖中，請(qǐng)證明四邊形CDFE是菱形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴______，∴，∵DE平分，∴∴______∴______，∵，∴，而，∴四邊形CDFE為______∵，∴四邊形CDFE為菱形．【答案】(1)作圖見分析 (2)答案見分析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線的步驟進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定依次推理即可．解：（1）（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴四邊形CDFE為平行四邊形，∵，∴四邊形CDFE為菱形．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是牢記作圖步驟與相關(guān)判定定理與性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖在平行四邊形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：；從下列條件中任選一個(gè)作為已知條件后，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．①，②．選擇的條件：_________（填寫序號(hào)）．（注：如果選擇①，②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)見分析；(2)①，四邊形是矩形，證明見分析．【分析】（1）根據(jù)四邊形為平行四邊形，得，，根據(jù)，，證明，從而可得；（2）選擇的條件①，由（1）可得，可知四邊形是平行四邊形，得，可得，根據(jù)得，，由，可知，得，可得平行四邊形是矩形．（1）解：證明：四邊形為平行四邊形為對(duì)角線的中點(diǎn)（）；（2）解：四邊形是矩形選擇的條件：①證明：.四邊形是平行四邊形平行四邊形是矩形選擇的條件：②證明：四邊形是平行四邊形∵平行四邊形是菱形【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，同時(shí)涉及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合掌握全等三角形、平行四邊形和矩形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．7．在平行四邊形內(nèi)有一點(diǎn)E，使得，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，．依題補(bǔ)全圖形；若，求的大小（用含有的式子表示）；用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見分析 (2) (3)，證明見分析【分析】（1）依題補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及已知條件證明四邊形是菱形，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)證明，進(jìn)而得出，再根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得；（3）作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理可得，利用等腰三角形“三線合一”可得，，再證，推出，即可推導(dǎo)得出．（1）解：補(bǔ)全后圖形如下圖所示：（2）解：如圖，連接，，連接交于點(diǎn)G．點(diǎn)E點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，，，，又，四邊形是菱形，設(shè)，則，平行四邊形中，，，即，，，，，，，，即；（3）解：，證明如下：如圖，作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，，，，，同理，，，，在和中，，，．在中，由勾股定理得，，即．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)，正確作出輔助線，構(gòu)造．舉一反三：【變式】如圖，四邊形和四邊形都是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)在上已知，，求：的度數(shù)．的度數(shù)．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）連接，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分得出，，結(jié)合圖形求解即可．（1）解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴；（2）連接，如圖所示：∵四邊形和四邊形都是菱形，，，∴，，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查菱形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型四、菱形??性質(zhì)與判定綜合??證明??求角度??證明??求面積8．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形；若，，的面積為36，求的長．【答案】(1)見分析；(2)．【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，再通過得到為菱形；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)菱形的面積求得，即可求解．（1）解：在中，，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴為菱形；（2）解：過點(diǎn)作，如下圖：在菱形中，，，，∴，∴，即∴，即解得，，即，解得．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．舉一反三：【變式】已知：四邊形中，，，點(diǎn)E在對(duì)角線上，F(xiàn)在邊上，連接，且，．求證：；若，，，求長．【答案】(1)見分析 (2)．【分析】（1）先證明四邊形是菱形，設(shè)，，則，求得，，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）利用菱形的性質(zhì)求得，設(shè)，則，，，由，求得，據(jù)此求解即可．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，連接，，設(shè)，，則，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，在中，，，設(shè)，則，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．9．在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．求證：四邊形是菱形；若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見分析；(2)【分析】（1）先通過得到，得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可求證；（2）由題意可得四邊形的面積，求解即可．（1）證：∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形；（2）解：，由題意可得：，，【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O．過點(diǎn)C作的平行線，過點(diǎn)D作的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E．求證：四邊形是矩形；若，菱形的周長是8，求菱形的面積．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的對(duì)角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴．∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知，平行四邊形是矩形，∵四邊形是菱形，∴，∵菱形的周長是8，∴，∴，∴，，∴菱形的面積為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，四邊形是矩形，E、F分別是線段、上的點(diǎn)，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)．若將沿直線折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的值．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明∠EDB=∠FBD，可得∠FDB=∠FBD，則有BF=DF，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明；（2）根