專題72復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（舉一反三）（人教A版2019）（原卷版）

專題7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】 3【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】 3【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】 4【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】 5【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】 5【題型6復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 6【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】 7【知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對(duì)任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)的向量是，即向量.如果作=，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是(如圖所示).

這說明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(acbd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).5．|zz0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是(a,b)，(c,d)，則||=，又復(fù)數(shù)=(ac)+(bd)i，則||=.

故||=||，即||表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.6．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】【例1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=?4?5i，則z1+z2=（A．?2?2i B．6+8i C．2?2i【變式11】（2023下·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，則3+5i+1+A．2 B．i C．?3i D．【變式12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若2z?3z=2?5i，則z=A．?2?i B．2?i C．1?2i【變式13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【變式21】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）若向量AB,AC分別表示復(fù)數(shù)z1=2?iA．5 B．5 C．25 D．【變式22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【變式23】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】【例3】（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=i3?z，則z=（A．2?i B．2+i C．1+i【變式31】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1?i，則zA．i B．?1 C．?i 【變式32】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）設(shè)z=2+ii1+iA．2 B．1 C．?1 D．?2【變式33】（2023上·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）若z=1?2i，則(1+z)?z=A．24i B．2+4i C．62i D．6+2i【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】【例4】（2023上·云南臨滄·高二校考期末）若1+ia+i=?5+biA．3 B．2 C．2 D．3【變式41】（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），且zA．9 B．9 C．3 D．3【變式42】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=a+i1+ia∈RA．?13 B．13 C．?【變式43】（2023下·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若11+i=a?bia,b∈RA．1 B．22 C．2 【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足z+(1?2i)=3?4i，則復(fù)數(shù)zA．?6i B．?6 C．?2i 【變式51】（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?2+3i,z2=1+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式52】（2022下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z=2?i，則z+izA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式53】（2022下·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z、復(fù)數(shù)z滿足1+i=2?4izA．3 B．?3 C．3i D．【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，=；

當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根==；

當(dāng)<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛根=，=，且兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).【題型6\o"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2＋4(2)x4－4【變式61】（2023下·吉林·高一東北師大附中校考期中）（1）已知復(fù)數(shù)z滿足z1+i=3+（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：z2【變式62】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x2(3)3x【變式63】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)a(2)x(3)x(4)a【題型7\o"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168415/_blank"復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】【例7】（2023下·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A2,3，B(1)若m＝1，求z1(2)若z2是關(guān)于x的方程x2+2x+17=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求m【變式71】（2023上·浙江寧波·高二校考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z=4+ai，其中a是正實(shí)數(shù)，i(1)如果z3a+ai為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)(2)如果