《數乘向量》參考課件2VIP

2.1向量的線性運算

2.1.4數乘向量

學習目標1.掌握數乘向量的定義，并理解其幾何意義．2．掌握數乘向量的運算律．3．了解向量線性運算性質及其幾何意義．課前自主學案溫故夯基1．平行四邊形法則適用于____________向量求和，而_____________適用于任意向量求和．2．實數運算滿足乘法對于加法的分配律，即λ(a＋b)＝____________，其中λ，a，b∈R.3．實數乘法滿足結合律，即λ(μa)＝________，其中λ，a，b∈R.兩個不共線三角形法則λa＋λb(λμ)a知新益能1．實數與向量的積(1)定義：實數λ與向量a的積是一個_______，記作________.(2)它的長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝___________；②當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0，方向任意．向量λa|λ||a|2．實數與向量的積的運算律設λ、μ∈R，則：(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝__________；(3)λ(a＋b)＝___________.3．向量的線性運算向量的________、減法和___________的綜合運算，通常叫做向量的線性運算．(λμ)aλa＋μaλa＋λb加法數乘向量思考感悟1．數乘向量與數乘數的積有何不同？提示：數乘向量λa仍是向量，既有大小，又有方向，與向量a同方向或反方向，即a∥λa；而實數的乘積仍是實數，只有大小，沒有方向．2．實數與向量可以進行加減法運算嗎？提示：不可以．如λ＋a，λ－a是無法運算的．課堂互動講練考點突破向量數乘運算的概念對于數乘運算，要把握好方向，任意實數λ與任意向量a的乘積λa仍是向量，另外應弄清數乘向量的模之間的關系．例1【思路點撥】根據數乘向量與相反向量的定義即可判斷．(3)正確．按照相反向量的定義可以判斷．(4)錯誤．法一：因為－(b－a)與b－a是一對相反向量，而a－b與b－a是一對相反向量，故a－b與－(b－a)為相等向量．法二：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b與－(b－a)為相等向量．【點評】首先要意識到向量線性運算的結果仍是向量，然后要明確判斷兩向量的關系，應從兩個方面入手，一是方向，二是長度．變式訓練1試判斷下列說法的正誤，并說明理由．(1)若λa＝0，則λ＝0；(2)若非零向量a，b滿足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ＞0，則λa與μb同向；(3)對于實數m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b；(4)對于實數m、n和向量a，若ma＝na，則m＝n.解：(1)錯誤．λa＝0，則λ＝0或a＝0.(2)錯誤．由|a－b|＝|a|＋|b|知a與b反向．由λμ＞0知λ與μ同號，所以λa與μb反向．(3)錯誤．當m＝0時，雖有0a＝0b＝0，但a與b不一定相等．(4)錯誤．當a＝0時，雖有m0＝n0＝0，但m與n不一定相等．向量的線性運算可類比實數、代數式運算，但要注意它們的意義的差別．

(1)化簡：①8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；②(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．(2)設x是未知向量，①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；②解方程(x－a)－(a－x－2b)＝0.向量的線性運算例2【思路點撥】根據向量加、減、數乘的運算法則和運算性質即可得到答案．【解】

(1)①原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.②原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.【點評】

(1)向量的初等運算類似于實數的運算，其化簡的方法與代數式的化簡類似，可以進行加、減、數乘等，也滿足運算律，可以進行去括號、移項、合并同類項等變形手段．(2)向量方程的解法可類比于代數方程的解法，解題過程中應注意向量線性運算的綜合應用，特別是不應忽視符號問題．數乘向量在平面幾何中的應用數乘向量的主要應用是將平面幾何問題和實際問題轉化為向量問題，通過向量的運算來解決．例3【點評】向量線性運算幾