湖南省長沙市雅禮集團(tuán)八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖南省長沙市雅禮集團(tuán)八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得故選：D.A.1B.2C.1D.2【答案】C【解析】).故選：C3.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB丄AD，AB=4，CD=2，AD=2，用斜二測(cè)出的水平放置的梯形ABCD的直觀圖為四邊形ABCD，則四邊形ABCD的面積為()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得直觀圖，進(jìn)而可得面積.所以S四邊形故選：C.4.在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理可得答案.由余弦定理得故選：B．-c=-A.B.C.D.2【答案】A【解析】EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),c)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(-),c)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(-),c)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),c)解得所以，故選：A.6.如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)ABCD—A1B1C1D1，上下底面的中心分別為O1和O，B.【答案】B【解析】【分析】在正四棱臺(tái)中利用定義找出側(cè)面與底面所成銳二面角，根據(jù)其正切值可計(jì)算棱臺(tái)的高，再利用棱臺(tái)的體積公式即可求.【詳解】取BC、B1C1的中點(diǎn)F、E，連接O1E，EF，OF，則由題意可知上EFO為側(cè)面與底面所成銳二面角，則tan上B1則正四棱臺(tái)的體積為故選：B7.如皋定慧寺原有佛塔毀于五代時(shí)期，現(xiàn)在的觀音塔為2002年6月12日奠基，歷時(shí)兩年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七層、八角彩繪，下面是觀音塔的示意圖，游客（視為質(zhì)點(diǎn)）從地面D點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30O，沿直線DB前進(jìn)51米達(dá)到E點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)C點(diǎn)的仰角為45O，若2BC=3AC，則該八角觀A.8米B.9米C.40米D.45米【答案】D【解析】【分析】設(shè)AC=x，得到可得，在直角△ABD中，根據(jù)tan30。=列出方程，求得x的值，即可求解.所以故選：D.動(dòng)點(diǎn)P在長方體的表面上，且EP丄CF，則點(diǎn)P的軌跡的長度為()B.2D.【答案】A【解析】【分析】作出過點(diǎn)P，點(diǎn)E的平面α,使得CF丄平面α,此時(shí)P的軌跡即為平面α與長方體表面的交線，據(jù)此可求解出軌跡的長度.【詳解】連接EF，過F作FG丄CF交B1C1于G點(diǎn)，過G點(diǎn)作GH//A1B1交A1D1于H點(diǎn)，連接HE，如下圖所示：因?yàn)镋,F為AA1,BB1的中點(diǎn)，所以EF//AB，又因?yàn)镕G丄CF，且EFUFG=F，所以CF丄平面EFGH，所以P的軌跡為EF,FG,GH,HE，所以所以所以又因?yàn)镚H//AB,GH=AB，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以GH=EF=1，所以P的軌跡長度為故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用，涉及到求解點(diǎn)的軌跡的長度問題，對(duì)學(xué)生的分析與轉(zhuǎn)化能力要求較高，難度較難.9.若α,β,Y是三個(gè)不同的平面，l,m,n是三條不同的直線，下列說法正確的是().【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A,垂直于同一平面的兩個(gè)平面有可能相交或平行，據(jù)此可以判斷A；對(duì)于B,由面面平行的性質(zhì)定理可以判斷B；對(duì)于C,由線面平行的判定定理可知，若m//β,則m不在平面β,但題目所給條件沒說，據(jù)此可以判斷C；對(duì)于D,由線面垂直的判定定理可以判斷D.對(duì)于B，若α//β,β//Y，由面面平行的性質(zhì)定故選:BD.i為虛數(shù)單位則()A.z1C.z1>z2D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)和虛部概念進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，分別求出兩復(fù)數(shù)的模長，比較大??；D選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行判斷.B選項(xiàng)，z2=12i的虛部為-2，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)故z1>z2，C正確；D選項(xiàng)故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第二象限，D錯(cuò)誤.故選：ACm的最小值為4【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n判斷A；利用數(shù)乘向量結(jié)果求出m,n，再求出單位向量判斷B；利用向量夾角為銳角列出不等式求解判斷C；利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合基本不等式求解判斷D.b-，則與同向的單位向量為正確；EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(r),a)故選：BCD+a=0，a∈R有兩個(gè)虛數(shù)根，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)兩虛根之間的距離為2，則a=________．【答案】4【解析】【分析】直接解二次方程得到兩個(gè)虛數(shù)根，從而利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于a的方程，注意檢驗(yàn)Δ<0，從而得解.所以x22x+a=0的兩個(gè)虛數(shù)根分別為它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為故答案為：4.13.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB.AF=4，EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(-),A)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(-),A)【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】以A作坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(4,0),E(4,1)，設(shè)F(n,2)，----------------故答案為：614.在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中，PD平面EAC，則λ=___________，四面體ACDE的外接球的表面積為______.【答案】①.##0.5②.54π【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得PB//OE，即可求解E為PD的中點(diǎn)，即可得利用補(bǔ)形法，即可根據(jù)長方體的外接球的半徑求解.【詳解】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)镻B，OE共面，且PB//平面EAC，PB平面PBD,平面PBD∩平面ACE=OE，所以PB//OE.由于O為BD的中點(diǎn)，所以E為PD的中點(diǎn)，所以.四面體ACDE可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，所以四面體ACDE的外接球的半徑故四面體ACDE的外接球的表面積為4πR2=54π.故答案為54πEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(-),c)-EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(-),c)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(-),c)-【解析】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(-),c)(λ,2λ)，根據(jù)題意得到方程:λ2+(2λ)2=20，解出即可；代回驗(yàn)證即可.【小問1詳解】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(-),c)(λ,2λ)，EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(r),c)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(r),c)故EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(r),c)=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(r),c)【小問2詳解】x2x)i(x∈R)的實(shí)部與虛部的差為f(x)．（1）若f(x)=8，且x>0，求復(fù)數(shù)iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，求復(fù)數(shù)的實(shí)部．【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的運(yùn)算，可得f(x)=x2+2x，再結(jié)合題意可得x=2，再確定iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）先求出函數(shù)取最小值時(shí)x對(duì)應(yīng)的值，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.因?yàn)閒(x)=8，所以iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,6)．（2）因?yàn)閒(x)=(x+1)2—1，所以當(dāng)x=—1時(shí)，f(x)取得最小值，所以的實(shí)部為．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.17.如圖，邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，均不含端點(diǎn)，且滿足BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P.當(dāng)時(shí)，求三棱錐P-EFD的體積.【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）由線線垂直證DP丄平面PEF，再證PD丄EF；（2）由等體積法求VD-PEF.【小問1詳解】又PE平面PEF，PF平面PEF，PE∩PF=P，∴DP丄平面PEF，【小問2詳解】由已知得則在PEF中，EF邊上的高18.如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°,PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(一),AB)上，且OM//AC．（1）求證：平面MOE//平面PAC；（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先證明OE//平面PAC，OM//平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE//平面PAC；（2）利用線線垂直證明線面垂直；（3）由（2）知BC丄面PAC，可得上BPC為直線PB與平面PAC所成的角，求出BC，PB的長度可得結(jié)【小問1詳解】證明：因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PA，因?yàn)镻A平面PAC，OE丈平面PAC，所以O(shè)E//平面PAC，因?yàn)镺M//AC，因?yàn)锳C平面PAC，OM丈平面PAC，所以O(shè)M//平面PAC，因?yàn)镺E∩OM=O，OE平面MOE，OM平面MOE，所以平面MOE//平面PAC.【小問2詳解】即BC丄AC，因?yàn)镻A丄平面ABC，BC平面ABC，所以PA丄BC，因?yàn)镻A∩AC=A，P